Pregunta 1: Para cualesquiera dos conjuntos A y B, demuestre que: A’ – B’ = B – A
Solución:
Probar:
A’-B’ = B-A
en primer lugar mostrar que
A’-B’ ⊆ B-A
Sea, x ∈ A’ – B’
⇒ x ∈ A’ y x ∉ B’
⇒ x ∉ A y x ∈ B (ya que, A ∩ A’ = ϕ)
⇒ x ∈ B – A
Es cierto para todo x ∈ A’ – B’
Por lo tanto,
A’-B’ = B-A
Por lo tanto, Probado.
Pregunta 2: Para dos conjuntos cualesquiera A y B, demuestre lo siguiente:
(i) UN ∩ (A’ ∪ B) = UN ∩ B
(ii) A – (A – B) = A ∩ B
(iii) A ∩ (A ∪ B’) = ϕ
(iv) A – B = A Δ (A ∩ B)
Solución:
(i) UN ∩ (A’ ∪ B) = UN ∩ B
Aquí, LHS A ∩ (A’ ∪ B)
Al expandirse
(A ∩ A’) ∪ (A ∩ B)
Sabemos, (A ∩ A’) =ϕ
⇒ ϕ ∪ (A∩ B)
⇒ (A ∩ B)
Por lo tanto,
LHS = RHS
Por lo tanto, probado.
(ii) A – (A – B) = A ∩ B
Para cualquier conjunto A y B tenemos la ley de De-Morgan
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’, (A ∩ B) ‘ = A’ ∪ B’
tomar LHS
= A – (A–B)
= A ∩ (A–B)’
= A ∩ (A∩B’)’
= A ∩ (A’ ∪ B’)’) (ya que, (B’)’ = B)
= UN ∩ (A’ ∪ B)
= (A ∩ A’) ∪ (A ∩ B)
= ϕ ∪ (A ∩ B) (ya que, A ∩ A’ = ϕ)
= (A ∩ B) (ya que, ϕ ∪ x = x, para cualquier conjunto)
= lado derecho
Por lo tanto,
LHS = RHS
Por lo tanto, probado.
(iii) A ∩ (A ∪ B’) = ϕ
Aquí, LHS A ∩ (A ∪ B’)
= A ∩ (A ∪ B’)
= A ∩ (A’∩ B’) {Por la ley de De-Morgan}
= (A ∩ A’) ∩ B’ (ya que, A ∩ A’ = ϕ)
= ϕ ∩ B’
= ϕ (ya que, ϕ ∩ B’ = ϕ)
= lado derecho
Por lo tanto,
LHS = RHS
Por lo tanto, probado.
(iv) A – B = A Δ (A ∩ B)
Aquí, RHS A Δ (A ∩ B)
A Δ (A ∩ B) (ya que, E Δ F = (E–F) ∪ (F–E))
= (A – (A ∩ B)) ∪ (A ∩ B –A) (ya que, E – F = E ∩ F’)
= (A ∩ (A ∩ B)’) ∪ (A ∩ B ∩ A’)
= (A ∩ (A’ ∪ B’)) ∪ (A ∩ A’ ∩ B) {usando la ley de De-Morgan y la ley asociativa}
= (A ∩ A’) ∪ (A ∩ B’) ∪ (ϕ ∩ B) (usando la ley distributiva)
= ϕ ∪ (A ∩ B’) ∪ ϕ
= A ∩ B’ (ya que, A ∩ B’ = A – B)
= A – B
= LHS
Por lo tanto,
LHS = RHS
Por lo tanto, demostrado
Pregunta 3: Si A, B, C son tres conjuntos tales que A ⊂ B, entonces prueba que C – B ⊂ C – A.
Solución:
Dado: A ⊂ B
Para probar : C – B ⊂ C – A
Supongamos, x ∈ C – B
⇒ x ∈ C y x ∉ B
⇒ x ∈ C y x ∉ A
⇒ x ∈ C – A
Por tanto, x ∈ C–B ⇒ x ∈ C – A
Esto es cierto para todo x ∈ C – B
Por lo tanto,
do-si ⊂ do-la
Por lo tanto, probado.
Pregunta 4: Para cualesquiera dos conjuntos A y B, demuestre que
(i) (A ∪ B) – B = A – B
(ii) A – (A ∩ B) = A – B
(iii) A – (A – B) = A ∩ B
(iv) A ∪ (B – A) = A ∪ B
(v) (A – B) ∪ (A ∩ B) = A
Solución:
(i) (A ∪ B) – B = A – B
Supongamos LHS (A ∪ B) – B
= (A–B) ∪ (B–B)
= (A–B) ∪ ϕ (ya que, B–B = ϕ)
= A–B (ya que, x ∪ ϕ = x para cualquier conjunto)
= lado derecho
Por lo tanto, probado.
(ii) A – (A ∩ B) = A – B
Supongamos LHS A – (A ∩ B)
= (A–A) ∩ (A–B)
= ϕ ∩ (A – B) (ya que, AA = ϕ)
= A – B
= lado derecho
Por lo tanto, probado.
(iii) A – (A – B) = A ∩ B
Supongamos LHS A – (A – B)
Sea, x ∈ A – (A–B) = x ∈ A y x ∉ (A–B)
x ∈ A y x ∉ (A ∩ B)
= x ∈ UN ∩ (UN ∩ B)
= x ∈ (A ∩ B)
= (A ∩ B)
= lado derecho
Por lo tanto, probado.
(iv) A ∪ (B – A) = A ∪ B
Supongamos LHS A ∪ (B – A)
Sea, x ∈ A ∪ (B –A) ⇒ x ∈ A o x ∈ (B – A)
⇒ x ∈ A o x ∈ B y x ∉ A
⇒ x ∈ B
⇒ x ∈ (A ∪ B) (ya que, B ⊂ (A ∪ B))
Esto es cierto para todo x ∈ A ∪ (B–A)
∴ A ∪ (B–A) ⊂ (A ∪ B) —(ecuación 1)
Por el contrario,
Sea x ∈ (A ∪ B) ⇒ x ∈ A o x ∈ B
⇒ x ∈ A o x ∈ (B–A) (ya que, B ⊂ (A ∪ B))
⇒ x ∈ A ∪ (B–A)
∴ (A ∪ B) ⊂ A ∪ (B–A) —(ecuación 2)
De la ecuación 1 y 2 obtenemos,
A ∪ (B – A) = A ∪ B
Por lo tanto, probado.
(v) (A – B) ∪ (A ∩ B) = A
Supongamos LHS (A – B) ∪ (A ∩ B)
Sea, x ∈ A
Entonces x ∈ (A–B) o x ∈ (A ∩ B)
⇒ x ∈ (A–B) ∪ (A ∩ B)
∴ A ⊂ (A – B) ∪ (A ∩ B) —(ecuación 1)
Por el contrario,
Sea x ∈ (A–B) ∪ (A ∩ B)
⇒ x ∈ (A–B) o x ∈ (A ∩ B)
⇒ x ∈ A y x ∉ B o x ∈ B
⇒ x ∈ A
(A–B) ∪ (A ∩ B) ⊂ A —(ecuación 2)
∴ De la ecuación (1) y (2), Obtenemos
(A–B) ∪ (A ∩ B) = A
Por lo tanto, demostrado
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Artículo escrito por sudhasinghsudha90 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA