Solución RD Sharma Clase 9 – Capítulo 10 Triángulos Congruentes – Ejercicio 10.5

Pregunta 1. ABC es un triángulo y D es el punto medio de BC. Las perpendiculares de D a AB y AC son iguales. Demostrar que el triángulo es isósceles.

Solución:

Dado: D es el punto medio de BC entonces, BD = DC, ED = FD, y ED ⊥ AB, FD ⊥ AC, entonces ED = FD 

Demostrar: ΔABC es un triángulo isósceles

En ΔBDE y ΔCDF

ED = FD [Dado]

BD = DC [D es el punto medio]

∠BED = ∠CFD = 90°

Por criterio de congruencia RHS

ΔBDE ≅ ΔCDF

Entonces, ahora por CPCT

BE = CF … (i) 

Ahora, en △AED y △AFD

ED = FD [Dado]

AD = AD [Común]

∠AED = ∠AFD = 90°

Por criterio de congruencia RHS

△DEA ≅ △AFD

Entonces, ahora por CPCT

Entonces, EA = FA … (ii) 

Ahora sumando las ecuaciones (i) y (ii), obtenemos

BE + EA = CF + FA

AB = CA

Entonces, ΔABC es un triángulo isósceles porque los dos lados del triángulo son iguales.

Por lo tanto probado

Pregunta 2. ABC es un triángulo en el que BE y CF son, respectivamente, las perpendiculares a los lados AC y AB. Si BE = CF, demuestre que ΔABC es isósceles.

Solución:

Dado: BE ⊥ AC, CF ⊥ AS, BE = CF. 

Para probar: ΔABC es isósceles

En ΔBCF y ΔCBE,

∠BFC = CEB = 90° [Dado]

BC = CB [Lado común]

Y CF = SER [Dado]

Por criterio de congruencia RHS

ΔBFC ≅ ΔCEB  

Entonces, ahora por CPCT

∠FBC = ∠EBC   

∠ABC = ∠ACB 

y AC = AB [Porque los lados opuestos a ángulos iguales son iguales]

Entonces, ΔABC es isósceles

Por lo tanto probado

Pregunta 3. Si las perpendiculares desde cualquier punto dentro de un ángulo en sus brazos son congruentes. Demostrar que se encuentra en la bisectriz de ese ángulo.

Solución:

Consideremos ∠ABC y BP es un brazo dentro de ∠ABC

Ahora dibuje una perpendicular desde el punto P en el brazo BA y BC, es decir, PN y PM

Demostrar: BP es la bisectriz angular de ∠ABC.

En ΔBPM y ΔBPN

∠BMP = ∠BNP = 90° [Dado]

MP = NP [Dado]

BP = BP [Lado común]

Entonces, por el criterio de congruencia RHS

ΔBPM ≅ ​​ΔBPN 

Entonces, por CPCT

∠MBP = ∠NBP 

y BP es la bisectriz angular de ∠ABC.

Por lo tanto probado

Pregunta 4. En la figura, AD ⊥ CD y CB ⊥ CD. Si AQ = BP y DP = CQ, demuestre que ∠DAQ = ∠CBP.

Solución:

Dado que AD ⊥ CD, CB ⊥ CD, AQ = BP y DP = CQ,

Demostrar:∠DAQ = ∠CBP

Tenemos DP = CQ

Entonces, al sumar PQ en ambos lados, obtenemos

DP + PQ = CQ + PQ

DQ = CP … (i)

En ΔDAQ y ΔCBP

Tenemos

∠ADQ = ∠BCP = 90° [Dado]

Y DQ = PC [De (i)]

Entonces, por el criterio de congruencia RHS

ΔDAQ ≅ ΔCBP 

Entonces, por CPCT

∠DAQ = ∠CBP 

Por lo tanto probado

Pregunta 5. ABCD es un cuadrado, X e Y son puntos de los lados AD y BC respectivamente tales que AY = BX. Demuestre que BY = AX y ∠BAY = ∠ABX.

Solución:

En el cuadrado ABCD, 

X e Y son puntos en los lados AD y BC 

Entonces, AY = BX.

Para probar: BY = AX y ∠BAY = ∠ABX

Ahora, únete a las bandas X, A e Y

Asi que, 

∠DAB = ∠CBA = 90° [Dado que ABCD es un cuadrado]

Además, ∠XAB = ∠YAB = 90° 

En ΔXAB y ΔYBA

∠XAB = ∠YBA = 90° [dado]

AB = BA [Lado común]

Entonces, por el criterio de congruencia RHS

ΔXAB ≅ ΔYBA  

Entonces, por CPCT

POR = HACHA 

∠BAY = ∠ABX 

Por lo tanto probado

Pregunta 6. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F):

(i) Los lados opuestos a ángulos iguales de un triángulo pueden ser desiguales.

(ii) Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo son iguales

(iii) La medida de cada ángulo de un triángulo equilátero es 60

(iv) Si la altura de un vértice de un triángulo biseca el lado opuesto, entonces el triángulo puede ser isósceles.

(v) Las bisectrices de dos ángulos iguales de un triángulo son iguales.

(vi) Si la bisectriz del ángulo vertical de un triángulo biseca la base, entonces el triángulo puede ser isósceles.

(vii) No es necesario que las dos alturas correspondientes a dos lados iguales de un triángulo sean iguales.

(viii) Si dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo son respectivamente iguales a dos lados de otro triángulo rectángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

(ix) Dos triángulos rectángulos son congruentes si t hipotenusa y un lado de un triángulo son respectivamente iguales a la hipotenusa y un lado del otro triángulo.

Solución:

(i) Falso 

(ii) Verdadero

(iii) Verdadero 

(iv) Falso 

(v) Cierto 

(vi) Falso

(vii) Falso 

(viii) Falso

(ix) Cierto 

Pregunta 7. Complete los espacios en blanco a continuación para que cada una de las siguientes afirmaciones sea verdadera.

(i) Los lados opuestos a los ángulos iguales de un triángulo son ___

(ii) Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo son ___  

(iii) En un triángulo equilátero todos los ángulos son ___  

(iv) En ΔABC, si ∠A = ∠C, entonces AB =  

(v) Si las alturas CE y BF de un triángulo ABC son iguales, entonces AB ___

(vi) En un triángulo isósceles ABC con AB = AC, si BD y CE son sus alturas, entonces BD es ___ CE.

(vii) En los triángulos rectángulos ABC y DEF, si la hipotenusa AB = EF y el lado AC = DE, entonces ΔABC ≅ Δ ___

Solución:

(i) Igual

(ii) Igual

(iii) Igual 

(iv) AB = BC

(v) AB = CA

(vi) BD es igual a CE

(vii) ΔABC ≅ ΔEFD.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por simardeep032002 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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