Clase 10 RD Sharma Solutions – Capítulo 4 Triángulos – Ejercicio 4.3

Problema 1: En un ∆ABC, AD es la bisectriz de ∠A, que corta al lado BC en D.

(i) Si BD = 2,5 cm, AB = 5 cm y AC = 4,2 cm, encuentre DC

Solución:

Dado:

Longitud del lado BD = 2,5 cm, AB = 5 cm y AC = 4,2 cm.

Para hallar: Longitud del lado DC

En Δ ABC, AD es la bisectriz de ∠A, que encuentra al lado BC en D.

Como AD es ∠A bisectriz,

Por lo tanto, 

AB/CA = 2,5/CC

5/4,2 = 2,5/DC (Puesto que AB = 5 cm y AC = 4,2 cm)

5DC = 4,2 × 2,5

CC = (4,2 × 2,5)/5

CC = 2,1 cm

Por lo tanto, la longitud del lado DC es de 2,1 cm.

(ii) Si BD = 2 cm, AB = 5 cm y DC = 3 cm, encuentre AC

Solución:

Dado:

Longitud del lado BD = 2 cm, AB = 5 cm y DC = 3 cm

Para hallar: Longitud del lado AC

En Δ ABC, AD es la bisectriz de ∠A, que encuentra al lado BC en D

Dado que, AD es ∠A bisectriz.

Por lo tanto,

AB/AC = BD/DC                                                (ya que AD es la bisectriz de ∠A y el lado BC)

5/ AC = 2/3 (Ya que, BD = 2 cm, AB = 5 cm y DC = 3 cm)

2AC = 5 × 3

CA = 15/2

CA = 7,5 cm

Por lo tanto, la longitud del lado AC es de 7,5 cm.

(iii) Si AB = 3,5 cm, AC = 4,2 cm y DC = 2,8 cm, encuentre BD

Solución:

Dado:

Longitud del lado AB = 3,5 cm, AC = 4,2 cm y DC = 2,8 cm

Para hallar: Longitud del lado BD

En Δ ABC, AD es la bisectriz de ∠A, que encuentra al lado BC en D

Como AD es ∠A bisectriz

Por lo tanto,

⇒ AB/AC = BD/DC

3,5/ 4,2 = BD/ 2,8 (ya que, AB = 3,5 cm, AC = 4,2 cm y DC = 2,8 cm)

4,2 x BD = 3,5 × 2,8

DB = 7/3

∴ DB = 2,3 cm

Por lo tanto, la longitud del lado BD es de 2,3 cm.

(iv) Si AB = 10 cm, AC = 14 cm y BC = 6 cm, encuentre BD y DC.

Solución:

Dado: 

 Longitud del lado AB = 10 cm, AC = 14 cm y BC = 6 cm

Para encontrar: Longitud del lado BD y DC

En Δ ABC, AD es la bisectriz de ∠A que se encuentra con el lado BC en D

Como AD es la bisectriz de ∠A

Por lo tanto, 

AB/AC = BD/DC                    – ecuación 1

Sea BD x, entonces DC = 6-x

Ahora, poniendo valores en la ecuación 1

⇒10/ 14 = x/ (6 – x)        

14x = 60 – 6x

20x = 60

x = 60/20

∴ BD = 3 cm y DC = (6 – 3) = 3 cm.

Por lo tanto, la longitud del lado BD es de 3 cm y DC es de 3 cm.

(v) Si AC = 4,2 cm, DC = 6 cm y BC = 10 cm, encuentre AB

Solución:

Dado:

 Longitud del lado AC = 4,2 cm, DC = 6 cm y BC = 10 cm.

Para hallar: Longitud del lado AB

En Δ ABC, AD es la bisectriz de ∠A, que encuentra al lado BC en D.

Como AD es la bisectriz de ∠A

Por lo tanto, obtenemos

⇒ AB/AC = BD/DC

AB/ 4.2 = BD/ 6

Lo sabemos,

BD = BC – DC = 10 – 6 = 4 cm

⇒ AB/ 4.2 = 4/ 6

AB = (2 × 4,2)/ 3

∴ AB = 2,8 cm

Por lo tanto, la longitud del lado AB es de 2,8 cm.

(vi) Si AB = 5,6 cm, AC = 6 cm y DC = 3 cm, encuentre BC

Solución:

Dado:

  Longitud del lado AB = 5,6 cm, BC = 6 cm y DC = 3 cm

Para hallar: Longitud del lado BC

En Δ ABC, AD es la bisectriz de ∠A, que encuentra al lado BC en D

Dado que, AD es la bisectriz ∠A

Por lo tanto, obtenemos

⇒ AB/AC = BD/DC

5.6/ 6 = BD/ 3

BD = 5,6/ 2 = 2,8 cm

Y, sabemos que,

BD = BC – DC

2,8 = BC – 3

2.8 + 3 = BC

∴ BC = 5,8 cm

Por lo tanto, la longitud del lado BC es de 5,8 cm.

