Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 8 Ecuaciones cuadráticas – Ejercicio 8.1

Pregunta 1. ¿Cuáles de las siguientes son ecuaciones cuadráticas?

(yo) x ² + 6x – 4 = 0

Solución:

Como sabemos, la ecuación cuadrática tiene la forma de: ax ² + bx + c = 0

Aquí, la ecuación dada es x ² + 6x – 4 =0 en una ecuación cuadrática.

Entonces, es una ecuación cuadrática.

(ii) √3x ² − 2x + ½= 0

Solución:

Como sabemos, la ecuación cuadrática tiene la forma de: ax ² + bx + c = 0

Aquí, la ecuación dada es √3x ² − 2x + ½= 0 en la ecuación cuadrática.

Entonces, es una ecuación cuadrática.

(iii) x ² + 1/x ²  = 5

Solución:

Esta ecuación se puede escribir como: x ⁴ – 5x ² + 1 =0

Como sabemos, la ecuación cuadrática tiene la forma de: ax ² + bx + c = 0

Aquí, la ecuación dada es x ⁴ – 5x ² + 1 =0 es un polinomio de 4 grados.

Entonces, no son ecuaciones cuadráticas.

(iv) x – 3/x = x ²

Solución:

Esta ecuación se puede escribir como: x ³ – x ² – 3 = 0

Como sabemos, la ecuación cuadrática tiene la forma de: ax ² + bx + c = 0

Aquí, la ecuación dada es x ³ – x ² – 3 = 0 es un polinomio de 3 grados.

Entonces, no son ecuaciones cuadráticas.

(v) 2x ² – √3x + 9 = 0

Solución:

Como sabemos, la ecuación cuadrática tiene la forma de: ax ² + bx + c = 0

Aquí, la ecuación dada es 2x ² – √3x + 9 = 0 en la ecuación cuadrática.

Entonces, es una ecuación cuadrática.

(vi) x ² – 2x -√x – 5 = 0

Solución:

Como sabemos, la ecuación cuadrática tiene la forma de: ax ² + bx + c = 0

Aquí, la ecuación dada es x ² – 2x -√x -5 = 0.

Entonces, no es una ecuación cuadrática.

(vii) 3x ² − 5x + 9 = x ² − 7x + 3

Solución:

Esta ecuación se puede escribir como: 2x ² + 2x + 6 = 0

Como sabemos, la ecuación cuadrática tiene la forma de: ax ² + bx + c = 0

Aquí, la ecuación dada es 2x ² + 2x + 6 = 0 en la ecuación cuadrática.

Entonces, es una ecuación cuadrática.

(viii) x + 1/x = 1

Solución:

Esta ecuación se puede escribir como: x ² – x + 1 = 0

Como sabemos, la ecuación cuadrática tiene la forma de: ax ² + bx + c = 0

Aquí, la ecuación dada es x ² – x + 1 = 0 en la ecuación cuadrática.

Entonces, es una ecuación cuadrática.

(ix) x ² – 3x = 0

Solución:

Como sabemos, la ecuación cuadrática tiene la forma de: ax ² + bx + c = 0

Aquí, la ecuación dada es x ² – 3x =0 en ecuación cuadrática.

Entonces, es una ecuación cuadrática.

(x) (x + 1/x) ² = 3(x +1/x)

Solución:

((x ² + 1)/x) ² = 3 ((x ² + 1)/2)

Esta ecuación se puede escribir como: x ⁵ – 3x ⁴ + 2x ³ – 3x ² + x =0

Como sabemos, la ecuación cuadrática tiene la forma de: ax ² + bx + c = 0

Aquí, la ecuación dada es x ⁵ – 3x ⁴ + 2x ³ – 3x ² + x = 0 es un polinomio de 5 grados.

Entonces, no son ecuaciones cuadráticas.

