Problema 1: En un ∆ABC, AD es la bisectriz de ∠A, que corta al lado BC en D.
(i) Si BD = 2,5 cm, AB = 5 cm y AC = 4,2 cm, encuentre DC
Solución:
Dado:
Longitud del lado BD = 2,5 cm, AB = 5 cm y AC = 4,2 cm.
Para hallar: Longitud del lado DC
En Δ ABC, AD es la bisectriz de ∠A, que encuentra al lado BC en D.
Como AD es ∠A bisectriz,
Por lo tanto,
AB/CA = 2,5/CC
5/4,2 = 2,5/DC (Puesto que AB = 5 cm y AC = 4,2 cm)
5DC = 4,2 × 2,5
CC = (4,2 × 2,5)/5
CC = 2,1 cm
Por lo tanto, la longitud del lado DC es de 2,1 cm.
(ii) Si BD = 2 cm, AB = 5 cm y DC = 3 cm, encuentre AC
Solución:
Dado:
Longitud del lado BD = 2 cm, AB = 5 cm y DC = 3 cm
Para hallar: Longitud del lado AC
En Δ ABC, AD es la bisectriz de ∠A, que encuentra al lado BC en D
Dado que, AD es ∠A bisectriz.
Por lo tanto,
AB/AC = BD/DC (ya que AD es la bisectriz de ∠A y el lado BC)
5/ AC = 2/3 (Ya que, BD = 2 cm, AB = 5 cm y DC = 3 cm)
2AC = 5 × 3
CA = 15/2
CA = 7,5 cm
Por lo tanto, la longitud del lado AC es de 7,5 cm.
(iii) Si AB = 3,5 cm, AC = 4,2 cm y DC = 2,8 cm, encuentre BD
Solución:
Dado:
Longitud del lado AB = 3,5 cm, AC = 4,2 cm y DC = 2,8 cm
Para hallar: Longitud del lado BD
En Δ ABC, AD es la bisectriz de ∠A, que encuentra al lado BC en D
Como AD es ∠A bisectriz
Por lo tanto,
⇒ AB/AC = BD/DC
3,5/ 4,2 = BD/ 2,8 (ya que, AB = 3,5 cm, AC = 4,2 cm y DC = 2,8 cm)
4,2 x BD = 3,5 × 2,8
DB = 7/3
∴ DB = 2,3 cm
Por lo tanto, la longitud del lado BD es de 2,3 cm.
(iv) Si AB = 10 cm, AC = 14 cm y BC = 6 cm, encuentre BD y DC.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AB = 10 cm, AC = 14 cm y BC = 6 cm
Para encontrar: Longitud del lado BD y DC
En Δ ABC, AD es la bisectriz de ∠A que se encuentra con el lado BC en D
Como AD es la bisectriz de ∠A
Por lo tanto,
AB/AC = BD/DC – ecuación 1
Sea BD x, entonces DC = 6-x
Ahora, poniendo valores en la ecuación 1
⇒10/ 14 = x/ (6 – x)
14x = 60 – 6x
20x = 60
x = 60/20
∴ BD = 3 cm y DC = (6 – 3) = 3 cm.
Por lo tanto, la longitud del lado BD es de 3 cm y DC es de 3 cm.
(v) Si AC = 4,2 cm, DC = 6 cm y BC = 10 cm, encuentre AB
Solución:
Dado:
Longitud del lado AC = 4,2 cm, DC = 6 cm y BC = 10 cm.
Para hallar: Longitud del lado AB
En Δ ABC, AD es la bisectriz de ∠A, que encuentra al lado BC en D.
Como AD es la bisectriz de ∠A
Por lo tanto, obtenemos
⇒ AB/AC = BD/DC
AB/ 4.2 = BD/ 6
Lo sabemos,
BD = BC – DC = 10 – 6 = 4 cm
⇒ AB/ 4.2 = 4/ 6
AB = (2 × 4,2)/ 3
∴ AB = 2,8 cm
Por lo tanto, la longitud del lado AB es de 2,8 cm.
(vi) Si AB = 5,6 cm, AC = 6 cm y DC = 3 cm, encuentre BC
Solución:
Dado:
Longitud del lado AB = 5,6 cm, BC = 6 cm y DC = 3 cm
Para hallar: Longitud del lado BC
En Δ ABC, AD es la bisectriz de ∠A, que encuentra al lado BC en D
Dado que, AD es la bisectriz ∠A
Por lo tanto, obtenemos
⇒ AB/AC = BD/DC
5.6/ 6 = BD/ 3
BD = 5,6/ 2 = 2,8 cm
Y, sabemos que,
BD = BC – DC
2,8 = BC – 3
2.8 + 3 = BC
∴ BC = 5,8 cm
Por lo tanto, la longitud del lado BC es de 5,8 cm.
