Si x sen θ – y cos θ = √(x2 + y2) y cos2 θ/a2 + sen2 θ/b2 = 1/(x2 + y2), entonces demuestre que y2/a2 + x2/b2 = 1

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que son verdaderas para cada valor de la variable en el dominio y se relacionan con varias funciones trigonométricas. Estas son las cualidades que existen para todos los valores de las variables en la ecuación. Seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente son las razones trigonométricas utilizadas en estas identidades. Los lados de un triángulo rectángulo, como el lado adyacente, el lado opuesto y el lado de la hipotenusa, se usan para determinar todas estas razones trigonométricas. Estas identidades trigonométricas solo son válidas en un triángulo rectángulo. 

Identidad del seno coseno

En trigonometría, la identidad seno coseno es una identidad trigonométrica de Pitágoras, ya que forma su base en el teorema de Pitágoras. Establece que la suma de los cuadrados del seno y el coseno para cualquier ángulo θ es la unidad.

sen ² θ + cos ² θ = 1

Derivación

 

Considere un triángulo rectángulo ABC con un ángulo θ entre su base y la hipotenusa.

Aplicando el teorema de Pitágoras en este triángulo, obtenemos

CA ² = AB ² + BC ²            

Dividiendo ambos lados por AC ² , obtenemos

CA ² /CA ² = AB ² /CA ² + BC ² /CA ²

(AB/AC) ² + (BC/AC) ² = 1 ⇢ (1)

Sabemos, para el ángulo θ,

sen θ = Perpendicular/Hipotenusa

sen θ = AB/AC ⇢ (2)

También, 

cos θ = Base/Hipotenusa

cos θ = BC/AC⇢ (3)

Usando (2) y (3) en (1), 

sen ² θ + cos ² θ = 1

Esto prueba la identidad de las razones seno y coseno.

Si x sen θ – y cos θ = √(x ² + y ² ) y cos ² θ/a ² + sen ² θ/b ² = 1/(x ² + y ² ), entonces demuestre que y ² /a ² + x ² /b ² = 1.

Solución:

x sen θ – y cos θ = √(x ² + y ² )

Cuadrando ambos lados obtenemos,

=> x ² sen ² θ + y ² cos ² θ – 2xy sen θ cos θ = x ² + y ²

=> x ² sen ² θ + y ² cos ² θ – 2xy sen θ cos θ – x ² – y ² = 0

=> x ² (sen ² θ – 1) + y ² (cos ² θ -1) – 2xy sen θ cos θ = 0

=> – x ² cos ² θ – y ² sen ² θ – 2xy sen θ cos θ = 0

=> x ² cos ² θ + y ² sen ² θ + 2xy sen θ cos θ = 0

=> (x cos θ + y sen θ) ² = 0

=> x cos θ = -y sen θ

=> x/sen θ = -y/cos θ

=> x ² /sen ² θ = y ² /cos ² θ

=> bronceado ² θ = x ² /y ²

=> sen ² θ = x ² /(x ² + y ² ) y cos ² θ = y ² /(x ² + y ² )

Coloque los valores anteriores en la ecuación cos ² θ/a ² + sen ² θ/b ² = 1/(x ² + y ² ).

=> (y ² /(x ² + y ² ))/a ² + (x ² /(x ² + y ² ))/b ² = 1/(x ² + y ² )

=> y ² /a ² + x ² /b ² = 1

Problemas similares

Problema 1: Si x = a cos θ − b sen θ y y = a sen θ + b cos θ, entonces demuestre que x ² + y ² = a ² + b ² .

Solución:

x = a cos θ − b sen θ y y = a sen θ + b cos θ

Aquí, LHS = x ² + y ²

= (a cos θ − b sen θ) ² + (a sen θ + b cos θ) ²

= a ² cos ² θ + b ² sen ² θ – 2ab cos θ sen θ + a ² sen ² θ + b ² cos ² θ + 2ab sen θ cos θ

= a ² (cos ² θ + sen ² θ) + b ² (cos ² θ + sen ² θ)

= un ² + ^{segundo 2} 

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Problema 2: Si x = a sen θ + b cos θ y y = a cos θ − b sen θ, demuestre que x ² + y ² = a ² + b ² .

Solución: 

x = a sen θ + b cos θ y y = a cos θ – b sen θ.