(xi) (2x ² + 1)(3x ² + 2) = 6(x ^​​2 − 1)(x ² − 2)

Solución:

Esta ecuación se puede escribir como:

6x ² + 4x + 3x + 2 = 6x ² -12x – 6x + 12

7x + 2 = -18x + 12

Esta ecuación se puede escribir como: 25x – 10 = 0 

Como sabemos, la ecuación cuadrática tiene la forma de: ax ² + bx + c = 0

Aquí, la ecuación dada es 25x – 10 = 0 es un polinomio de 1 grado.

Entonces, no son ecuaciones cuadráticas.

(xii) x + 1/x = x ² , x ≠ 0

Solución:

x + 1/x = x ²

Al multiplicar por x en ambos lados tenemos,
x ² + 1 = x ³

Esta ecuación se puede escribir como: x ³ – x ² – 1 = 0

Como sabemos, la ecuación cuadrática tiene la forma de: ax ² + bx + c = 0

Aquí, la ecuación dada x ³ – x ² – 1 = 0 es = 0 es un polinomio de 3 grados.

Entonces, no son ecuaciones cuadráticas.

(xiii) 16x ² – 3 = (2x + 5)(5x – 3)

Solución:

16x ² – 3 = (2x + 5)(5x – 3)

16x ² – 3 = 10x ² – 6x + 25x – 15

Esta ecuación se puede escribir como: 6x ² – 19x + 12 = 0

Como sabemos, la ecuación cuadrática tiene la forma de: ax ² + bx + c = 0

Aquí, la ecuación dada es 6x ² – 19x + 12 = 0 es un polinomio de 2 grados.

Entonces, son ecuaciones cuadráticas.

(xiv) (x + 2) ³ = x ³ – 4

Solución:

(x + 2) ³ = x ³ – 4

Al expandir, obtenemos
x ³ + 6x ² + 8x + 8 = x ³ – 4

6x ² + 8x + 12 = 0

Esta ecuación se puede escribir como: 6x ² + 8x + 12 = 0

Como sabemos, la ecuación cuadrática tiene la forma de: ax ² + bx + c = 0

Aquí, la ecuación dada es 6x ² – 19x + 12 = 0 es un polinomio de 2 grados.

Entonces, son ecuaciones cuadráticas.

(xv) x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x – 2)

Solución: 

x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x – 2)

x2 + x + 8 = ^{x2 –} 4

X + 12 = 0 

Esta ecuación se puede escribir como: x + 12 = 0 

Como sabemos, la ecuación cuadrática tiene la forma de: ax ² + bx + c = 0

Aquí, la ecuación dada es x + 12 = 0 es un polinomio de 0 grados.

Entonces, no es una ecuación cuadrática.

Pregunta 2. En cada uno de los siguientes, determine si los valores dados son soluciones de la ecuación dada o no:

(i) x ² – 3x + 2 = 0, x = 2, x = – 1

Solución:

Aquí tenemos valores de verificación para determinar la solución de la ecuación dada:

IZQ = x ² – 3x + 2

Ahora pondremos x = 2 en LHS, obtenemos

(2) ² – 3(2) + 2

⇒ 4 – 6 + 2 = 0 = RHS

⇒ LHS = RHS

Entonces, podemos decir que x = 2 no es una solución de la ecuación dada.

Similarmente,

Ahora, pondremos x = -1 en LHS, obtenemos

(-1) ² – 3(-1) + 2

1 + 3 + 2 = 6 ≠ DER.

IZQ ≠ DERECHO

Entonces, podemos decir que x = -1 no es una solución de la ecuación dada.

(ii) x ² + x + 1 = 0, x = 0, x = 1

Solución:

Aquí tenemos valores de verificación para determinar la solución de la ecuación dada:

IZQ = x ² + x + 1

Ahora pondremos x = 0 en LHS, obtenemos

(0) ² + 0 + 1

⇒ 1 ≠ DER.

⇒ LHS ≠ RHS

Entonces, podemos decir que x = 0 no es una solución de la ecuación dada.

