Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 3 Par de ecuaciones lineales en dos variables – Ejercicio 3.8

Pregunta 1. El numerador de una fracción es 4 menos que el denominador. Si el numerador se reduce en 2 y el denominador se aumenta en 1, entonces el denominador es ocho veces el numerador. Encuentra la fracción.

Solución: 

Supongamos que el numerador y el denominador de la fracción son x e y respectivamente. Por lo tanto, la fracción es x/y

Según las condiciones dadas,

x = y – 4,

x – y = – 4

y y + 1 = 8(x – 2)

y + 1 = 8x – 16

8x-y = 1 + 16

8x-y = 17

Por lo tanto, tenemos dos ecuaciones

x – y = -4 —————-(yo)

8x – y = 17 ——————(ii)

Restando la segunda ecuación de la primera ecuación, obtenemos

(x – y) – (8x – y) = – 4 – 17

x − y − 8x + y = −21

−7x = −21

−7x = −21

x = 21/7 = 3

Sustituyendo el valor de x en la ecuación (i), tenemos

3 – y = – 4

y = 3 + 4 = 7

Por lo tanto la fracción es 3/7

Pregunta: 2 Una fracción se convierte en 9/11 si se suma 2 tanto al numerador como al denominador. Si se suma 3 tanto al numerador como al denominador, se convierte en 5/6. Encuentra la fracción

Solución: 

Supongamos que el numerador y el denominador de la fracción son x e y respectivamente. Por lo tanto, la fracción es x/y

Según las condiciones dadas,

x+2 / y+2 = 9/11 

11(x+2) = 9(y+2)

11x + 22 = 9y + 18 

11x – 9y = 18 – 22  

11x – 9y + 4 = 0 —————-(yo)

y x+3 / y+3 = 5/6

6(x+3) = 5(y+3)

6x + 18 = 5y + 15

6x – 5y = 15 –18

6x – 5y + 3 = 0 —————-(ii)

Tenemos que resolver las ecuaciones anteriores para x e y.

Usando la multiplicación cruzada, tenemos

x / (-9 x 3 -(-5) x 4) = -y / (11 x 3 – 6 x 4) = 1 / (11 x (-5) – 6 x (-9))

x/7 = y/9 = 1

x = 7 y y = 9

Por lo tanto, la fracción es 7/9.

Pregunta 3. Una fracción se convierte en 1/3 si se resta 1 tanto de su numerador como de su denominador. Si se suma 1 tanto al numerador como al denominador, se convierte en 1/2. Encuentra la fracción.

Solución: 

Supongamos que el numerador y el denominador de la fracción son x e y respectivamente. Por lo tanto, la fracción es x/y. 

Según las condiciones dadas,

x-1 / y-1 = 1/3

3(x-1) = (y-1)

3x – 3 = y – 1

3x – y – 2 = 0 —————–(i)

y x+1 / y+1 = 1/2

(2x + 1) = (y + 1) ⇒ 2x + 2 = y + 1

2x – y + 1 = 0 ——————(ii)

Tenemos que resolver las ecuaciones anteriores para x e y,

Usando la multiplicación cruzada, tenemos

x / -1-2 = -y / 3+4 = 1 / -3+2

x / -3 = -y / 7 = 1 / -1

x = 3 y y = 7

Por lo tanto, la fracción es 3/7.

Pregunta 4. Si sumamos 1 al numerador y restamos 1 al denominador, una fracción se convierte en 1. También se convierte en 1/2 si solo sumamos 1 al denominador. ¿Cuál es la fracción?

Solución: 

Supongamos que el numerador y el denominador de la fracción son x e y respectivamente. Por lo tanto, la fracción es x/y.

Según las condiciones dadas,

x+1 / y-1 = 1

(x + 1) = (y – 1)

x + 1– y + 1 = 0

x – y + 2 = 0 ————–(i)

y x / y+1 = 1/2

2x = (y + 1)

2x – y – 1 = 0 ————-(ii)

Tenemos que resolver las ecuaciones anteriores para x e y,

Usando la multiplicación cruzada, tenemos

x/1+2 = -y/-1-4 = 1/-1+2

x/3 = y/5 = 1

x = 3 y y = 5

Por lo tanto, la fracción es 3/5.

Pregunta 5. La suma del numerador y el denominador de una fracción es 12. Si el denominador se incrementa en 3, la fracción se convierte en 1/2. Encuentra la fracción.

Solución: 

Supongamos que el numerador y el denominador de la fracción son x e y respectivamente. Por lo tanto, la fracción es x/y

Según las condiciones dadas,

x + y = 12

x + y – 12 = 0 —————(yo)

y x / y+3 = 1/2

2x = (y + 3)

2x – y – 3 = 0 —————-(ii)

Tenemos que resolver las ecuaciones anteriores para x e y.

Usando la multiplicación cruzada, tenemos

x / (-3-12) = -y / (-3+24) = 1 / (-1-2)

x/15 = y/21 = 1/3

x = 5 y y = 7

Por lo tanto, la fracción es 5/7.

Pregunta 6. Cuando se suma 3 al denominador y se resta 2 del numerador, la fracción se convierte en 14. Y, cuando se suma 6 al numerador y el denominador se multiplica por 3, se convierte en 23. Encuentra la fracción.

