Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 1 Conjuntos – Ejercicio 1.5

Pregunta 1. Si A y B son dos conjuntos tales que A ⊂ B, entonces Halla:

(i) A ⋂ B

(ii) A ⋃ B

Solución:

(i) A ∩ B

A ∩ B denota A intersección B, que son los elementos comunes de ambos conjuntos.

Dado A ⊂ B, todo elemento de A está contenido en B.

∴ UN ∩ B = UN

(ii) A ⋃ B

A ∪ B denota A unión B, es decir, contiene elementos de cualquiera de los conjuntos.

Dado A ⊂ B, B tiene todos los elementos, incluidos los elementos de A.

∴ UN ∪ B = B

Pregunta 2. Si A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, C = {7, 8, 9, 10, 11} y D = {10 , 11, 12, 13, 14}. Encontrar:

(i) A ∪ B

(ii) A ∪ C

(iii) B ∪ C

(iv) B ∪ D

(v) A ∪ B ∪ C

(vi) A ∪ B ∪ D

(vii) B ∪ C ∪ D

(viii) A ∩ (B ∪ C)

(ix) (A ∩ B) ∩ (B ∩ C)

(x) (A ∪ D) ∩ (B ∪ C).

Solución:

Sabemos,

 X ∪ Y = {a: a ∈ X o a ∈ Y}

X ∩ Y = {a: a ∈ X y a ∈ Y}

(yo) A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {4, 5, 6, 7, 8}

A ∪ B = Unión de dos conjuntos A y B = {x: x ∈ A o x ∈ B}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

(ii) A = {1, 2, 3, 4, 5}

C = {7, 8, 9, 10, 11}

A ∪ C = Unión de dos conjuntos A y C = {x: x ∈ A o x ∈ C}

= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11}

(iii) B = {4, 5, 6, 7, 8}

C = {7, 8, 9, 10, 11}

segundo ∪ C = {x: x ∈ B o x ∈ C}

= {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

(iv) B = {4, 5, 6, 7, 8}

re = {10, 11, 12, 13, 14}

segundo ∪ re = {x: x ∈ segundo o x ∈ re}

= {4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14}

(v) A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {4, 5, 6, 7, 8}

C = {7, 8, 9, 10, 11}

UN ∪ B = {x: x ∈ A o x ∈ B}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

UN ∪ segundo ∪ C = {x: x ∈ UN ∪ segundo o x ∈ C}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

(vi) A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {4, 5, 6, 7, 8}

re = {10, 11, 12, 13, 14}

UN ∪ B = {x: x ∈ A o x ∈ B}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

UN ∪ segundo ∪ re = {x: x ∈ un ∪ segundo o x ∈ re}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14}

(vii) B = {4, 5, 6, 7, 8}

C = {7, 8, 9, 10, 11}

re = {10, 11, 12, 13, 14}

segundo ∪ C = {x: x ∈ B o x ∈ C}

= {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

segundo ∪ do ∪ re = {x: x ∈ segundo ∪ do o x ∈ re}

= {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}

(viii) A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {4, 5, 6, 7, 8}

C = {7, 8, 9, 10, 11}

segundo ∪ C = {x: x ∈ B o x ∈ C}

= {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

UN ∩ B ∪ C = {x: x ∈ A y x ∈ B ∪ C}

= {4, 5}

(ix) A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {4, 5, 6, 7, 8}

C = {7, 8, 9, 10, 11}

(A ∩ B) = {x: x ∈ A y x ∈ B}

= {4, 5}

(B ∩ C) = {x: x ∈ B y x ∈ C}

= {7, 8}

(A ∩ B) ∩ (B ∩ C) = {x: x ∈ (A ∩ B) y x ∈ (B ∩ C)}

= ϕ

(x) A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {4, 5, 6, 7, 8}

C = {7, 8, 9, 10, 11}

re = {10, 11, 12, 13, 14}

UN ∪ D = {x: x ∈ A o x ∈ D}

= {1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14}

segundo ∪ C = {x: x ∈ B o x ∈ C}

= {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

(A ∪ D) ∩ (B ∪ C) = {x: x ∈ (A ∪ D) y x ∈ (B ∪ C)}

= {4, 5, 10, 11}

Pregunta 3. Sean A = {x: x ∈ N}, B = {x: x = 2n, n ∈ N), C = {x: x = 2n – 1, n ∈ N} y, D = {x: x es un número natural primo} Encuentre:

(i) A ∩ B

(ii) A ∩ C

(iii) A ∩ D

(iv) B ∩ C

(v) segundo ∩ re

(vi) C ∩ D

Solución:

Supongamos, 

A = Todos los números naturales, es decir, {1, 2, 3…..}

B = Todos los números naturales pares, es decir, {2, 4, 6, 8…}

C = Todos los números naturales impares, es decir, {1, 3, 5, 7……}

D = Todos los números naturales primos, es decir, {1, 2, 3, 5, 7, 11, …}

(i) A ∩ B

A contiene todos los elementos del conjunto B.