Similarmente,

Ahora, pondremos x = 1 en LHS, obtenemos

(1) ² + 1 + 1

⇒ 3 ≠ DER.

⇒ LHS ≠ RHS

Entonces, podemos decir que x = 1 no es una solución de la ecuación dada.

(iii) x ² − 3√3x + 6 = 0, x = √3 y x = −2√3

Solución:

Aquí tenemos valores de verificación para determinar la solución de la ecuación dada:

IZQ = x ² − 3√3x + 6

Ahora, pondremos x = √3 en LHS, obtenemos

(√3) ² − 3√3(√3) + 6

⇒ 3 – 9 + 6 = 0 = RHS

⇒ LHS = RHS

Entonces, podemos decir que x = √3 es una solución de la ecuación dada.

Similarmente,

Ahora, pondremos x = −2√3 en LHS, obtenemos

(-2√3) ² − 3√3(-2√3) + 6

⇒ 12 + 18 + 6 = 36 ≠ RHS

⇒ LHS ≠ RHS

Entonces, podemos decir que x = −2√3 no es una solución de la ecuación dada.

(iv) x + 1/x = 13/6, x = 5/6, x = 4/3

Solución:

Aquí tenemos valores de verificación para determinar la solución de la ecuación dada:

IZQ = x +1/ x

Ahora, pondremos x = 5/6 en LHS, obtenemos

(5/6) + 1/(5/6) = 5/6 + 6/5

⇒ 61/30 ≠ DER.

⇒ LHS ≠ RHS

Entonces, podemos decir que x = 5/6 no es una solución de la ecuación dada.

Similarmente,

Ahora, pondremos x = 4/3 en LHS, obtenemos

(4/3) + 1/(4/3) = 4/3 + 3/4

⇒ 25/12 ≠ RH

⇒ LHS ≠ RHS

Entonces, podemos decir que x = 3/4 no es una solución de la ecuación dada.

(v) 2x ² – x + 9 = x ² + 4x + 3, x = 2, x = 3

Solución:

Aquí tenemos valores de verificación para determinar la solución de la ecuación dada:

2x ² – x + 9 = x ² + 4x + 3

⇒ x2 ^– 5x + 6 = 0

IZQ = x ² – 5x + 6

Ahora, pondremos x = 2 en LHS, obtenemos

(2) ² – 5(2) + 6

4 – 10 + 6 = 0 = lado derecho

⇒ LHS = RHS

Entonces, podemos decir que x = 2 es una solución de la ecuación dada.

Similarmente,

Ahora, pondremos x = 3 en LHS, obtenemos

(3) ² – 5(3) + 6

⇒ 9 – 15 + 6 = 0 = lado derecho

⇒ LHS = RHS

Entonces, podemos decir que x = 3 es una solución de la ecuación dada.

(vi) x ² – √2x – 4 = 0, x = -√2, x = -2√2

Solución:

Aquí tenemos valores de verificación para determinar la solución de la ecuación dada:

IZQ = x ² – √2x – 4

Ahora, pondremos x = -√2 en LHS, obtenemos

(-√2) ² − √2(-√2) – 4

⇒ 4 + 2 – 4 = 2 ≠ RHS

⇒ LHS ≠ RHS

Entonces, podemos decir que x = -√2 es una solución de la ecuación dada.

Similarmente,

Ahora, pondremos x = −2√2 en LHS, obtenemos

(-2√2) ² − √2(-2√2) – 4

⇒ 8 + 4 – 4 = 8 ≠ RHS

⇒ LHS ≠ RHS

Entonces, podemos decir que x = −2√2 no es una solución de la ecuación dada.

