Pregunta 1: Ashu tiene x años mientras que su madre, la Sra. Veena, tiene x 2 años. Dentro de cinco años, la señora Veena tendrá tres veces la edad de Ashu. Halla sus edades actuales.
Solución:
La edad actual de Ashu es = x años
y la edad actual de la Sra. Veena es = x 2 años
Ahora dentro de cinco años,
La edad de la Sra. Veena será = (x 2 + 5) años
y la edad de Ashu será = (x + 5) años
Así que de acuerdo con la pregunta-
⇒ Edad de la Sra. Veena = Tres veces la edad de Ashu
⇒ x2 + 5 = 3 (x + 5)
⇒ x2 + 5 = 3x + 15
⇒ x 2 – 3x – 10 = 0
Ahora para factorizar por encima de la ecuación cuadrática-
Coeficiente de ruptura de x en forma de diferencia como término constante es negativo-
⇒ x2 – (5-2)x – 10 = 0
⇒ x 2 – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
⇒ (x – 5)(x + 2) = 0
⇒ Ya sea x – 5 = 0 o x + 2 = 0
x = 5 o x = -2
Entonces, al descartar x = -2 (porque la edad no puede ser negativa)-
Edad actual de la Sra. Veena = x 2 = 25 años
y la edad actual de Ashu = x = 5 años
Pregunta 2: La suma de las edades de un hombre y su hijo es 45 años. Hace cinco años, el producto de sus edades era cuatro veces la edad del hombre en ese momento. Halla sus edades actuales.
Solución:
Sea la edad actual del hombre = x años
y dado,
Edad actual del hombre + edad actual del hijo = 45 años
⇒ Edad actual del hijo = (45 – x) años.
Ahora hace cinco años-
⇒ Edad del hombre = (x – 5) años
y edad de su hijo = (45-x) – 5 años
⇒ edad del hijo = (40-x) años
Ahora según la pregunta (hace cinco años) –
Producto de sus edades = cuatro veces la edad del hombre en ese momento
⇒ (x – 5)(40 – x) = 4(x – 5)
⇒ (x – 5)(40 – x) – 4(x – 5) = 0
⇒ (x – 5)(40 – x – 4) = 0 [tomando común (x-5)]
⇒ (x – 5)(x – 36) = 0
⇒ ya sea x – 5 = 0 o x – 36 = 0
Ahora en el primer caso si tomamos x = 5 entonces
Edad del hombre = 5 años
La edad de su hijo = 40 años (No es posible)
entonces x = 36
⇒ Edad actual del Hombre = x = 36 años
⇒ y edad actual de su hijo = (45 – x) = 9 años
Pregunta 3: El producto de la edad de Shikha hace cinco años y su edad 8 años después es 30, su edad en ambos momentos está expresada en años. Encuentra su edad actual.
Solución:
Sea la edad actual de Shikha = x años
Así que hace cinco años la edad de Shikha era = (x – 5) años
Y 8 años después la edad de Shikha será = (x + 8) años
Ahora de acuerdo a la pregunta-
⇒ (hace cinco años la edad de Shikha) × (8 años después la edad de Shikha) = 30
⇒ (x – 5)(x + 8) = 30
⇒ x2 + 3x – 40 = 30
⇒ x2 + 3x – 70 = 0
⇒ x 2 + (10 – 7)x – 70 = 0 [cuando el término constante es negativo siempre
romper el coeficiente de x en la forma de diferencia]
⇒ x2 + 10x – 7x – 70 = 0
⇒ x(x+10) – 7(x+10) = 0
⇒ (x + 10)(x – 7) = 0 [después de la factorización]
⇒ Ya sea x + 10 = 0 o x – 7 = 0
x = -10 o x = 7
⇒ x = -10 no es válido ya que la edad nunca puede ser negativa
Entonces tomando x = 7
Significa que la edad actual de Shikha es de 7 años.
Pregunta 4: El producto de la edad de Ramu (en años) hace cinco años y su edad (en años) nueve años después es 15. Determine la edad actual de Ramu.
Solución:
Sea la edad actual de Ramu = x años
Asi que,
Hace cinco años la edad de Ramu era = (x-5) años
Y nueve años después la edad de Ramu será = (x+9) años
Ahora de acuerdo a la pregunta –
(Hace cinco años la edad de Ramu)×(Nueve años después la edad de Ramu) = 15
⇒ (x-5)(x+9) = 15
⇒ x2 + 4x – 45 = 15
⇒ x2 + 4x – 60 = 0
Ahora realizando la factorización—
⇒ x2 + (10 – 6)x – 60 = 0
⇒ x2 + 10x – 6x – 60 = 0
⇒ x(x + 10) – 6(x + 10) = 0
⇒ (x + 10)(x – 6) = 0
⇒ Ya sea x + 10 = 0 o x – 6 = 0
x = -10 o x = 6
Entonces x = -10 no es válido ya que la edad nunca puede ser negativa,
⇒ Tomando x = 6
Significa que la edad actual de Ramu es de 6 años.
Pregunta 5: ¿Es posible la siguiente situación? Si es así, determine sus edades actuales. La suma de las edades de dos amigos es 20 años. Hace cuatro años, el producto de sus edades en años era 48.