Solución: 

Supongamos que el numerador de una fracción sea x y el denominador sea y,

Según la condición dada,

x-2 / y+3 = 1/4 

4x – 8 = y + 3

4x – y = 11 ————–(yo)

y x+6 / 3y = 2/3 

3x + 18 = 6y

x – 2y = -6 ————–(ii)

x = 2y – 6 (de la ecuación (ii))

valor de sustitución de x en la ecuación. (i)

4(2y – 6) – y = 11

8y – 24 – y = 11

y = 5

x = 2 x 5 – 6 = 4

Por lo tanto, x / y = 4 / 5

Pregunta 7. La suma de un numerador y denominador de una fracción es 18. Si el denominador se aumenta en 2, la fracción se reduce a 1/3. Encuentra la fracción.

Solución: 

Supongamos que el numerador y el denominador de la fracción son x e y respectivamente. Por lo tanto, la fracción es x/y

Según las condiciones dadas,

x + y = 18

x + y – 18 = 0 —————(yo)

yx/y+2 =1/3

3x = (y + 2)

3x-y-2 = 0

3x – y – 2 = 0 —————-(ii)

Tenemos que resolver las ecuaciones anteriores para x e y,

Usando la multiplicación cruzada, tenemos

x / (-2-18) = -y / (-2+54) = 1 / (-1-3)

x/-20 = -y/52 = 1/-4

x = 5 y y = 13

Por lo tanto, la fracción es 5/13

Pregunta 8. Si al numerador de una fracción se le suma 2, se reduce a 1/2 y si al denominador se le resta 1, se reduce a 1/3. Encuentra la fracción.

Solución: 

Supongamos que el numerador y el denominador de la fracción son x e y respectivamente. Por lo tanto, la fracción es x/y

Según las condiciones dadas,

2(x + 2) = y  

2x + 4 = y

2x – y + 4 = 0 ————-(yo)

y x/y-1 = 1/3

3x = (y – 1)

3x – y + 1 = 0 —————-(ii)

Tenemos que resolver las ecuaciones anteriores para x e y.

Usando la multiplicación cruzada, tenemos

x / (-1+4) = -y / (2-12) = 1 / (-2+3)

x/3 = y/10 = 1

x = 3 y y = 10

Por lo tanto, la fracción es 3/10.

Pregunta 9. La suma del numerador y el denominador de una fracción es 4 más que el doble del numerador. Si el numerador y el denominador se aumentan en 3, están en la razón 2: 3. Determina la fracción.

Solución:

Supongamos que el numerador y el denominador de la fracción son x e y respectivamente. Por lo tanto, la fracción es x/y

Según las condiciones dadas,

x + y = 2x + 4

2x + 4 – x – y = 0

x – y + 4 = 0 —————-(yo)

y x + 3 : y + 3 = 2 : 3

3(x+3) = 2(y+3)

3x + 9 = 2y + 6  

3x – 2y + 3 = 0 ——–(ii)

Tenemos que resolver las ecuaciones anteriores para x e y.

Usando la multiplicación cruzada, tenemos

x/(-120+60) = y/(200-75) = 1/(-20+15)

x/60 = y/125 = 1/5

x = 5 y y = 9

Por lo tanto, la fracción es 5/9.

Pregunta 10. Si el numerador de una fracción se multiplica por 2 y el denominador se reduce por 5 la fracción se convierte en 6/5. Y, si se duplica el denominador y se aumenta el numerador en 8, la fracción se convierte en 2/5. Encuentra la fracción.

Solución: 

Supongamos que el numerador y el denominador de la fracción son x e y respectivamente. Por lo tanto, la fracción es x/y

Según las condiciones dadas,

2x/y-5 = 6/5

10x = 6(y – 5)

10x – 6y + 30 = 0

2(5x – 3y + 15) = 0

5x – 3y + 15 = 0 ————–(i)

y x+8 / 2y = 2/5

5(x + 8) = 4y  

5x + 40 = 4y

5x – 4y + 40 = 0 ———–(ii)

Tenemos que resolver las ecuaciones anteriores para x e y.

Usando la multiplicación cruzada, tenemos

x/(-120+60) = -y/(200-75) = 1/(-20+15)

x/60 = y/125 = 1/5

x = 12 y y = 25

Por lo tanto, la fracción es 12/25.

Pregunta 11. La suma del numerador y el denominador de una fracción es 3 menos que el doble del denominador. Si el numerador y el denominador se reducen en 1, el numerador se convierte en la mitad del denominador. Determinar la fracción

Solución:

Supongamos que el numerador y el denominador de la fracción son x e y respectivamente. Por lo tanto, la fracción es x/y

Según las condiciones dadas,

x-1 = 1/2 x (y-1)

x-1 / y-1 = 1/2

x + y = 2y – 3

x + y – 2y + 3 = 0

x – y + 3 = 0 ————(yo)

y 2(x – 1) = (y – 1)

2x – 2 = (y – 1)

2x – y – 1 = 0 —————(ii)

Tenemos que resolver las ecuaciones anteriores para x e y.

Usando la multiplicación cruzada, tenemos

x / (1+3) = -y / (-1-6) = 1 / (-1+2)

x/4 = y/7 = 11

x = 4 y y = 7

Por lo tanto, la fracción es 4/7.