Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 1 Conjuntos – Ejercicio 1.2

Pregunta 1. Describa los siguientes conjuntos en forma de lista:

(i) {x : x es una letra antes de e en el alfabeto inglés}

(ii) {x ∈ N: x2 < 25}

(iii) {x ∈ N: x es un número primo, 10 < x < 20}

(iv) {x ∈ norte: x = 2n, norte ∈ norte}

(v) {x ∈ R: x > x}

(vi) {x : x es un número primo que es un divisor de 60}

(vii) {x : x es un número de dos dígitos tal que la suma de sus dígitos es 8}

(viii) El conjunto de todas las letras de la palabra ‘Trigonometría’

(ix) El conjunto de todas las letras de la palabra ‘Mejor’.

Solución:

(i) {x : x es una letra antes de e en el alfabeto inglés}

Entonces, cuando leemos la oración completa, x es tal que x es una letra antes de ‘e’ en el alfabeto inglés. Ahora las letras antes de la ‘e’ son a, b, c, d.

∴ La forma de la lista será {a, b, c, d}.

(ii) {x ∈ N: x2 < 25}

x ∈ N que implica que x es un número natural.

x ² < 25

x < ±5

Como x pertenece al número natural, eso significa que x < 5.

Todos los números menores de 5 son 1, 2, 3, 4.

∴ La forma de la lista será {1, 2, 3, 4}.

(iii) {x ∈ N: x es un número primo, 10 < x < 20}

X es un número natural y está entre 10 y 20.

X es tal que X es un número primo entre 10 y 20.

Los números primos entre 10 y 20 son 11, 13, 17, 19.

∴ La forma de la lista será {11, 13, 17, 19}.

(iv) {x ∈ norte: x = 2n, norte ∈ norte}

X es un número natural también x = 2n

∴ La forma de la lista será {2, 4, 6, 8……}.

Este es un conjunto infinito.

(v) {x ∈ R: x > x}

Cualquier número real es igual a su valor, no es ni menor ni mayor.

Entonces, la forma de lista de tales números reales que tiene un valor menor que sí mismo no tiene tales números.

∴ La forma de la lista será ϕ. Esto se llama un conjunto nulo.

(vi) {x : x es un número primo que es un divisor de 60}

Todos los números que son divisores de 60 son = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Ahora, los números primos son = 2, 3, 5.

∴ La forma de la lista será {2, 3, 5}.

(vii) {x : x es un número de dos dígitos tal que la suma de sus dígitos es 8}

Los números cuya suma de sus dígitos es 8 son = 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80

∴ La forma de la lista será {17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80}.

(viii) El conjunto de todas las letras de la palabra ‘Trigonometría’

Como la repetición no está permitida en un conjunto, entonces las distintas letras son

Trigonometría = t, r, i, g, o, n, m, e, y

∴ La forma de la lista será {t, r, i, g, o, n, m, e, y}

(ix) El conjunto de todas las letras de la palabra ‘Mejor’.

Como la repetición no está permitida en un conjunto, entonces las distintas letras son

Mejor = b, e, t, r

∴ La forma de la lista será {b, e, t, r}

Pregunta 2. Describa los siguientes conjuntos en forma de constructor de conjuntos:

(yo) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

(ii) B = {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …..}

(iii) C = {0, 3, 6, 9, 12,….}

(iv) D = {10, 11, 12, 13, 14, 15}

(v) Mi = {0}

(vi) {1, 4, 9, 16,…,100}

(vii) {2, 4, 6, 8,….}

(viii) {5, 25, 125, 625}

Solución:

(yo) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

{x: x ∈ norte, x<7}

Esto se lee como x es tal que x pertenece al número natural y x es menor que 7. Satisface todas las condiciones de la forma de lista.

(ii) B = {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …}

{x : x = 1/n, norte ∈ norte}

Esto se lee como x es tal que x =1/n, donde n ∈ N.

(iii) C = {0, 3, 6, 9, 12, ….}

{x : x = 3n, n ∈ Z+, el conjunto de los enteros positivos}

Esto se lee como x es tal que C es el conjunto de múltiplos de 3 incluyendo 0.

(iv) D = {10, 11, 12, 13, 14, 15}

{x : x ∈ norte, 9<x<16}

Esto se lee como x es tal que D es el conjunto de los números naturales que son mayores que 9 pero menores que 16.

(v) Mi = {0}

{x : x = 0}

Esto se lee como x es tal que E es un número entero igual a 0.

(vi) {1, 4, 9, 16,….,100}

Dónde,

1 ² = 1

2 ² = 4

3 ² = 9

4 ² = 16

.

.

.

10 ² = 100

Entonces, el conjunto anterior se puede expresar en forma de constructor de conjuntos como {x ² : x ∈ N, 1≤ x ≤10}

(vii) {2, 4, 6, 8….}

{x: x = 2n, norte ∈ norte}

Esto se lee como x es tal que el conjunto dado son múltiplos de 2.