Solución:
Sean A y B dos amigos.
Y la edad de A es = x años
Ahora, de acuerdo con la primera condición:
(Edad de A) + (Edad de B) = 20
⇒ x + (Edad de B) = 20
⇒ Edad de B = (20 – x) años
Así que hace cuatro años,
La edad de A era = (x – 4) años
y la edad de B era = (20 – x – 4)= (16 – x) años
Ahora llegando a la Segunda condición –
(edad de A) × (edad de B) = 48
⇒ (x-4)(16-x) = 48
⇒ 16x – x2 – 64 + 4x = 48
⇒ -x 2 + 20x – 112 = 0
⇒ x 2 – 20x + 112 = 0 ———————————–(1)
Ahora verificando Discriminante (D) = b 2 – 4ac
Comparando la ecuación (1) con ax 2 + bx + c = 0—
⇒ a = 1, b = -20, c = 112
⇒ D = (-20) 2 – 4 * 1 * 112
⇒ D = 400 – 448
⇒ D = -48
⇒ D < 0
Entonces las raíces son medios imaginarios.
Por lo tanto, las situaciones dadas anteriormente no son posibles.
Pregunta 6: Una niña tiene el doble de la edad de su hermana. Dentro de cuatro años, el producto de sus edades (en años) será 160. Calcula sus edades actuales.
Solución:
Sea la edad actual de la niña = 2x años
Así que la edad actual de su hermana = x años [porque la niña tiene el doble de la edad de su hermana
entonces la edad de la hermana será la mitad de la edad de la niña]
Ahora dentro de cuatro años-
La edad de la niña será = (2x + 4) años
y la edad de la hermana sera = (x + 4) años
Ahora, de acuerdo con la condición dada:
⇒ (edad de la niña) × (hermana) = 160
⇒ (2x+4)(x+4) = 160
⇒ 2x 2 + 8x + 4x + 16 = 160
⇒ 2x 2 + 12x + 16 -160 = 0
⇒ 2x 2 + 12x – 144 = 0
⇒ x2 + 6x – 72 = 0
⇒ x2 + 12x – 6x – 72 =0
⇒ x(x + 12) – 6(x + 12) = 0
⇒ (x – 6)(x + 12) = 0
⇒ Ya sea x – 6 = 0 o x + 12 = 0
x = 6 o x = -12
Pero x = -12 no es posible ya que la edad nunca puede ser negativa
Entonces tomando x = 6
⇒ Edad actual de la Niña = 2x = 12 años
y la edad actual de su hermana = x = 6 años.
Pregunta 7: La suma de los recíprocos de las edades de Rehman (en años) hace 3 años y dentro de 5 años es 1/3. Halla su edad actual.
Solución:
Sea la edad actual de Rehman = x años
Así que hace tres años la edad de Rehman era = (x-3) años
y cinco años después la edad de Rehman será = (x+5) años
Ahora de acuerdo con la condición dada-
⇒ [1/(hace tres años de la edad de Rehman)] + [1/(cinco años después de la edad de Raehman)] = 1/3
⇒ [1/(x – 3)] + [1/(x + 5)] = 1/3
⇒ (x + 5) + (x – 3) = (x + 5)(x – 3)/3 [después de tomar MCM y transferir el denominador de LHS a RHS]
⇒ 3(2x + 2) = (x 2 + 2x – 15) [multiplicando por 3]
⇒ 6x + 6 = x2 + 2x – 15
⇒ x 2 – 4x – 21 = 0
⇒ x 2 – (7 – 3)x – 21 = 0 [por ley de factorización]
⇒ x 2 – 7x + 3x – 21 = 0
⇒ x(x – 7) + 3(x – 7) = 0
⇒ (x – 7)(x + 3) = 0
⇒ Ya sea x – 7 = 0 o x + 3 = 0
x = 7 o x = -3
Pero x = -3 no es posible ya que la edad nunca puede ser negativa.
Entonces tomando x = 7 —
Media edad actual de Rehman = 7 años.
Pregunta 8: Si Zeba fuera 5 años más joven de lo que realmente es, entonces el cuadrado de su edad (en años) habría sido 11 más de 5 veces su edad real. ¿Cuál es su edad ahora?
Solución:
Sea la edad actual de Zeba (edad real) = x años
Entonces su edad si fuera 5 años menor = (x – 5) años
Ahora según la condición-
⇒ (x – 5) 2 = 5x + 11
⇒ x2 – 10x + 25 = 5x + 11
⇒ x2 – 15x + 14 = 0
⇒ x2 – (14 + 1)x + 14 = 0
⇒ x 2 -14x – x + 14 = 0
⇒ x(x – 14) – (x – 14) = 0
⇒ (x – 14)(x – 1) = 0
⇒ Ya sea x – 1 = 0 o x – 14 = 0
Pero si x – 1 = 0 ⇒ x = 1, entonces en este caso la situación cuando ella era 5 años menor no es posible.
Por lo tanto, tomando x – 14 = 0
⇒ x = 14
significa que la edad actual de Zeba es = 14 años