Simplifica (5ab)3/30a-6b-7.

Los exponentes y las potencias se usan para mostrar números muy grandes o números muy pequeños de manera simplificada. Por ejemplo, si tenemos que mostrar 2 × 2 × 2 × 2 de forma sencilla, entonces podemos escribirlo como 2 ⁴ , donde 2 es la base y 4 es el exponente. Se dice que toda la expresión 24 es potencia.

La potencia es un valor o una expresión que representa la multiplicación repetida del mismo número o factor. El número de veces que la base se multiplica por sí misma es el valor del exponente.

Por ejemplo:

3 ² = 3 elevado a la potencia 2 = 3 × 3 = 9

4 ³ = 4 elevado a la potencia 3 = 4 × 4 × 4 = 64

Un exponente de un número representa el número de veces que el número se multiplica por sí mismo. Por ejemplo, 2 se multiplica por sí mismo por n veces:

2 × 2 × 2 × 2 × …..n veces = 2 ⁿ

La expresión anterior, 2n, se dice como 2 elevado a la potencia n. Por lo tanto, los exponentes también se denominan potencias o, a veces, índices.

Forma general de exponentes

El exponente representa cuántas veces se debe multiplicar un número por sí mismo para obtener el resultado. Así, cualquier número ‘b’ elevado a la potencia ‘p’ se puede expresar como:

segundo ^pag = {segundo × segundo × segundo × segundo × …. × b} p veces

Aquí b es cualquier número y p es un número natural.

• b ^p también se llama la p-ésima potencia de b.
• ‘b’ es la base y ‘p’ es el exponente o índice o potencia.
• ‘b’ se multiplica ‘p’ veces y, por lo tanto, la exponenciación es el método abreviado de multiplicación repetida.

Leyes de los Exponentes

Sea ‘b’ cualquier número o entero (positivo o negativo) y ‘p1’, ‘p2’ son números enteros positivos, que denotan la potencia de las bases.

Ley de la multiplicación

Establece que el producto de dos exponentes con la misma base y diferentes potencias es igual a la base elevada a la suma de las dos potencias o números enteros.

^{segundo p1} × segundo ^p2 = ^{segundo (p1+p2)}

Ley de División

Establece que si se dividen dos exponentes que tienen las mismas bases y diferentes potencias, entonces los resultados serán de base elevada a la diferencia entre ambas potencias.

^{segundo p1} ÷ segundo ^p2 = ^{segundo p1} / segundo ^p2 = ^{segundo (p1-p2)}

Ley del Exponente Negativo

Si la base tiene potencia negativa, entonces se puede convertir en su recíproco pero con potencia positiva o entero a la base.

b ^-p = 1/b ^p

Reglas básicas de exponentes

Hay ciertas reglas básicas definidas para los exponentes con el fin de resolver las expresiones exponenciales junto con las demás operaciones matemáticas, por ejemplo, si existe el producto de dos exponentes, se puede simplificar para facilitar el cálculo y se conoce como regla del producto, veamos algunas de las reglas básicas de los exponentes,

Regla del producto ⇢ a ⁿ × a ^m = a ^{n + m}

Regla del cociente ⇢ a ⁿ / a ^m = a ^{n – m}

Regla de potencia ⇢ (a ⁿ ) ^m = a ^{n × m} o ^m √a ⁿ = a ^n/m

Regla del exponente negativo ⇢ a ^-m = 1/a ^m

Regla cero ⇢ a ⁰ = 1

Una regla ⇢ a ¹ = a

Simplificar (5ab) ³ /30a ^-6 b ^-7

Solución:

Aquí (5ab) ³ /30a ^-6 b ^-7

Usaremos la regla del exponente negativo en el denominador, es decir , a ^-m = 1/a ^m 

Podemos escribir (5ab) ³ /30a ^-6 b ^-7

=   (5ab) ³ / (30.1/a ⁶ .1/b ⁷ ) {por la regla del exponente negativo a ^-6 = 1/a ⁶ y b ^-7 = 1/b ⁷ }

Entonces ahora = {(5ab) ³ .a ⁶ .b ⁷ } / 30

            = (5 ³ .a ³ .b ³ .a ⁶ .b ⁷ ) / 30

            = (125.a ³ .a ⁶ .b ³ .b ⁷ )/ 30

            = (125.a ³⁺⁶ .b ³⁺⁷ ) / 30 {Regla del producto ⇢ a ⁿ × a ^m = a ^{n + m} }

            = (125.a ⁹ .b ¹⁰ ) /30

            = (25.a ⁹ .b ¹⁰ )/6 

Preguntas similares

Pregunta 1: Simplifica (-2a ² /b ³ ) ³

Solución:

Aquí podemos escribir la ecuación anterior como 

= { (-2a ² ) ³ / ( segundo ³ ) ³ }

Ahora, 

= {(-2) ³ .(a ² ) ³ } / (b ³ ) ³

= {(-8).(a ^2.3 )} / b ^3.3                 {Regla de la potencia ⇢ (a ⁿ ) ^m = a ^{n × m} }

= -8a ⁶ /b ⁹

Pregunta 2: simplifica {3a ⁷ b ⁶ / 18a ⁶ b ⁸ }

Solución:

Aquí usaremos la regla del cociente ⇢ a ⁿ / a ^m = a ^{n – m}

Entonces podemos escribir {3a ⁷ b ⁶ / 18a ⁶ b ⁸ }

= {(3/18).(a ⁷ /a ⁶ ).(b ⁶ /b ⁸ )}

= {(1/6).a ^7-6 .b ^6-8 } {según la regla del cociente ⇢ a ⁿ / a ^m = a ^{n – m} }

= 1/6.ab ^-2

= 1/6ab ^-2 

Pregunta 3: Resuelve (6 ² ) * (3 ² )

Solución:

Aquí cuando las bases son diferentes y las potencias son las mismas

Entonces, según la regla del producto, podemos escribir como a ⁿ × b ⁿ = (a × b) ^n.

Entonces 6 ² × 3 ²

= (6 × 3) ²

= 18 ²

= 324