Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 1 Conjuntos – Ejercicio 1.7

Pregunta 1: Para cualesquiera dos conjuntos A y B, demuestre que: A’ – B’ = B – A

Solución:

Probar:

A’-B’ = B-A

en primer lugar mostrar que

A’-B’ ⊆ B-A

Sea, x ∈ A’ – B’

⇒ x ∈ A’ y x ∉ B’

⇒ x ∉ A y x ∈ B (ya que, A ∩ A’ = ϕ)

⇒ x ∈ B – A

Es cierto para todo x ∈ A’ – B’

Por lo tanto,

A’-B’ = B-A

Por lo tanto, Probado.

Pregunta 2: Para dos conjuntos cualesquiera A y B, demuestre lo siguiente:

(i) UN ∩ (A’ ∪ B) = UN ∩ B

(ii) A – (A – B) = A ∩ B

(iii) A ∩ (A ∪ B’) = ϕ

(iv) A – B = A Δ (A ∩ B)

Solución:

(i) UN ∩ (A’ ∪ B) = UN ∩ B

Aquí, LHS A ∩ (A’ ∪ B)

Al expandirse

(A ∩ A’) ∪ (A ∩ B)

Sabemos, (A ∩ A’) =ϕ

⇒ ϕ ∪ (A∩ B)

⇒ (A ∩ B)

Por lo tanto,

LHS = RHS

Por lo tanto, probado.

(ii) A – (A – B) = A ∩ B

Para cualquier conjunto A y B tenemos la ley de De-Morgan

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’, (A ∩ B) ‘ = A’ ∪ B’

tomar LHS

= A – (A–B)

= A ∩ (A–B)’

= A ∩ (A∩B’)’

= A ∩ (A’ ∪ B’)’) (ya que, (B’)’ = B)

= UN ∩ (A’ ∪ B)

= (A ∩ A’) ∪ (A ∩ B)

= ϕ ∪ (A ∩ B) (ya que, A ∩ A’ = ϕ)

= (A ∩ B) (ya que, ϕ ∪ x = x, para cualquier conjunto)

= lado derecho

Por lo tanto,

LHS = RHS

Por lo tanto, probado.

(iii) A ∩ (A ∪ B’) = ϕ

Aquí, LHS A ∩ (A ∪ B’)

= A ∩ (A ∪ B’)

= A ∩ (A’∩ B’) {Por la ley de De-Morgan}

= (A ∩ A’) ∩ B’ (ya que, A ∩ A’ = ϕ)

= ϕ ∩ B’

= ϕ (ya que, ϕ ∩ B’ = ϕ)

= lado derecho

Por lo tanto,

LHS = RHS

Por lo tanto, probado.

(iv) A – B = A Δ (A ∩ B)

Aquí, RHS A Δ (A ∩ B)

A Δ (A ∩ B) (ya que, E Δ F = (E–F) ∪ (F–E))

= (A – (A ∩ B)) ∪ (A ∩ B –A) (ya que, E – F = E ∩ F’)

= (A ∩ (A ∩ B)’) ∪ (A ∩ B ∩ A’)

= (A ∩ (A’ ∪ B’)) ∪ (A ∩ A’ ∩ B) {usando la ley de De-Morgan y la ley asociativa}

= (A ∩ A’) ∪ (A ∩ B’) ∪ (ϕ ∩ B) (usando la ley distributiva)

= ϕ ∪ (A ∩ B’) ∪ ϕ

= A ∩ B’ (ya que, A ∩ B’ = A – B)

= A – B

= LHS

Por lo tanto,

LHS = RHS

Por lo tanto, demostrado

Pregunta 3: Si A, B, C son tres conjuntos tales que A ⊂ B, entonces prueba que C – B ⊂ C – A.

Solución:

Dado: A ⊂ B

Para probar : C – B ⊂ C – A

Supongamos, x ∈ C – B

⇒ x ∈ C y x ∉ B

⇒ x ∈ C y x ∉ A

⇒ x ∈ C – A

Por tanto, x ∈ C–B ⇒ x ∈ C – A

Esto es cierto para todo x ∈ C – B

Por lo tanto,

do-si ⊂ do-la

Por lo tanto, probado.

Pregunta 4: Para cualesquiera dos conjuntos A y B, demuestre que

(i) (A ∪ B) – B = A – B

(ii) A – (A ∩ B) = A – B

(iii) A – (A – B) = A ∩ B

(iv) A ∪ (B – A) = A ∪ B

(v) (A – B) ∪ (A ∩ B) = A

Solución:

(i) (A ∪ B) – B = A – B

Supongamos LHS (A ∪ B) – B

= (A–B) ∪ (B–B)

= (A–B) ∪ ϕ (ya que, B–B = ϕ)

= A–B (ya que, x ∪ ϕ = x para cualquier conjunto)

= lado derecho

Por lo tanto, probado.

(ii) A – (A ∩ B) = A – B

Supongamos LHS A – (A ∩ B)

= (A–A) ∩ (A–B)

= ϕ ∩ (A – B) (ya que, AA = ϕ)

= A – B

= lado derecho

Por lo tanto, probado.

(iii) A – (A – B) = A ∩ B

Supongamos LHS A – (A – B)

Sea, x ∈ A – (A–B) = x ∈ A y x ∉ (A–B)

x ∈ A y x ∉ (A ∩ B)

= x ∈ UN ∩ (UN ∩ B)

= x ∈ (A ∩ B)

= (A ∩ B)

= lado derecho

Por lo tanto, probado.

(iv) A ∪ (B – A) = A ∪ B

Supongamos LHS A ∪ (B – A)

Sea, x ∈ A ∪ (B –A) ⇒ x ∈ A o x ∈ (B – A)

⇒ x ∈ A o x ∈ B y x ∉ A

⇒ x ∈ B

⇒ x ∈ (A ∪ B) (ya que, B ⊂ (A ∪ B))

Esto es cierto para todo x ∈ A ∪ (B–A)

∴ A ∪ (B–A) ⊂ (A ∪ B) —(ecuación 1)

Por el contrario,

Sea x ∈ (A ∪ B) ⇒ x ∈ A o x ∈ B

⇒ x ∈ A o x ∈ (B–A) (ya que, B ⊂ (A ∪ B))

⇒ x ∈ A ∪ (B–A)

∴ (A ∪ B) ⊂ A ∪ (B–A) —(ecuación 2)

De la ecuación 1 y 2 obtenemos,

A ∪ (B – A) = A ∪ B

Por lo tanto, probado.

(v) (A – B) ∪ (A ∩ B) = A

Supongamos LHS (A – B) ∪ (A ∩ B)

Sea, x ∈ A

Entonces x ∈ (A–B) o x ∈ (A ∩ B)

⇒ x ∈ (A–B) ∪ (A ∩ B)

∴ A ⊂ (A – B) ∪ (A ∩ B) —(ecuación 1)

Por el contrario,

Sea x ∈ (A–B) ∪ (A ∩ B)

⇒ x ∈ (A–B) o x ∈ (A ∩ B)

⇒ x ∈ A y x ∉ B o x ∈ B

⇒ x ∈ A

(A–B) ∪ (A ∩ B) ⊂ A —(ecuación 2)

∴ De la ecuación (1) y (2), Obtenemos

(A–B) ∪ (A ∩ B) = A

Por lo tanto, demostrado

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por sudhasinghsudha90 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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