(vii) Si AD = 5,6 cm, BC = 6 cm y BD = 3,2 cm, encuentre AC
Solución:
Dado:
Longitud del lado AB = 5,6 cm, BC = 6 cm y BD = 3,2 cm
Para hallar: Longitud del lado AC
En Δ ABC, AD es la bisectriz de ∠A, que encuentra al lado BC en D
Por lo tanto, obtenemos
⇒ AB/AC = BD/DC
5,6/ CA = 3,2/ CC
Y sabemos que
BD = BC – DC
3,2 = 6 – CC
∴ CC = 2,8 cm
⇒ 5,6/ CA = 3,2/ 2,8
CA = (5,6 × 2,8)/ 3,2
∴ CA = 4,9 cm
Por lo tanto, la longitud del lado AC es de 4,9 cm.
(viii) Si AB = 10 cm, AC = 6 cm y BC = 12 cm, encuentre BD y DC
Solución:
Dado:
Longitud del lado AB = 10 cm, AC = 6 cm y BC = 12 cm
Para encontrar: Longitud del lado BD y DC
En Δ ABC, AD es la bisectriz ∠A, que se encuentra con el lado BC en D.
Como AD es la bisectriz de ∠A
Por lo tanto, obtenemos
⇒ AB/AC = BD/DC
10/ 6 = BD/ DC – ecuación 1
Y también sabemos que
BD = BC – CC = 12 – CC
Sea x la longitud del lado BD,
Entonces la longitud del lado DC será 12 – x
Ahora poniendo valores en la ecuación 1, obtenemos
10/ 6 = x/ (12 – x)
5(12-x) = 3x
60 -5x = 3x
∴ x = 60/8 = 7,5
Por lo tanto, DC = 12 – 7,5 = 4,5 cm y BD = 7,5 cm
Por lo tanto, la longitud del lado BD es de 7,5 cm y DC es de 4,5 cm.
Problema 2: En la figura, AE es la bisectriz del ∠CAD exterior que se encuentra con BC producido en E. Si AB = 10 cm, AC = 6 cm y BC = 12 cm, encuentra CE.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AB = 10 cm, AC = 6 cm y BC = 12 cm
Y, AE es la bisectriz del exterior ∠CAD
Para hallar: Longitud del lado CE
Dado que AE es la bisectriz del exterior ∠CAD
Por lo tanto, obtenemos,
BE / CE = AB / AC ‘ – ecuación 1
Sea x la longitud del lado CE
Por lo tanto, BE = 12+ x
Ahora, poniendo este valor en la ecuación 1
(12+x)/ x = 10/ 6
6x + 72 = 10x
10x – 6x = 72
4x = 72
∴ x = 18
Como CE = x
Por lo tanto, la longitud del lado CE es de 18 cm.
Problema 3: Δ ABC es un triángulo tal que AB/AC = BD/DC, ∠B = 70 o , ∠C = 50 o , encuentra ∠BAD.
Solución:
Dado:
Δ ABC tal que AB/AC = BD/DC, ∠B = 70 o y ∠C = 50 o
Para encontrar: ∠MALO
En Δ ABC,
∠A + ∠B + ∠C = 180 0
∠A = 180 0 – (70 o + 50 o )
= 180 o – 120 o
= 60 o
Ya que, AB/AC = BD/DC
Por lo tanto, AD es la bisectriz de ∠A
Por lo tanto, ∠BAD = 1/2 (∠A )
Por lo tanto, ∠BAD = 60/2 = 30 o
Por lo tanto, ∠BAD es igual a 30 o
Problema 4: Comprueba si AD es la bisectriz de ∠A de Δ ABC en cada uno de los siguientes:
(i) AB = 5 cm, AC = 10 cm, BD = 1,5 cm y CD = 3,5 cm
Solución:
Dado:
Longitud del lado AB = 5 cm, AC = 10 cm, BD = 1,5 cm y CD = 3,5 cm
Para comprobar: si AD es la bisectriz de ∠A
Ahora,
AB/CA = 5/10 = 1/2
BD/CD = 1,5/3,5 = 3/7
Por lo tanto,
AB/CA ≠ BD/CD
Y como la razón entre los lados no es proporcional
Por lo tanto, AD no es la bisectriz de ∠A
(ii) AB = 4 cm, AC = 6 cm, BD = 1,6 cm y CD = 2,4 cm
Solución:
Dado:
Longitud del lado AB = 4 cm, AC = 6 cm, BD = 1,6 cm y CD = 2,4 cm
Para comprobar: si AD es la bisectriz de ∠A
Ahora,
AB/CA = 4/6 = 2/3
BD/CD = 1,6/2,4 = 2/3
Por lo tanto,
AB/AC = BD/CD
Y como la razón entre los lados es proporcional
Por lo tanto, AD es la bisectriz de ∠A
(iii) AB = 8 cm, AC = 24 cm, BD = 6 cm y BC = 24 cm
Solución:
Dado:
Longitud del lado AB = 8 cm, AC = 24 cm, BD = 6 cm y BC = 24 cm
Para comprobar: si AD es la bisectriz de ∠A
