Pregunta 1. Si A y B son dos conjuntos tales que A ⊂ B, entonces Halla:
(i) A ⋂ B
(ii) A ⋃ B
Solución:
(i) A ∩ B
A ∩ B denota A intersección B, que son los elementos comunes de ambos conjuntos.
Dado A ⊂ B, todo elemento de A está contenido en B.
∴ UN ∩ B = UN
(ii) A ⋃ B
A ∪ B denota A unión B, es decir, contiene elementos de cualquiera de los conjuntos.
Dado A ⊂ B, B tiene todos los elementos, incluidos los elementos de A.
∴ UN ∪ B = B
Pregunta 2. Si A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, C = {7, 8, 9, 10, 11} y D = {10 , 11, 12, 13, 14}. Encontrar:
(i) A ∪ B
(ii) A ∪ C
(iii) B ∪ C
(iv) B ∪ D
(v) A ∪ B ∪ C
(vi) A ∪ B ∪ D
(vii) B ∪ C ∪ D
(viii) A ∩ (B ∪ C)
(ix) (A ∩ B) ∩ (B ∩ C)
(x) (A ∪ D) ∩ (B ∪ C).
Solución:
Sabemos,
X ∪ Y = {a: a ∈ X o a ∈ Y}
X ∩ Y = {a: a ∈ X y a ∈ Y}
(yo) A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}
A ∪ B = Unión de dos conjuntos A y B = {x: x ∈ A o x ∈ B}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
(ii) A = {1, 2, 3, 4, 5}
C = {7, 8, 9, 10, 11}
A ∪ C = Unión de dos conjuntos A y C = {x: x ∈ A o x ∈ C}
= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11}
(iii) B = {4, 5, 6, 7, 8}
C = {7, 8, 9, 10, 11}
segundo ∪ C = {x: x ∈ B o x ∈ C}
= {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
(iv) B = {4, 5, 6, 7, 8}
re = {10, 11, 12, 13, 14}
segundo ∪ re = {x: x ∈ segundo o x ∈ re}
= {4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14}
(v) A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}
C = {7, 8, 9, 10, 11}
UN ∪ B = {x: x ∈ A o x ∈ B}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
UN ∪ segundo ∪ C = {x: x ∈ UN ∪ segundo o x ∈ C}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
(vi) A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}
re = {10, 11, 12, 13, 14}
UN ∪ B = {x: x ∈ A o x ∈ B}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
UN ∪ segundo ∪ re = {x: x ∈ un ∪ segundo o x ∈ re}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14}
(vii) B = {4, 5, 6, 7, 8}
C = {7, 8, 9, 10, 11}
re = {10, 11, 12, 13, 14}
segundo ∪ C = {x: x ∈ B o x ∈ C}
= {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
segundo ∪ do ∪ re = {x: x ∈ segundo ∪ do o x ∈ re}
= {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}
(viii) A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}
C = {7, 8, 9, 10, 11}
segundo ∪ C = {x: x ∈ B o x ∈ C}
= {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
UN ∩ B ∪ C = {x: x ∈ A y x ∈ B ∪ C}
= {4, 5}
(ix) A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}
C = {7, 8, 9, 10, 11}
(A ∩ B) = {x: x ∈ A y x ∈ B}
= {4, 5}
(B ∩ C) = {x: x ∈ B y x ∈ C}
= {7, 8}
(A ∩ B) ∩ (B ∩ C) = {x: x ∈ (A ∩ B) y x ∈ (B ∩ C)}
= ϕ
(x) A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}
C = {7, 8, 9, 10, 11}
re = {10, 11, 12, 13, 14}
UN ∪ D = {x: x ∈ A o x ∈ D}
= {1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14}
segundo ∪ C = {x: x ∈ B o x ∈ C}
= {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
(A ∪ D) ∩ (B ∪ C) = {x: x ∈ (A ∪ D) y x ∈ (B ∪ C)}
= {4, 5, 10, 11}
Pregunta 3. Sean A = {x: x ∈ N}, B = {x: x = 2n, n ∈ N), C = {x: x = 2n – 1, n ∈ N} y, D = {x: x es un número natural primo} Encuentre:
(i) A ∩ B
(ii) A ∩ C
(iii) A ∩ D
(iv) B ∩ C
(v) segundo ∩ re
(vi) C ∩ D
Solución:
Supongamos,
A = Todos los números naturales, es decir, {1, 2, 3…..}
B = Todos los números naturales pares, es decir, {2, 4, 6, 8…}
C = Todos los números naturales impares, es decir, {1, 3, 5, 7……}
D = Todos los números naturales primos, es decir, {1, 2, 3, 5, 7, 11, …}
(i) A ∩ B
A contiene todos los elementos del conjunto B.
∴ segundo ⊂ UN = {2, 4, 6, 8…}
∴ UN ∩ B = B
(ii) A ∩ C
A contiene todos los elementos del conjunto C.
∴ C ⊂ UN = {1, 3, 5…}
∴ UN ∩ C = C
(iii) A ∩ D
A contiene todos los elementos del conjunto D.
∴ re ⊂ UN = {2, 3, 5, 7..}
∴ UN ∩ RE = RE
(iv) B ∩ C
segundo ∩ do = ϕ
No puede haber ningún número natural que sea par e impar al mismo tiempo.
(v) segundo ∩ re
segundo ∩ re = 2
{2} es el único número natural posible que es par y primo.
(vi) C ∩ D
C ∩ RE = {1, 3, 5, 7…}
= D – {2}
Por lo tanto, todo número primo es impar excepto {2}.
Pregunta 4. Sea A = {3,6,12,15,18,21}, B = {4,8,12,16,20}, C = {2,4,6,8,10,12,14 ,16} y D = {5,10,15,20}
Encontrar:
(yo) AB
(ii) CA
(iii) AD
(iv) AB
(v) AC
(vi) AD
(vii) aC
(viii) DB
Solución:
Para dos conjuntos cualesquiera A y B, AB es el conjunto de elementos pertenecientes a A y no a B.
es decir, AB = {x : x ∈ A y x ∉ B}
(i) AB = {x : x ∈ A y x ∉ B} = {3,6,15,18,21}
(ii) CA = {x : x ∈ A y x ∉ C} = {3,15,18,21}
(iii) AD = {x : x ∈ A y x ∉ D} = {3,6,12,18,21}
(iv) BA = {x : x ∈ B y x ∉ A} = {4,8,16,20}
(v) CA = {x : x ∈ C y x ∉ A} = {2,3,8,10,14,16}
(vi) DA = {x : x ∈ D y x ∉ A} = {5,10,20}
(vii) BC = {x : x ∈ B y x ∉ C} = {20}
(viii) BD = {x : x ∈ B y x ∉ D} = {4,8,12,16}
Pregunta 5. Sean U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A = {1,2,3,4}, B = {2,4,6,8} y C = {3,4,5,6}. Encontrar:
(I a’
(ii) B’
(iii) (A ∩ C)’
(iv) (AUB)’
(v) (A’)’
(vi) (BC)’
Solución:
(i) A’ ={x : x ∈ U y x ∉ A}
= {5,6,7,8,9}
(ii) B’ ={x : x ∈ U y x ∉ B}
= {1,3,5,7,9}
(iii) (A ∩ C)’ = A’ U C’ = {x : x ∈ U y x ∉ C y x ∉ A}
= {1,2,5,6,7,8,9}
(iv) (AUB)’ = {x : x ∈ U y x ∉ A ∩ B}
= {5,7,9}
(vi) (A’)’ = {x : x ∈ A} porque complemento de complemento se anula entre sí
= {1,2,3,4}
(vi) (BC)’ = {x : x ∈ U y x ∉ BC}
={1,3,4,5,6,7,9}
Pregunta 6. Sea U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A = {2,4,6,8}, B = {2,3,5,7}. Comprueba eso:
(i) (AUB)’ = A’ ∩ B’
(ii) (A ∩ B)’ = A’ U B’
Solución:
(i) Tenemos, LHS = (AUB)’
Informática (AUB) = {2,3,4,5,6,7,8}
Ahora (AUB)’ = U – (AUB)
= {x : x ∈ U y x ∉ AUB}
= {1,9}
lado derecho = A’ ∩ B’
Ahora, A’ = {1,3,5,7,9}
B’ = {1,4,6,8,9}
A’ ∩ B’ = {x : x ∈ A’ y x ∈ B’}
={1,9}
Por lo tanto, LHS = RHS
(ii) Tenemos, LHS = (A ∩ B)’
Cálculo (A ∩ B) = {2}
Ahora, (A ∩ B)’ = U – (A ∩ B)
={x : x ∈ U y x ∉ A ∩ B}
={1,3,4,5,6,7,8,9}
RHS = A’ U B’
Calculando A’ = {1,3,5,7,9}
B’ = {1,4,6,8,9}
Ahora A’ U B’ = {1,3,4,5,7,8,9}
Por lo tanto, LHS = RHS.