(viii) {5, 25, 125, 625}

Dónde,

5 ¹ = 5

5 ² = 25

5 ³ = 125

5 ⁴ = 625

Entonces, el conjunto anterior se puede expresar en forma de constructor de conjuntos como {5n: n ∈ N, 1≤ n ≤ 4}

Pregunta 3. Enumere todos los elementos de los siguientes conjuntos:

(i) UN = {x : x ² ≤ 10, x ∈ Z}

(ii) B = {x : x = 1/(2n-1), 1 ≤ n ≤ 5}

(iii) C = {x : x es un número entero, -1/2 < x < 9/2}

(iv) D = {x : x es una vocal en la palabra “ECUACIÓN”}

(v) E = {x : x es un mes de un año que no tiene 31 días}

(vi) F = {x : x es una letra de la palabra “MISSISSIPPI”}

Solución:

(i) UN = {x : x ² ≤ 10, x ∈ Z}

Primero, x es un número entero, por lo que también puede ser positivo y negativo.

× ² ≤ 10

(-3) ² = 9 < 10

(-2) ² = 4 < 10

(-1) ² = 1 < 10

0 ² = 0 < 10

1 ² = 1 < 10

2 ² = 4 < 10

3 ² = 9 < 10

La raíz cuadrada de los siguientes enteros es mayor que 10.

x ≤ √10

x = 0, ±1, ±2, ±3

A = {0, ±1, ±2, ±3}

(ii) B = {x : x = 1/(2n-1), 1 ≤ n ≤ 5}

Sustituyamos el valor de n para encontrar los valores de x.

En n = 1, x = 1/(2(1)-1) = 1/1

En n = 2, x = 1/(2(2)-1) = 1/3

En n = 3, x = 1/(2(3)-1) = 1/5

En n = 4, x = 1/(2(4)-1) = 1/7

En n = 5, x = 1/(2(5)-1) = 1/9

x = 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9

∴ segundo = {1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9}

(iii) C = {x : x es un número entero, -1/2 < x < 9/2}

Dado, x es un número entero entre -1/2 y 9/2

Entonces, todos los enteros entre -0.5<x<4.5 son = 0, 1, 2, 3, 4

∴ C = {0, 1, 2, 3, 4}

(iv) D = {x : x es una vocal en la palabra “ECUACIÓN”}

Todas las vocales en la palabra ‘ECUACIÓN’ son E, U, A, I, O

∴ D = {A, E, I, O, U}

(v) E = {x : x es un mes de un año que no tiene 31 días}

Un mes tiene 28, 29, 30, 31 días.

De los 12 meses del año que no tienen 31 días son:

febrero, abril, junio, septiembre, noviembre.

∴ E: {febrero, abril, junio, septiembre, noviembre}

(vi) F = {x : x es una letra de la palabra “MISSISSIPPI”}

Las letras en la palabra ‘MISSISSIPPI’ son M, I, S, P.

∴ F = {M, YO, S, P}.

Pregunta 4. Haga coincidir cada uno de los conjuntos de la izquierda en el formulario de lista con el mismo conjunto de la derecha descrito en el formulario de creación de conjuntos:

(i) {A, P, L, E} (i) {x : x + 5 = 5, x ∈ z}

(ii) {5, -5} (ii) {x : x es un número natural primo y divisor de 10}

(iii) {0} (iii) {x : x es una letra de la palabra “RAJASTHAN”}

(iv) {1, 2, 5, 10} (iv) {x : x es natural y divisor de 10}

(v) {A, H, J, R, S, T, N} (v) {x : x ² – 25 =0}

(vi) {2, 5} (vi) {x : x es una letra de la palabra “MANZANA”}

Solución:

(i) {A, P, L, E} ⇔ {x: x es una letra de la palabra “MANZANA”}

(ii) {5, -5} ⇔ {x: x2 – 25 =0 ^}

El conjunto solución de x ² – 25 = 0 es x = ±5

(iii) {0} ⇔ {x: x + 5 = 5, x ∈ z}

El conjunto solución de x + 5 = 5 es x = 0.

(iv) {1, 2, 5, 10} ⇔ {x: x es natural y divisor de 10}

Los números naturales que son divisores de 10 son 1, 2, 5, 10.

(v) {A, H, J, R, S, T, N} ⇔ {x: x es una letra de la palabra “RAJASTHAN”}

Las letras distintas de la palabra «RAJASTHAN» son A, H, J, R, S, T, N.

(vi) {2, 5} ⇔ {x: x es un número natural primo y divisor de 10}

Los números naturales primos que son divisores de 10 son 2, 5.

Pregunta 5. Escriba el conjunto de todas las vocales del alfabeto inglés que preceden a la q.

Solución:

Conjunto de todas las vocales que preceden a q son

A, E, I, O estas son las vocales que van antes de q.

∴ B = {A, E, I, O}.

Pregunta 6. Escribe el conjunto de todos los enteros positivos cuyo cubo es impar.

Solución:

Todo numero impar tiene un cubo impar

Los números impares se pueden representar como 2n+1.

{2n+1: n ∈ Z, n>0} o

{1, 3, 5, 7……}

Pregunta 7. Escribe el conjunto {1/2, 2/5, 3/10, 4/17, 5/26, 6/37, 7/50} en forma de constructor de conjuntos.

Solución:

Ahora,

2 = 12 + 1

5 = 22 + 1

10 = 32 + 1

.

.

50 = 72 + 1

Aquí podemos ver que el denominador es el cuadrado del numerador +1.

Entonces, podemos escribir el formulario de creación de conjuntos como

{n/(n ² +1): norte ∈ norte, 1≤ n≤ 7}