Pregunta 1. ABC es un triángulo y D es el punto medio de BC. Las perpendiculares de D a AB y AC son iguales. Demostrar que el triángulo es isósceles.
Solución:
Dado: D es el punto medio de BC entonces, BD = DC, ED = FD, y ED ⊥ AB, FD ⊥ AC, entonces ED = FD
Demostrar: ΔABC es un triángulo isósceles
En ΔBDE y ΔCDF
ED = FD [Dado]
BD = DC [D es el punto medio]
∠BED = ∠CFD = 90°
Por criterio de congruencia RHS
ΔBDE ≅ ΔCDF
Entonces, ahora por CPCT
BE = CF … (i)
Ahora, en △AED y △AFD
ED = FD [Dado]
AD = AD [Común]
∠AED = ∠AFD = 90°
Por criterio de congruencia RHS
△DEA ≅ △AFD
Entonces, ahora por CPCT
Entonces, EA = FA … (ii)
Ahora sumando las ecuaciones (i) y (ii), obtenemos
BE + EA = CF + FA
AB = CA
Entonces, ΔABC es un triángulo isósceles porque los dos lados del triángulo son iguales.
Por lo tanto probado
Pregunta 2. ABC es un triángulo en el que BE y CF son, respectivamente, las perpendiculares a los lados AC y AB. Si BE = CF, demuestre que ΔABC es isósceles.
Solución:
Dado: BE ⊥ AC, CF ⊥ AS, BE = CF.
Para probar: ΔABC es isósceles
En ΔBCF y ΔCBE,
∠BFC = CEB = 90° [Dado]
BC = CB [Lado común]
Y CF = SER [Dado]
Por criterio de congruencia RHS
ΔBFC ≅ ΔCEB
Entonces, ahora por CPCT
∠FBC = ∠EBC
∠ABC = ∠ACB
y AC = AB [Porque los lados opuestos a ángulos iguales son iguales]
Entonces, ΔABC es isósceles
Por lo tanto probado
Pregunta 3. Si las perpendiculares desde cualquier punto dentro de un ángulo en sus brazos son congruentes. Demostrar que se encuentra en la bisectriz de ese ángulo.
Solución:
Consideremos ∠ABC y BP es un brazo dentro de ∠ABC
Ahora dibuje una perpendicular desde el punto P en el brazo BA y BC, es decir, PN y PM
Demostrar: BP es la bisectriz angular de ∠ABC.
En ΔBPM y ΔBPN
∠BMP = ∠BNP = 90° [Dado]
MP = NP [Dado]
BP = BP [Lado común]
Entonces, por el criterio de congruencia RHS
ΔBPM ≅ ΔBPN
Entonces, por CPCT
∠MBP = ∠NBP
y BP es la bisectriz angular de ∠ABC.
Por lo tanto probado
Pregunta 4. En la figura, AD ⊥ CD y CB ⊥ CD. Si AQ = BP y DP = CQ, demuestre que ∠DAQ = ∠CBP.
Solución:
Dado que AD ⊥ CD, CB ⊥ CD, AQ = BP y DP = CQ,
Demostrar:∠DAQ = ∠CBP
Tenemos DP = CQ
Entonces, al sumar PQ en ambos lados, obtenemos
DP + PQ = CQ + PQ
DQ = CP … (i)
En ΔDAQ y ΔCBP
Tenemos
∠ADQ = ∠BCP = 90° [Dado]
Y DQ = PC [De (i)]
Entonces, por el criterio de congruencia RHS
ΔDAQ ≅ ΔCBP
Entonces, por CPCT
∠DAQ = ∠CBP
Por lo tanto probado
Pregunta 5. ABCD es un cuadrado, X e Y son puntos de los lados AD y BC respectivamente tales que AY = BX. Demuestre que BY = AX y ∠BAY = ∠ABX.
Solución:
En el cuadrado ABCD,
X e Y son puntos en los lados AD y BC
Entonces, AY = BX.
Para probar: BY = AX y ∠BAY = ∠ABX
Ahora, únete a las bandas X, A e Y
Asi que,
∠DAB = ∠CBA = 90° [Dado que ABCD es un cuadrado]
Además, ∠XAB = ∠YAB = 90°
En ΔXAB y ΔYBA
∠XAB = ∠YBA = 90° [dado]
AB = BA [Lado común]
Entonces, por el criterio de congruencia RHS
ΔXAB ≅ ΔYBA
Entonces, por CPCT
POR = HACHA
∠BAY = ∠ABX
Por lo tanto probado
Pregunta 6. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F):
(i) Los lados opuestos a ángulos iguales de un triángulo pueden ser desiguales.
(ii) Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo son iguales
(iii) La medida de cada ángulo de un triángulo equilátero es 60
(iv) Si la altura de un vértice de un triángulo biseca el lado opuesto, entonces el triángulo puede ser isósceles.
(v) Las bisectrices de dos ángulos iguales de un triángulo son iguales.
(vi) Si la bisectriz del ángulo vertical de un triángulo biseca la base, entonces el triángulo puede ser isósceles.
(vii) No es necesario que las dos alturas correspondientes a dos lados iguales de un triángulo sean iguales.
(viii) Si dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo son respectivamente iguales a dos lados de otro triángulo rectángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.
(ix) Dos triángulos rectángulos son congruentes si t hipotenusa y un lado de un triángulo son respectivamente iguales a la hipotenusa y un lado del otro triángulo.
Solución:
(i) Falso
(ii) Verdadero
(iii) Verdadero
(iv) Falso
(v) Cierto
(vi) Falso
(vii) Falso
(viii) Falso
(ix) Cierto
Pregunta 7. Complete los espacios en blanco a continuación para que cada una de las siguientes afirmaciones sea verdadera.
(i) Los lados opuestos a los ángulos iguales de un triángulo son ___
(ii) Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo son ___
(iii) En un triángulo equilátero todos los ángulos son ___
(iv) En ΔABC, si ∠A = ∠C, entonces AB =
(v) Si las alturas CE y BF de un triángulo ABC son iguales, entonces AB ___
(vi) En un triángulo isósceles ABC con AB = AC, si BD y CE son sus alturas, entonces BD es ___ CE.
(vii) En los triángulos rectángulos ABC y DEF, si la hipotenusa AB = EF y el lado AC = DE, entonces ΔABC ≅ Δ ___
Solución:
(i) Igual
(ii) Igual
(iii) Igual
(iv) AB = BC
(v) AB = CA
(vi) BD es igual a CE
(vii) ΔABC ≅ ΔEFD.
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Artículo escrito por simardeep032002 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA