Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 9 Razones trigonométricas de ángulos múltiples y submúltiplos – Ejercicio 9.3

Posted on by Rudeus Greyrat

Pruebalo:

Pregunta 1. sen 2 72 o – sen 2 60 o = (√5 – 1)/8

Solución:

Tenemos,

LHS = sen 2 72 o – sen 2 60 o

= sen 2 (90 o –18 o ) – sen 2 60 o

= cos 2 18 o – sen 2 60 o

= \left(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2

=  \frac{10 + 2\sqrt{5}}{16} - \frac{3}{4}

= \frac{10 + 2\sqrt{5} - 12}{16}

= \frac{2\sqrt{5} - 2}{16}

=  \frac{\sqrt{5}-1}{8}

= lado derecho

Por lo tanto, probado.

Pregunta 2. sen 2 24 o – sen 2 6 o = (√5 – 1)/8

Solución:

Tenemos,

LHS = sen 2 24 o – sen 2 6 o

= sen (24 o + 6 o ) sen (24 o – 6 o )

= (sen 30 o ) (sen 18 o )

= (1/2) × (√5 – 1)/4

= (√5 – 1)/8

= lado derecho

Por lo tanto, probado.

Pregunta 3. sen 2 42 o – cos 2 78 o = (√5 + 1)/8

Solución:

Tenemos,

LHS = sen 2 42 o – cos 2 78 o

= sen 2 (90 o –48 o ) – cos 2 (90 o –12 o )

= cos 2 48 o – sen 2 12 o 

= coseno ( 48o + 12o ) coseno ( 48o – 12o )

= cos 60 o cos 36 o

= (1/2) × (√5 + 1)/4

= (√5 + 1)/8

= lado derecho

Por lo tanto, probado.

Pregunta 4. cos 78 o cos 42 o cos 36 o = 1/8

Solución:

Tenemos,

LHS = cos 78 o cos 42 o cos 36 o

= (1/2) (2 cos 78 o cos 42 o ) (cos 36 o ) 

= 1/2 [cos (78 o + 42 o ) + cos (78 o – 42 o )] (cos 36 o ) 

= 1/2 [(cos 120 o + cos 36 o )] (cos 36 o )

= 1/2 (cos (180 o – 60 o ) + cos 36 o ) (cos 36 o )

= 1/2 (–cos 60 o + cos 36 o ) (cos 36 o )

= \frac{1}{2}\left(\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)\frac{\sqrt{5}+1}{4}

= \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{5} - 1}{4})(\frac{\sqrt{5} + 1}{4})

= \frac{1}{2}×\frac{4}{16}

= \frac{1}{8}

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 5. cos\frac{π}{15}cos\frac{2π}{15}cos\frac{4π}{15}cos\frac{7π}{15}=\frac{1}{16}

Solución:

Tenemos,

IZQ = cos\frac{π}{15}cos\frac{2π}{15}cos\frac{4π}{15}cos\frac{7π}{15}

= \frac{2sin\frac{π}{15}cos\frac{π}{15}cos\frac{2π}{15}cos\frac{4π}{15}cos\frac{7π}{15}}{2sin\frac{π}{15}}

= \frac{2sin\frac{2π}{15}cos\frac{2π}{15}cos\frac{4π}{15}cos\frac{7π}{15}}{4sin\frac{π}{15}}

= \frac{2sin\frac{4π}{15}cos\frac{4π}{15}cos\frac{7π}{15}}{8sin\frac{π}{15}}

= \frac{2sin\frac{8π}{15}cos\frac{7π}{15}}{16sin\frac{π}{15}}

= \frac{sin(\frac{8π}{15}+\frac{7π}{15})+sin(\frac{8π}{15}-\frac{7π}{15})}{16sin\frac{π}{15}}

= \frac{sinπ+sin\frac{π}{15}}{16sin\frac{π}{15}}

= \frac{sin\frac{π}{15}}{16sin\frac{π}{15}}

= \frac{1}{16}

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 6. cos\frac{π}{15}cos\frac{2π}{15}cos\frac{3π}{15}cos\frac{4π}{15}cos\frac{5π}{15}cos\frac{6π}{15}cos\frac{7π}{15}=\frac{1}{128}

Solución:

Tenemos,

IZQ = cos\frac{π}{15}cos\frac{2π}{15}cos\frac{3π}{15}cos\frac{4π}{15}cos\frac{5π}{15}cos\frac{6π}{15}cos\frac{7π}{15}

= \left[cos\frac{π}{15}cos\frac{2π}{15}cos\frac{4π}{15}(-cos\frac{8π}{15})\right]\left(\frac{1}{2}cos\frac{3π}{15}cos\frac{6π}{15}\right)  

= \left[\frac{-2sin\frac{π}{15}cos\frac{π}{15}cos\frac{2π}{15}cos\frac{4π}{15}cos\frac{8π}{15}}{2sin\frac{π}{15}}\right]\frac{2sin\frac{3π}{15}cos\frac{3π}{15}cos\frac{6π}{15}}{4sin\frac{3π}{15}}

= \left[\frac{-2sin\frac{2π}{15}cos\frac{2π}{15}cos\frac{4π}{15}cos\frac{8π}{15}}{4sin\frac{π}{15}}\right]\frac{2sin\frac{6π}{15}cos\frac{6π}{15}}{8sin\frac{3π}{15}}

= \left[\frac{-2sin\frac{4π}{15}cos\frac{4π}{15}cos\frac{8π}{15}}{8sin\frac{π}{15}}\right]\frac{sin\frac{12π}{15}}{8sin\frac{3π}{15}}

= \left[\frac{-2sin\frac{8π}{15}cos\frac{8π}{15}}{16sin\frac{π}{15}}\right]\frac{sin(π-\frac{3π}{15})}{8sin\frac{3π}{15}}

= \left[\frac{-sin\frac{16π}{15}}{16sin\frac{π}{15}}\right]\frac{sin\frac{3π}{15}}{8sin\frac{3π}{15}}

= \left[\frac{-sin(π+\frac{π}{15})}{16sin\frac{π}{15}}\right](\frac{1}{8})

= \left[\frac{-(-sin\frac{π}{15})}{16sin\frac{π}{15}}\right](\frac{1}{8})

= (\frac{1}{16})(\frac{1}{8})

= \frac{1}{128}

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 7. cos 6 o cos 42 o cos 66 o cos 78 o = 1/16

Solución:

Tenemos,

LHS = cos 6 o cos 42 o cos 66 o cos 78 o

= (1/4) (2cos 6 o cos 66 o ) (2cos 42 o cos 78 o )

= (1/4) (cos 72 o + cos 60 o ) (cos 120 o + cos 36 o )

= (1/4) (sen 18 o + cos 60 o ) (cos 36 o − cos 60 o )

= \frac{1}{4}(\frac{\sqrt{5}-1}{4}+\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{5}+1}{4}-\frac{1}{2})

= \frac{1}{4}(\frac{\sqrt{5}-1+2}{4})(\frac{\sqrt{5}+1-2}{4})

= \frac{1}{64}(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)

= \frac{4}{64}

= \frac{1}{16}

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 8. sen 6 o sen 42 o sen 66 o sen 78 o = 1/16

Solución:

Tenemos,

LHS = sen 6 o sen 42 o sen 66 o sen 78 o

= (1/4) (2sen 6 o sen 66 o ) (2sen 42 o sen 78 o )

= (1/4) (cos 60 o − cos 72 o ) (cos 36 o − cos 120 o )

= (1/4) (cos 60 o − sen 18 o ) (cos 36 o + cos 60 o )

= \frac{1}{4}(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}-1}{4})(\frac{\sqrt{5}+1}{4}+\frac{1}{2})

= \frac{1}{4}(\frac{2-\sqrt{5}+1}{4})(\frac{\sqrt{5}+1+2}{4})

= \frac{1}{4}(\frac{3-\sqrt{5}}{4})(\frac{3+\sqrt{5}}{4})

= \frac{4}{64}

=  \frac{1}{16}

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 9. cos 36 o cos 42 o cos 60 o cos 78 o = 1/16

Solución:

Tenemos,

LHS = cos 36 o cos 42 o cos 60 o cos 78 o

= (1/2) cos 36 o cos 60 o (2 cos 42 o cos 78 o )

= (1/2) cos 36 o cos 60 o (cos 120 o + cos 36 o )

= (1/2) cos 36 o cos 60 o (cos 36 o − cos 60 o )

= \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{5}+1}{4})\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{5}+1}{4}-\frac{1}{2})

= (\frac{\sqrt{5}+1}{16})(\frac{\sqrt{5}+1}{4}-\frac{1}{2})

= (\frac{\sqrt{5}+1}{16})(\frac{\sqrt{5}+1-2}{4})

= \frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}{64}

= \frac{4}{64}

= \frac{1}{16}

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 10. sen 36 o sen 72 o sen 108 o sen 144 o = 5/16

Solución:

Tenemos,

LHS = sen 36 o sen 72 o sen 108 o sen 144 o 

= sen 36 o sen 72 o sen (180 o −72 o ) sen (180 o −36 o ) 

= sen 36 o sen 72 o sen 72 o sen 36 o 

 = (1/4) (2 sen 36 o sen 72 o ) 2

= (1/4) (2sen 36 o cos 18 o ) 2

= \frac{1}{4}\left(2×\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}×\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)^2

= \frac{4}{4}\left(\frac{10-2\sqrt{5}}{16}×\frac{10+2\sqrt{5}}{16}\right)

= \frac{80}{256}

= \frac{5}{16}

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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