Pregunta 1. Evalúa ∫ 1/(4x 2 + 12x + 5) dx
Solución:
Sea I = ∫ 1/(4x 2 + 12x + 5) dx
tomando 1/4 común de la ecuación anterior
= 1/4 ∫ 1/ x 2 + 3x + 5/4 dx
= 1/4 ∫ 1/ x 2 + 2x × (3/2)x + (3/2) 2 – (3/2) 2 + 5/4 dx
= 1/4 ∫ 1/ (x + 3/2) 2 – 1 dx (yo)
poner (x+ 3/2) = t
dx = dt
poner el valor anterior en la ec. (i)
= 1/4 ∫ 1/ t 2 – (1) 2 dt
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 1/4 × 1/2 × (1) registro |t-1/t+1| +c [puesto que, ∫1/x 2 – a 2 dx = 1/2a log|xa/x+a| +c]
poner el valor de t en la ecuación anterior.
= 1/8 log|x+ 3/2 – 1/x+ 3/2 + 1| +c
Por tanto, yo = 1/8 log|2x+1/ 2x+5| +c
Pregunta 2. Evalúa ∫1/x 2 – 10x + 34 dx
Solución:
Sea I = ∫1/x 2 – 10x + 34 dx
=∫1/x 2 – 2x × 5 + (5) 2 – (5) 2 + 34 dx
=∫1/ (x – 5) 2 + 9 dx (yo)
sustituyendo (x-1) = t
dx = dt
poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ 1/ t 2 + (3) 2 dt
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 1/3 tan -1 (t/3) + c [Ya que, ∫ 1/x 2 + a 2 dx = 1/a tan -1 (x/2) + c]
Ponga el valor de t en la ecuación anterior.
Por lo tanto, I = 1/3 tan -1 (x-5/ 3) + c
Pregunta 3. Evalúa ∫ 1/ 1-xx 2 dx
Solución:
Sea I = ∫ 1/ 1-xx 2 dx
= ∫ 1/ -(x 2 – x – 1) dx
sumando y restando 1/4 en el denominador para que sea un cuadrado perfecto
= ∫ 1/ -(x 2 – x + 1/4 – 1 – 1/4) dx
= ∫ 1/ -([x 2 – x + 1/4] – 1 – 1/4) dx
= ∫ 1/ -([x – 1/2] 2 – 5/4) dx
= ∫ 1/ (5/4 – [x – 1/2] 2 ) dx
= ∫ 1/ ([√5/2] 2 – [x – 1/2] 2 ) dx
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 1/2(√5/2) log|√5/2 + (x-1/2)/ √5/2 – (x-1/2)| + c [ya que ∫ 1/a 2 + x 2 dx = 1/2a log|x+a/xa| +c]
Por lo tanto, I = 1/√5 log|√5/2 + (x-1/2) /√5/2 – (x-1/2)| +c
Pregunta 4. Evalúa ∫ 1/2x 2 – x – 1 dx
Solución:
Sea I = ∫ 1/2x 2 – x – 1 dx
tomando 1/2 común de la ecuación anterior.
=1/2 ∫ 1/ x 2 – x/2 – 1/2 dx
=1/2 ∫ 1/ x 2 – 2x × 1/4 + (1/4) 2 – (1/4) 2 – 1/2 dx
= 1/2 ∫ 1/ (x – 1/4) 2 – 9/16 dx
poner, x- 1/4 = t
dx = dt
= 1/2 ∫ 1/ t 2 – (3/4) 2 dt
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= (1/2) 1/[2×(3/4)] log|t-(3/4) / t+(3/4)| + c [Ya que, ∫ 1/x 2 -a 2 dx = 1/2a log|x – a/ x+a| +c]
Ponga el valor de t en la ecuación anterior.
= 1/3 log|(x-1/4-3/4)/x-1/4+3/4| +c
Por lo tanto, yo = 1/3log|x – 1/2x+1| +c
Pregunta 5. Evalúa ∫ dx/x 2 + 6x +13
Solución:
Sea I =∫ dx/x 2 + 6x +13 (i)
Tenemos x 2 + 6x +13 = x 2 + 6x + 3 2 – 3 2 +13 =(x + 3) 2 + 4
Poner el valor anterior en la ec. (i)
∫ 1/x 2 + 6x +13 dx = ∫ 1/(x+3) 2 + 2 2 dx
pon x+3 = t y
dx = dt
= ∫ dt/ t 2 + 2 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 1/2 bronceado -1 t/2 + c
Ponga el valor de t en la ecuación anterior.
Por lo tanto, I = 1/2 tan -1 x+3/2 + c