Simplificar cos4theta – sin4theta

Las expresiones algebraicas son aquellas ecuaciones que se obtienen cuando operaciones como suma, resta, multiplicación, división, etc. son operadas por cualquier variable. Las expresiones algebraicas contienen variables, constantes, operadores, exponentes, etc. Tratemos de entender las expresiones algebraicas con más detalle,

Tipos de expresiones algebraicas

Hay 3 tipos principales de expresiones algebraicas que son expresiones algebraicas monomiales, expresiones algebraicas binomiales y expresiones algebraicas polinómicas. Echemos un vistazo a sus definiciones,

• Expresión monomio: una expresión algebraica que tiene un solo término se conoce como monomio.

Ejemplos: 3x ⁴ , 3xy, 3x, 8y, etc.

• Expresión binomial : Una expresión binomial es una expresión algebraica que contiene dos términos, que son diferentes, es decir, son diferentes entre sí.

Ejemplos: 5xy + 8xyz, 9x – 7xy, etc.

• Expresión polinomial : una expresión polinomial se define como una expresión con más de un término con exponentes enteros no negativos de una variable.

Ejemplos: ax + by + ca, x ³ + 2x + 3, etc.

Términos en expresiones algebraicas

Hay diferentes términos utilizados en expresiones algebraicas como variable, constante, término, coeficientes, grado, etc. A continuación se encuentran las definiciones adecuadas de varios términos,

1. Variable: en matemáticas, un símbolo que no tiene un valor particular se llama variable.
2. Constante: Un símbolo que tiene un valor numérico fijo se llama constante. Todos los números son constantes.
3. Término: Un término puede ser una variable sola (o) una constante sola (o) puede ser una mezcla de variables y constantes por la operación de multiplicación o división.
4. Coeficientes: La parte del número fijo (o constante) junto con el signo (positivo o negativo) asociado con cada término algebraico se denomina coeficiente.
5. Grado: El grado del polinomio es la potencia integral más alta de la(s) variable(s) de sus términos cuando el polinomio se expresa en su forma estándar. Es la suma de los exponentes de las variables dentro del término si tiene bastante más de una variable. 

Clasificación en función del grado.

En base a los exponentes presentes en las expresiones algebraicas, existen diferentes tipos, por ejemplo, si el grado es 1, entonces la expresión algebraica tiene un primer grado. Si el grado es 2, entonces la expresión algebraica tiene un segundo grado, y así sucesivamente.

• Primer Grado: Es una expresión algebraica cuyo grado es 1. Ejemplo: 5x, x, y,…etc.
• Segundo Grado: Es una expresión algebraica cuyo grado es 2. Ejemplo: 5x ² , x ² + 3xy + 12y ² + 3x – 8y + 9,…etc.
• Tercer Grado: Es una expresión algebraica cuyo grado es 3. Ejemplo: 5x ³ , x ³ + 3xy + 12y ² , y ² + 3x – 8y ³ + 9,…etc.

Clasificación en base a variables

Según el número de términos presentes en la expresión algebraica, se define la expresión. Por ejemplo, si solo un término está presente en la expresión algebraica, y así sucesivamente.

• Con Una Variable: Es una expresión algebraica que contiene una sola variable. Ejemplo: 5x, x + 2, y – 9,…etc.
• Con Dos Variables: Es una expresión algebraica que contiene solo dos variables. Ejemplo: 7xy, 5x ² + z, x ² + 3xy + 12y ² , y ² + 3x – 8y + 9,…etc.
• Con Tres Variables: Es una expresión algebraica que contiene solo tres variables. Ejemplo: 6xyz, 5x ³ + 3y + z, x ³ + 3xy + 12y2z, y ² + 3xz – 8y ³ + 9,…

Simplificar cos ⁴ θ – sen ⁴ θ

Solución:  

cos ⁴ θ – sen ⁴ θ

= (cos ² θ) ² – (sen ² θ) ²

= (cos ² θ + sen ² θ)(cos ² θ – sen ² θ)

= 1 × (cos ² θ – sen ² θ)

= cos ² θ – (1 – cos ² θ)

= 2 cos ² θ – 1

Problemas de muestra

Pregunta 1: Resta (2x ² – 5x + 7) de (3x ² + 4x – 6)

Solución:

 (3x ² + 4x – 6) – (2x ² – 5x + 7)

= 3x ² + 4x – 6 – 2x ² + 5x – 7

= x2 ⁺ 9x – 13.

Pregunta 2: simplifica la expresión: 12m ² – 9m + 5m – 4m ² – 7m + 10.

Solución:

Reordenando los términos, 

= (12 – 4)m2 ⁺ (5 – 9 – 7)m + 10

= 8m ² + (-4 – 7)m + 10

= 8m ² + (-11)m + 10