∴ segundo ⊂ UN = {2, 4, 6, 8…}

∴ UN ∩ B = B

(ii) A ∩ C

A contiene todos los elementos del conjunto C.

∴ C ⊂ UN = {1, 3, 5…}

∴ UN ∩ C = C

(iii) A ∩ D

A contiene todos los elementos del conjunto D.

∴ re ⊂ UN = {2, 3, 5, 7..}

∴ UN ∩ RE = RE

(iv) B ∩ C

segundo ∩ do = ϕ

No puede haber ningún número natural que sea par e impar al mismo tiempo.

(v) segundo ∩ re

segundo ∩ re = 2

{2} es el único número natural posible que es par y primo.

(vi) C ∩ D

C ∩ RE = {1, 3, 5, 7…}

= D – {2}

Por lo tanto, todo número primo es impar excepto {2}.

Pregunta 4. Sea A = {3,6,12,15,18,21}, B = {4,8,12,16,20}, C = {2,4,6,8,10,12,14 ,16} y D = {5,10,15,20}

Encontrar:

(yo) AB 

(ii) CA

(iii) AD

(iv) AB

(v) AC

(vi) AD

(vii) aC

(viii) DB

Solución: 

Para dos conjuntos cualesquiera A y B, AB es el conjunto de elementos pertenecientes a A y no a B.

es decir, AB = {x : x ∈ A y x ∉ B}

(i) AB = {x : x ∈ A y x ∉ B} = {3,6,15,18,21}

(ii) CA = {x : x ∈ A y x ∉ C} = {3,15,18,21}

(iii) AD = {x : x ∈ A y x ∉ D} = {3,6,12,18,21}

(iv) BA = {x : x ∈ B y x ∉ A} = {4,8,16,20}

(v) CA = {x : x ∈ C y x ∉ A} = {2,3,8,10,14,16}

(vi) DA = {x : x ∈ D y x ∉ A} = {5,10,20}

(vii) BC = {x : x ∈ B y x ∉ C} = {20}

(viii) BD = {x : x ∈ B y x ∉ D} = {4,8,12,16}

Pregunta 5. Sean U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A = {1,2,3,4}, B = {2,4,6,8} y C = {3,4,5,6}. Encontrar:

(I a’

(ii) B’

(iii) (A ∩ C)’

(iv) (AUB)’

(v) (A’)’

(vi) (BC)’

Solución:

(i) A’ ={x : x ∈ U y x ∉ A}

= {5,6,7,8,9}

(ii) B’ ={x : x ∈ U y x ∉ B}

 = {1,3,5,7,9}

(iii) (A ∩ C)’ = A’ U C’ = {x : x ∈ U y x ∉ C y x ∉ A} 

= {1,2,5,6,7,8,9}

(iv) (AUB)’ = {x : x ∈ U y x ∉ A ∩ B} 

= {5,7,9}

(vi) (A’)’ = {x : x ∈ A} porque complemento de complemento se anula entre sí

= {1,2,3,4}

(vi) (BC)’ = {x : x ∈ U y x ∉ BC}

={1,3,4,5,6,7,9}

Pregunta 6. Sea U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A = {2,4,6,8}, B = {2,3,5,7}. Comprueba eso:

(i) (AUB)’ = A’ ∩ B’

(ii) (A ∩ B)’ = A’ U B’

Solución:

(i) Tenemos, LHS = (AUB)’

Informática (AUB) = {2,3,4,5,6,7,8}

Ahora (AUB)’ = U – (AUB) 

= {x : x ∈ U y x ∉ AUB}

= {1,9}

lado derecho = A’ ∩ B’

Ahora, A’ = {1,3,5,7,9}

B’ = {1,4,6,8,9}

A’ ∩ B’ = {x : x ∈ A’ y x ∈ B’}

={1,9}

Por lo tanto, LHS = RHS

(ii) Tenemos, LHS = (A ∩ B)’

Cálculo (A ∩ B) = {2}

Ahora, (A ∩ B)’ = U – (A ∩ B)

={x : x ∈ U y x ∉ A ∩ B}

={1,3,4,5,6,7,8,9}

RHS = A’ U B’

Calculando A’ = {1,3,5,7,9}

B’ = {1,4,6,8,9}

Ahora A’ U B’ = {1,3,4,5,7,8,9}

Por lo tanto, LHS = RHS.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yippeee25 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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