Simplifica [(2a3)/(3a5)3]3 usando solo exponentes positivos

El álgebra es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de varios símbolos que representan cantidades tales que no tienen un valor constante o una cantidad asociada con ellas, sino que tienden a variar o cambiar con el tiempo con respecto a algún otro factor. Dichos símbolos se consideran variables en el estudio del álgebra, y las cantidades asociadas a ellos se denominan coeficientes. Se pueden representar a través de varias formas o incluso alfabetos en inglés. En otras palabras, el álgebra considera representar números a través de letras o símbolos sin poner énfasis en representar sus valores reales.

Expresión algebraica

Una expresión algebraica es una declaración que se forma usando variables y constantes en matemáticas, junto con varias operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación, división, operación exponencial, extracción de raíz como raíz cuadrada, raíz cúbica, raíz cuarta, etc. adelante.

Ejemplos:

• x + 1 es una expresión algebraica con x como variable y suma como operación.
• x ² − 1 es una expresión algebraica con x como variable y resta y exponente como operación.
• 2x ² − 3xy + 5 es una expresión algebraica con xey como variables con suma, exponente, resta y multiplicación como operaciones.

Terminología básica

• Variable: Una variable es un término de una expresión algebraica que puede asumir cualquier valor, su valor real no existe.
• Coeficiente: Es una constante y bien definida que se usa siempre con la variable.
• Operador: Significa cualquier operación aritmética como suma, resta, multiplicación, división, operación exponencial, extracción de raíz como raíz cuadrada, raíz cúbica, raíz cuarta, etc.
• Constante: Tal término que es independiente tanto del coeficiente como de la variable y está bien definido en sí mismo se llama constante.
• Exponente: El número de veces que un número ha sido multiplicado por sí mismo se refiere a su exponente.

Reglas de exponentes

Regla 1: Si dos o más bases tienen las mismas potencias y están en multiplicación, sus potencias se suman manteniendo la base intacta, es decir, a ^m × a ⁿ = a ^m+n .

Ejemplo:

• 2 ³ × 2 ⁵ = 2 ³⁺⁵ = 2 ⁸
• 4 ^-2 × 4 ³ × 4 ¹⁰⁰ = 4 ^-2+3+100 = 4 ¹⁰¹

Regla 2: Si dos o más bases tienen las mismas potencias y están en la división, sus potencias se restan juntas manteniendo la base intacta. Cabe señalar que la potencia del denominador debe deducirse de la potencia del numerador, es decir, a ^m ÷ a ⁿ = a ^m-n .

Ejemplo:

•  = 2 ^4-3 = 2 ¹ = 2
•  = 10 ^4-8 = 10 ^-4 = 

Regla 3: Cualquier cosa elevada a la potencia cero es igual a 1.

Ejemplo:

• 2 ⁰ = 1
• 1000000 ⁰ = 1
• 859 ⁰ = 1

Regla 4: Cuando se da la potencia de un exponente ya elevado a una potencia, uno necesita multiplicar esas potencias juntas, es decir, (a ^m ) ⁿ = a ^mn .

Ejemplo:

• (2 ³ ) ⁴ = (2) ^3×4 = 2 ¹²
• [(-3) ^-9 ]² = (-3) ^-9×2 = (-3) ^-18

Regla 5: Cuando dos bases diferentes tienen la misma potencia, las bases se multiplican y el producto se eleva a la potencia que tenían ambas bases antes de la multiplicación, es decir, a ^m × b ^m = (a × b) ^m .

Ejemplo:

• 4 ³ × 10 ³ = (4 × 10) ³ = 40 ³
• 2 ¹²³ × 56 ¹²³ = (2 × 56) ¹²³ = 112 ¹²³

Regla 6: En caso de que nos den un exponente fraccionario, entonces el numerador se convierte en la potencia de la base y el denominador se toma como la raíz de la expresión completa, es decir, am/n = \sqrt[n]{a^m} .

Ejemplo:

• 2 ^1/2 = 
• 2 ^1/3 = 
• 2 ^4/5 = 

Regla 7: Si la potencia es negativa, intercambia la base para hacerla positiva, es decir, a ^-m =  .

Ejemplo:

• 2 ^-9 = 
• 100 ^-8 = 

Simplifica   usando solo exponentes positivos.

Solución:

Dado: [(2a ³ )/ (3a ⁵ ) ³ ] ³ 

Usando la propiedad (a ^m ) ⁿ = a ^mn , tenemos:

[(2a ³ )/ (3a ^{5 × 3} ] ³ 

= [(2a ³ )/ (3a ¹⁵ ] ³ 

Usando la propiedad a ^m /a ⁿ = a ^m-n , tenemos:

= 2/3[un ^3-15 ] ³

= [2[a ^-12 ] ³ ]/3

= 2a ^-36 /3

Por lo tanto, [(2a ³ )/ (3a ⁵ ) ³ ] ³ =  .

Problemas similares

Pregunta 1. Simplifica y escribe como exponentes positivos: (x ^-6 y ⁸ )(x ^-2 y ^-4 ).

Solución:

Combinando x términos y y términos tenemos

(x ^-6 . x ^-2) (y ⁸ . y ^-4 )

Usando un ^mn = un ^m+n

= x ^-6-2 y ^8-4

= x ^-8 y ⁴

Por lo tanto, (x ^-6 .x ^-2 ) (y ⁸ .y ^-4 ) = y ⁴ /x ⁸ .

Pregunta 2. Simplifica y escribe como exponentes positivos:  .

Solución:

Como todo lo elevado a la potencia cero es siempre 1.

Por lo tanto, 4y ⁰ = 1

Por lo tanto, la expresión se convierte en 2x ^-10 / 1.

= 2x ^-10

Como a ^-m = 1/a ^m ,

Por lo tanto,   = 2/ x ¹⁰ .

Pregunta 3. Simplifica y escribe como exponentes positivos: (64x ^{– 6} y ⁶ ) ^5/6 .

Solución:

Usando la propiedad (abc) ^m = a ^m b ^m c ^m , tenemos:

(64x ^-6 y ⁶ ) ^5/6 = 64 ^5/6 x ^-30/6 y ^30/6

= 2 ⁵ x ^-6 y ⁵

Usando la propiedad a ^-m = 1/a ^m , tenemos:

Por tanto, (64x ^-6 y ⁶ ) ^5/6 = 32y ⁵ / x ⁶