(vii) a ² x ² – 3abx + 2b ² = 0, x = a/b, x = b/a

Solución:

Aquí tenemos valores de verificación para determinar la solución de la ecuación dada:

IZQ = a ² x ² – 3abx + 2b ²

Ahora, pondremos x = a/b en LHS, obtenemos

a ² (a/b) ² -3ab(a/b) + 2b ²

⇒ a ⁴ /b ² – 3a ² + 2b ² ≠ RHS

⇒ LHS ≠ RHS

Entonces, podemos decir que x = a/b es una solución de la ecuación dada.

Similarmente,

Ahora, pondremos x = b/a en LHS, obtenemos

a ² (b/a) ² – 3ab(b/a) + 2b ²

⇒ b ² – 3b ² + 2b ² = RHS

⇒ LHS = RHS

Entonces, podemos decir que x = b/a no es una solución de la ecuación dada.

Pregunta 3: En cada uno de los siguientes, encuentre el valor de k para el cual el valor dado es una solución de la ecuación dada.

(i) 7x ² + kx – 3 = 0, x = 2/3

Solución:

Aquí tenemos que encontrar el valor de k. Entonces, pondremos el valor de x = 2/3 en la ecuación dada.

Aquí, x = 2/3

7(2/3) ² + k(2/3) – 3 =0

28/9 + 2k/3 -3 =0

2k/3 = 3 – 28/9

2k/3 = (27 – 28)/9

2k/3 = -1/9

k = -1/6

Al poner valor de x = 2/3, obtendremos k = -1/6.

(ii) x2 ^– x(a + b) + k = 0, x = a

Solución:

Aquí tenemos que encontrar el valor de k. Entonces, pondremos el valor de x = a en la ecuación dada.

Aquí, x = un

un ² – un ² – ab + k = 0

k = ab

Al poner valor de x = a, obtenemos k = ab.

(iii) kx ² + √2x – 4 = 0, x = √2

Solución:

Aquí tenemos que encontrar el valor de k. Entonces, pondremos el valor de x = √2 en la ecuación dada.

Aquí, x = √2

k(√2) ² + (√2) ² – 4 = 0

2k + 2 – 4 = 0

2k – 2 = 0

k = 1

Al poner valor de x = √2, obtenemos k = 1.

(iv) x2 ⁺ 3ax + k = 0, x = -a

Solución:

Aquí tenemos que encontrar el valor de k. Entonces, pondremos el valor de x = -a en la ecuación dada.

Aquí, x = -a

(- un) ² + 3a(- un) + k = 0

a ² – 3a ² + k = 0

k = 2a ²

Al poner valor de x = – a, obtenemos k = 2a ² .

Pregunta 4. Dado para verificar si 3 es una raíz de la ecuación

√( ^x2 – 4x +3) + √(x2 ^-9 ) = √(4×2 ^– 14x + 16)

Solución:

Aquí tenemos que verificar si 3 es la raíz de la ecuación o no.

Entonces, primero ponemos x = 3 en el lado LHS.

√((3) ² – 4(3) + 3) + √((3) ² – 9)

⇒ 0 + 0 = 0

Ahora, pondremos el valor x = 3 en el lado derecho.

√(4(3) ² – 14(3) + 16)

⇒ √(52 – 42) = √10

Ahora podemos decir que LHS ≠ RHS.

Entonces, x = 3 no es la raíz de la ecuación.

Pregunta 5. Si x = 2/3 y x = -3 son las raíces de la ecuación ax ² + 7x + b = 0, encuentra los valores de a y b.

Solución:

Aquí tenemos que encontrar el valor de a y b, por lo que pondremos los valores x = 2/3 y x = -3 en la ecuación.

Entonces primero pon x = 2/3

a(2/3) ² + 7(2/3) + b =0

4a/9 + 14/3 + b =0

4a + 42 + 3b = 0 — (yo)

Ahora, x = -3.

a(-3) ² + 7(-3) + b = 0

9a – 21 + b = 0 –(ii)

Ahora resolviendo estas ecuaciones (i) y (ii).

Después de resolver estas ecuaciones, obtenemos a = 3 yb = -6.