Aquí, LHS = x ² + y ²

= (a sen θ + b cos θ) ² + (a cos θ – b sen θ) ²

= a ² sen ² θ + b ² cos ² θ + 2ab sen θ cos θ + a ² cos ² θ + b ² sen ² θ – 2ab cos θ sen θ

= a ² (sen ² θ + cos ² θ) + b ² (cos ² θ + sen ² θ)

= un ² + ^{segundo 2}

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Problema 3: Si x/a cos θ + y/b sen θ = 1 y x/a sen θ – y/b cos θ = 1, demuestre que x ² /a ² + y ² /b ² = 2.

Solución: 

x/a cos θ + y/b sen θ = 1

Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos

x ² /a ² cos ² θ + y ² /b ² sen ² θ + 2 (x/a) (y/b) cos θ sen θ = 1 ⇢ (1)

Además, se nos da,

x/a sen θ – y/b cos θ = 1

Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos

x ² /a ² sen ² θ + y ² /b ² cos ² θ – 2 (x/a) (y/b) cos θ sen θ = 1 ⇢ (2)

Sumando (1) y (2),

x ² /a ² cos ² θ + y ² /b ² sen ² θ + 2 (x/a) (y/b) cos θ sen θ + x ² /a ² sen ² θ + y ² /b ² cos ² θ – 2 (x/a) (y/b) cos θ sen θ = 1 + 1

x ² /a ² (cos ² θ + sen ² θ) + y ² /b ² (sen ² θ + cos ² θ) = 2

x ² /a ² + y ² /b ² = 2

Por lo tanto probado.

Problema 4: Si x/a sen θ + y/b cos θ = 1 y x/a cos θ – y/b sen θ = 1, demuestre que x ² /a ² + y ² /b ² = 2.

Solución: 

x/a sen θ + y/b cos θ = 1

Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos

x ² /a ² sen ² θ + y ² /b ² cos ² θ + 2 (x/a) (y/b) sen θ cos θ = 1 ⇢ (1)

También, 

x/a cos θ – y/b sen θ = 1

Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos

x ² /a ² cos ² θ + y ² /b ² sen ² θ – 2 (x/a) (y/b) cos θ sen θ = 1 ⇢ (2)

Sumando (1) y (2) da,

x ² /a ² sen2 θ + y ² /b ² cos ² θ + 2 (x/a) (y/b) cos θ sen θ + x ² /a ² cos ² θ + y ² /b ² sen ² θ – 2 (x/a) (y/b) cos θ sen θ = 1 + 1

x ² /a ² (sen ² θ + cos ² θ) + y ² /b ² (cos ² θ + sen ² θ) = 2

x ² /a ² + y ² /b ² = 2

Por lo tanto probado.

Problema 5: Si x = a cos ² θ sen θ y y = a sen ² θ cos θ, entonces demuestre que (x ² + y ² ) ³ /(x ² y ² ) = a ² .

Solución:

x = a cos ² θ sen θ y y = a sen ² θ cos θ

Aquí, LHS = (x ² + y ² ) ³ /(x ² y ² )

= (a ² cos ⁴ θ sen ² θ + a ² sen ⁴ θ cos ² θ) ³ /[(a ² cos ⁴ θ sen ² θ) (a ² sen ⁴ θ cos ² θ)]

= (a ² cos ² θ sen ² θ (sen ² θ + cos ² θ)) ³ /(a ⁴ cos ⁶ θ sen ⁶ θ)

= (a ² cos ² θ sen ² θ) ³ /(a ⁴ cos ⁶ θ sen ⁶ θ)

= (a ⁶ cos ⁶ θ sen ⁶ θ)/(a ⁴ cos ⁶ θ sen ⁶ θ)

= un ²

Por lo tanto probado.

Problema 6: Demuestre que (1 – sen θ)/(1 + sen θ) = (sec θ – tan θ) ² .

Solución:

LHS = (1 – sen θ)/(1 + sen θ)

= ((1 – sen θ) (1 – sen θ))/((1 + sen θ) (1 – sen θ))

= (1 – sen θ) ² /(1 – sen ² θ)

= (1 – sen θ) ² /(cos ² θ)

= ((1 – sen θ)/(cos θ)) ²

= (seg θ – tan θ) ²

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Problema 7: Demostrar que: cos θ/(1 – tan θ) – sen θ/(1 – cot θ) = 1/(cos θ – sen θ).

Solución:

LHS = cos θ/(1 – tan θ) – sen θ/(1 – cot θ)

= cos θ/(1 – sen θ/cos θ) – sen θ/(1 – cos θ/sen θ)

= cos ² θ/(cos θ – sen θ) + sen ² θ (cos θ – sen θ)

= (cos ² θ + sen ² θ)/(cos θ – sen θ)

= 1/(cos θ – sen θ)

= lado derecho

Por lo tanto probado.