(vii) Si AD = 5,6 cm, BC = 6 cm y BD = 3,2 cm, encuentre AC

Solución:

Dado:

Longitud del lado AB = 5,6 cm, BC = 6 cm y BD = 3,2 cm

Para hallar: Longitud del lado AC

En Δ ABC, AD es la bisectriz de ∠A, que encuentra al lado BC en D

Por lo tanto, obtenemos

⇒ AB/AC = BD/DC

5,6/ CA = 3,2/ CC

Y sabemos que

BD = BC – DC

3,2 = 6 – CC

∴ CC = 2,8 cm

⇒ 5,6/ CA = 3,2/ 2,8

CA = (5,6 × 2,8)/ 3,2

∴ CA = 4,9 cm

Por lo tanto, la longitud del lado AC es de 4,9 cm.

(viii) Si AB = 10 cm, AC = 6 cm y BC = 12 cm, encuentre BD y DC

Solución:

Dado:

Longitud del lado AB = 10 cm, AC = 6 cm y BC = 12 cm

Para encontrar: Longitud del lado BD y DC

En Δ ABC, AD es la bisectriz ∠A, que se encuentra con el lado BC en D.

Como AD es la bisectriz de ∠A

Por lo tanto, obtenemos

⇒ AB/AC = BD/DC

10/ 6 = BD/ DC – ecuación 1

Y también sabemos que

BD = BC – CC = 12 – CC

Sea x la longitud del lado BD,

Entonces la longitud del lado DC será 12 – x

Ahora poniendo valores en la ecuación 1, obtenemos

10/ 6 = x/ (12 – x)

5(12-x) = 3x

60 -5x = 3x

∴ x = 60/8 = 7,5

Por lo tanto, DC = 12 – 7,5 = 4,5 cm y BD = 7,5 cm

Por lo tanto, la longitud del lado BD es de 7,5 cm y DC es de 4,5 cm.

Problema 2: En la figura, AE es la bisectriz del ∠CAD exterior que se encuentra con BC producido en E. Si AB = 10 cm, AC = 6 cm y BC = 12 cm, encuentra CE.

Solución:

Dado:

Longitud del lado AB = 10 cm, AC = 6 cm y BC = 12 cm

Y, AE es la bisectriz del exterior ∠CAD

Para hallar: Longitud del lado CE

Dado que AE es la bisectriz del exterior ∠CAD

Por lo tanto, obtenemos,

BE / CE = AB / AC ‘ – ecuación 1

Sea x la longitud del lado CE

Por lo tanto, BE = 12+ x

Ahora, poniendo este valor en la ecuación 1

(12+x)/ x = 10/ 6

6x + 72 = 10x

10x – 6x = 72

4x = 72

∴ x = 18

Como CE = x 

Por lo tanto, la longitud del lado CE es de 18 cm.

Problema 3: Δ ABC es un triángulo tal que AB/AC = BD/DC, ∠B = 70 o , ∠C = 50 o , encuentra ∠BAD.

Solución:

Dado: 

Δ ABC tal que AB/AC = BD/DC, ∠B = 70 o y ∠C = 50 o

Para encontrar: ∠MALO

En Δ ABC,

∠A + ∠B + ∠C = 180 0

∠A = 180 0 – (70 o + 50 o )

= 180 o – 120 o

= 60 o

Ya que, AB/AC = BD/DC

Por lo tanto, AD es la bisectriz de ∠A

Por lo tanto, ∠BAD = 1/2 (∠A )

Por lo tanto, ∠BAD = 60/2 = 30 o

Por lo tanto, ∠BAD es igual a 30 o

Problema 4: Comprueba si AD es la bisectriz de ∠A de Δ ABC en cada uno de los siguientes:

(i) AB = 5 cm, AC = 10 cm, BD = 1,5 cm y CD = 3,5 cm

Solución: 

Dado:

Longitud del lado AB = 5 cm, AC = 10 cm, BD = 1,5 cm y CD = 3,5 cm

Para comprobar: si AD es la bisectriz de ∠A 

Ahora,

AB/CA = 5/10 = 1/2

BD/CD = 1,5/3,5 = 3/7

Por lo tanto,

AB/CA ≠ BD/CD

Y como la razón entre los lados no es proporcional

Por lo tanto, AD no es la bisectriz de ∠A

(ii) AB = 4 cm, AC = 6 cm, BD = 1,6 cm y CD = 2,4 cm 

Solución:

Dado:

Longitud del lado AB = 4 cm, AC = 6 cm, BD = 1,6 cm y CD = 2,4 cm 

Para comprobar: si AD es la bisectriz de ∠A 

Ahora,

AB/CA = 4/6 = 2/3

BD/CD = 1,6/2,4 = 2/3

Por lo tanto,

AB/AC = BD/CD

Y como la razón entre los lados es proporcional

Por lo tanto, AD es la bisectriz de ∠A

(iii) AB = 8 cm, AC = 24 cm, BD = 6 cm y BC = 24 cm

Solución:

Dado:

Longitud del lado AB = 8 cm, AC = 24 cm, BD = 6 cm y BC = 24 cm

Para comprobar: si AD es la bisectriz de ∠A

Largo del lado CD = BC – BD= 24 -6 =18cm

CD = 18cm

Ahora,

AB/CA = 8/24 = 1/3

BD/CD = 6/18 = 1/3

Por lo tanto,

AB/AC = BD/CD

Y como la razón entre los lados es proporcional

Por lo tanto, AD es la bisectriz de ∠A

(iv) AB = 6 cm, AC = 8 cm, BD = 1,5 cm y CD = 2 cm

Solución:

Dado:

Longitud del lado AB = 6 cm, AC = 8 cm, BD = 1,5 cm y CD = 2 cm

Para comprobar: si AD es la bisectriz de ∠A

Ahora,

AB/CA = 6/8 = 3/4

BD/CD = 1,5/2 = 3/4

Por lo tanto,

AB/AC = BD/CD

Y como la razón entre los lados es proporcional

Por lo tanto, AD es la bisectriz de ∠A

(v) AB = 5 cm, AC = 12 cm, BD = 2,5 cm y BC = 9 cm

Solución:

Dado:

Longitud del lado AB = 5 cm, AC = 12 cm, BD = 2,5 cm y BC = 9 cm

Para comprobar: si AD es la bisectriz de ∠A

Longitud del lado CD = BC – BD= 9 – 2,5 = 6,5 cm

CD = 6,5 cm

Ahora,

AB/CA = 5/12 = 5/12

BD/CD = 2,5/6,5 = 5/13

Por lo tanto,

AB/CA ≠ BD/CD

Y como la razón entre los lados no es proporcional

Por lo tanto, AD no es la bisectriz de ∠A

Problema 5: En la fig. AD biseca a ∠A, AB = 12 cm, AC = 20 cm y BD = 5 cm, determina CD.

Solución:

Dado: 

Longitud del lado AB = 12 cm, AC = 20 cm y BD = 5 cm

 AD biseca ∠A

Para encontrar: Longitud del CD lateral

Como AD es la bisectriz de ∠A

Por lo tanto, obtenemos

AB/AC = BD/CD

20/12 = 5/CD

12 × CD = 20 × 5

CD = 100/12

CD = 8,33 cm

∴ CD = 8,33 cm.

Por lo tanto, la longitud del CD lateral es de 8,33 cm.

Problema 6: En Δ ABC, si ∠1 = ∠2, 

Demostrar que, AB/AC = BD/CD

Solución: 

Dado:

 ∠1 = ∠2

Para probar: AB/AC = BD/CD

Construcción: A través de C , dibuje CE || BA que se encuentra con BA en E al seguir produciendo la línea

Prueba :

Desde dC || CE 

Por lo tanto, ∠2 = ∠3 (Ángulo alterno)

Y, ∠1 = ∠4 (Ángulo correspondiente)        

Y ∠1 = ∠2 (Dado)

Por lo tanto, ∠3 = ∠4 

Como los lados opuestos a los ángulos iguales son iguales

Entonces, AC = AE              – ecuación 1

Ahora, en ΔBCE

anuncio || CE por construcción

Entonces, AD es la bisectriz de ∠A

Por lo tanto, obtenemos

AB/AE = BD/CD

Ya que, AC = AE de la ecuación 1

 Por lo tanto, AB/AC = BD/CD         

Por lo tanto probado

Problema 7: D y E son los puntos de los lados BC, CA y AB respectivamente. de un Δ ABC tal que AD biseca ∠A, BE biseca ∠B y CF biseca ∠C. Si AB = 5 cm, BC = 8 cm y CA = 4 cm, determine AF, CE y BD.

Solución:

Dado:

Longitud del lado AB = 5 cm, BC = 8 cm y CA = 4 cm

AD biseca ∠A, BE biseca ∠B y CF biseca ∠C

Para encontrar: Longitud del lado AF, CE y BD

Como AD es la bisectriz de ∠A

Por lo tanto, obtenemos,

AB/AC = BD/CD

5/4 = BD/ (BC – BD) (Ya que CD = BC – BD)

5/4 = BD/ (8 – BD)

40 – 5HAB = 4HAB

9BD = 40

Por lo tanto, BD = 40/9

Como BE es la bisectriz de ∠B

Por lo tanto, obtenemos,

AB/BC = AE/CE

5/8 = (AC – EC)/EC (Ya que AE = AC – EC)

5/8 = (4 – CE)/CE

5EC = 8(4 – EC)

5EC = 32 -8EC

13CE =32

CE = 32/13

Por lo tanto, CE = 32/13

Ahora, como CF es la bisectriz de ∠C

Por lo tanto, obtenemos,

BC/CA = BF/AF

8/4 = (AB – AF)/AF (Ya que BF = AB – AF)

2 = (5 – AF)/AF

2AF = 5 – FA

3AF = 5

FA = 5/3

Por lo tanto, AF = 5/3

Entonces, la longitud de BD es 40/9 cm, EC es 32/13 cm y AF es 5/3 cm

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vaibhavsingh19750nit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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