Largo del lado CD = BC – BD= 24 -6 =18cm
CD = 18cm
Ahora,
AB/CA = 8/24 = 1/3
BD/CD = 6/18 = 1/3
Por lo tanto,
AB/AC = BD/CD
Y como la razón entre los lados es proporcional
Por lo tanto, AD es la bisectriz de ∠A
(iv) AB = 6 cm, AC = 8 cm, BD = 1,5 cm y CD = 2 cm
Solución:
Dado:
Longitud del lado AB = 6 cm, AC = 8 cm, BD = 1,5 cm y CD = 2 cm
Para comprobar: si AD es la bisectriz de ∠A
Ahora,
AB/CA = 6/8 = 3/4
BD/CD = 1,5/2 = 3/4
Por lo tanto,
AB/AC = BD/CD
Y como la razón entre los lados es proporcional
Por lo tanto, AD es la bisectriz de ∠A
(v) AB = 5 cm, AC = 12 cm, BD = 2,5 cm y BC = 9 cm
Solución:
Dado:
Longitud del lado AB = 5 cm, AC = 12 cm, BD = 2,5 cm y BC = 9 cm
Para comprobar: si AD es la bisectriz de ∠A
Longitud del lado CD = BC – BD= 9 – 2,5 = 6,5 cm
CD = 6,5 cm
Ahora,
AB/CA = 5/12 = 5/12
BD/CD = 2,5/6,5 = 5/13
Por lo tanto,
AB/CA ≠ BD/CD
Y como la razón entre los lados no es proporcional
Por lo tanto, AD no es la bisectriz de ∠A
Problema 5: En la fig. AD biseca a ∠A, AB = 12 cm, AC = 20 cm y BD = 5 cm, determina CD.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AB = 12 cm, AC = 20 cm y BD = 5 cm
AD biseca ∠A
Para encontrar: Longitud del CD lateral
Como AD es la bisectriz de ∠A
Por lo tanto, obtenemos
AB/AC = BD/CD
20/12 = 5/CD
12 × CD = 20 × 5
CD = 100/12
CD = 8,33 cm
∴ CD = 8,33 cm.
Por lo tanto, la longitud del CD lateral es de 8,33 cm.
Problema 6: En Δ ABC, si ∠1 = ∠2,
Demostrar que, AB/AC = BD/CD
Solución:
Dado:
∠1 = ∠2
Para probar: AB/AC = BD/CD
Construcción: A través de C , dibuje CE || BA que se encuentra con BA en E al seguir produciendo la línea
Prueba :
Desde dC || CE
Por lo tanto, ∠2 = ∠3 (Ángulo alterno)
Y, ∠1 = ∠4 (Ángulo correspondiente)
Y ∠1 = ∠2 (Dado)
Por lo tanto, ∠3 = ∠4
Como los lados opuestos a los ángulos iguales son iguales
Entonces, AC = AE – ecuación 1
Ahora, en ΔBCE
anuncio || CE por construcción
Entonces, AD es la bisectriz de ∠A
Por lo tanto, obtenemos
AB/AE = BD/CD
Ya que, AC = AE de la ecuación 1
Por lo tanto, AB/AC = BD/CD
Por lo tanto probado
Problema 7: D y E son los puntos de los lados BC, CA y AB respectivamente. de un Δ ABC tal que AD biseca ∠A, BE biseca ∠B y CF biseca ∠C. Si AB = 5 cm, BC = 8 cm y CA = 4 cm, determine AF, CE y BD.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AB = 5 cm, BC = 8 cm y CA = 4 cm
AD biseca ∠A, BE biseca ∠B y CF biseca ∠C
Para encontrar: Longitud del lado AF, CE y BD
Como AD es la bisectriz de ∠A
Por lo tanto, obtenemos,
AB/AC = BD/CD
5/4 = BD/ (BC – BD) (Ya que CD = BC – BD)
5/4 = BD/ (8 – BD)
40 – 5HAB = 4HAB
9BD = 40
Por lo tanto, BD = 40/9
Como BE es la bisectriz de ∠B
Por lo tanto, obtenemos,
AB/BC = AE/CE
5/8 = (AC – EC)/EC (Ya que AE = AC – EC)
5/8 = (4 – CE)/CE
5EC = 8(4 – EC)
5EC = 32 -8EC
13CE =32
CE = 32/13
Por lo tanto, CE = 32/13
Ahora, como CF es la bisectriz de ∠C
Por lo tanto, obtenemos,
BC/CA = BF/AF
8/4 = (AB – AF)/AF (Ya que BF = AB – AF)
2 = (5 – AF)/AF
2AF = 5 – FA
3AF = 5
FA = 5/3
Por lo tanto, AF = 5/3
Entonces, la longitud de BD es 40/9 cm, EC es 32/13 cm y AF es 5/3 cm
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por vaibhavsingh19750nit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA