Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 21 Áreas de Regiones Acotadas – Ejercicio 21.2

Pregunta 1. Encuentra el área en el primer cuadrante delimitado por la parábola y = 4x ² y las líneas x = 0, y = 1 y y = 4.

Solución:

De la pregunta se da que,

Líneas, x = 0, y = 1, y = 4

Parábola y = 4x ² … [ecuación (i)]

Entonces, la ecuación (i) representa una parábola con vértice (0, 0) y eje como eje y. x = 0 es el eje y e y = 1, y = 4 son líneas paralelas al eje x que pasan a través de (0, 1) y (0, 4) respectivamente, como se muestra en el bosquejo aproximado a continuación,

Ahora, tenemos que encontrar el área de ABCDA,

Entonces, el área se puede encontrar tomando una pequeña porción en cada región de ancho Δy,

Y longitud = x

El área de la parte cortada será como si fuera un rectángulo = x Δy

Entonces, este rectángulo puede moverse horizontalmente desde y = 1 hasta x = 4

El área requerida de la región delimitada entre las líneas = Región ABCDA

$\displaystyle=\int_1^4xdy$

Dado, y = 4x ²

x = $\displaystyle\sqrt{\frac{y}{4}}\\ \int_1^4\sqrt{\frac{y}{4}}\ dy\\ \frac{1}{2}\int_1^4\sqrt y\ dy$

En la integración, obtenemos,

$\displaystyle=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}y\sqrt y\right]_1^4$

Ahora, aplicando límites obtenemos,

$= \frac{1}{2} \left[\left(\frac{2}{3} × 4 × \sqrt4\right) - \left(\frac{2}{3} × 1 × \sqrt1\right)\right]\\ = \frac{1}{2} \left[\frac{16}{3} - \frac{2}{3}\right]\\ = \frac{1}{2} \left[\frac{(16 - 2)}{3}\right]\\ = \frac{1}{2} \left[\frac{14}{3}\right]\\ = \frac{7}{3}$

Por lo tanto, el área requerida es $\frac{7}{3}$ unidades cuadradas.

Pregunta 2. Encuentra el área de la región delimitada por x ² = 16y, y = 1, y = 4 y el eje y en el cuadrante.

Solución:

De la pregunta se da que,

Región en el primer cuadrante delimitada por y = 1, y = 4

Parábola x ² = 16y … [ecuación (i)]

Entonces, la ecuación (i) representa una parábola con vértice (0, 0) y eje como el eje y, como se muestra en el bosquejo aproximado a continuación,

Ahora, tenemos que encontrar el área de ABCDA,

Entonces, el área se puede encontrar tomando una pequeña porción en cada región de ancho Δy,

Y longitud = x

El área de la parte cortada será como si fuera un rectángulo = x Δy

Entonces, este rectángulo puede moverse horizontalmente desde y = 1 hasta x = 4

El área requerida de la región delimitada entre las líneas = Región ABCDA

$\displaystyle\int_1^4x\ dy$

Dado, x ² = 16y

$x=\sqrt{16y}\\ x=4\sqrt{y}\\ =\int_1^44\sqrt4\ dy$

Al integrar obtenemos,

$=4\left[\frac{2}{3}y\sqrt y\right]^4_1\\ =\int_1^4x\ dy$

Dado, x ² = 16y

$x=\sqrt{16y}\\ x=4\sqrt{y}\\ =\int_1^44\sqrt4\ dy$

Al integrar obtenemos,

$=4\left[\frac{2}{3}y\sqrt y\right]^4_1\\ =\int_1^4x\ dy$

Ahora, aplicando límites obtenemos,

$= 4 \left[\left(\frac{2}{3} × 4 × \sqrt4\right) - \left(\frac{2}{3}× 1 × \sqrt1\right)\right]\\ = 4 \left[\frac{16}{3} - \frac{2}{3}\right]\\ = 4 \left[\frac{(16 - 2)}{3}\right]\\ = 4 \left[\frac{14}{3}\right]\\ = \frac{56}{3}$

Por lo tanto, el área requerida es $\frac{56}{3}$ unidades cuadradas.

Pregunta 3. Halla el área de la región delimitada por x ² = 4ay y su latus rectum .

Solución:

Tenemos que encontrar el área de la región acotada por x ² = 4ay

Después,

Área de la región = $\displaystyle2\times\int_0^{2a}\left(a-\frac{x^2}{4a}\right)dx$

Al integrar obtenemos,

= $2\times\left[ax-\frac{x^3}{12a}\right]_0^{2a}$

Ahora aplicando límites,

$= 2 × \left[(a (2a - 0)) - \frac{((2a)^3 - 0^3)}{12a}\right]\\ = 2 × \left[(2a^2) - \frac{8a^3}{12a}\right]\\ = 2 × \left[\frac{(24a^3 - 8a^3)}{12a}\right]\\ = 2 × \left[\frac{16a^3}{12a}\right]\\ = 2 × \left[\frac{4a^2}{3}\right]\\ = \frac{8a^2}{3}\\$

Por lo tanto, el área de la región es $\frac{8a^2}{3}$ unidades cuadradas.

Pregunta 4. Encuentra el área de la región delimitada por x ² + 16y = 0 y su lado recto.

Solución:

Tenemos que encontrar el área de la región acotada por x ² + 16y = 0

Después,

Área de la región = $\displaystyle2\times\int_0^{8}\left[-\frac{x^2}{16}-(-4)\right]dx$

Al integrar obtenemos,

= $2\times\left[4x-\frac{x^3}{48}\right]_0^{8}$

Ahora aplicando límites,

$= 2 × \left[(4 (8 - 0)) - \frac{((8)^3 - 0^3)}{48}\right]\\ = 2 × \left[(32) - \frac{512}{48}\right]\\ = 2 × \left[(32)-\frac{32}{3}\right]\\ = 2 × \left[\frac{96-32}{3}\right]\\ = 2 × \left[\frac{64}{3}\right]\\ = \frac{128}{3}\\$

Por lo tanto, el área de la región es $\frac{128}{3}$ unidades cuadradas.

Pregunta 5. Encuentra el área de la región delimitada por la curva ay ² = x ³ , el eje y y las líneas y = a y y = 2a.

Solución:

Tenemos que encontrar el área de la región limitada por la curva ay ² = x ³ , y las rectas y = aey = 2a.

Después,

Área de la región = $\displaystyle\int_a^{2a}(ay^2)^{\frac{1}{3}}\ dy\\ =a^{\frac{1}{3}}\int_a^{2a}y^{\frac{2}{3}}dy$

Al integrar obtenemos, = $a^{\frac{1}{3}}\left[\frac{3}{5}y^{\frac{5}{3}}\right]_0^{2a}$

Ahora aplicando límites obtenemos, = $\frac{3}{5}\left(2^{\frac{5}{3}}-1\right)a^2\ sq\ units$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yashchuahan y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Encuentra el área en el primer cuadrante delimitado por la parábola y = 4x 2 y las líneas x = 0, y = 1 y y = 4.

Pregunta 2. Encuentra el área de la región delimitada por x 2 = 16y, y = 1, y = 4 y el eje y en el cuadrante.

Pregunta 3. Halla el área de la región delimitada por x 2 = 4ay y su latus rectum .

Pregunta 4. Encuentra el área de la región delimitada por x 2 + 16y = 0 y su lado recto.

Pregunta 5. Encuentra el área de la región delimitada por la curva ay 2 = x 3 , el eje y y las líneas y = a y y = 2a.

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Pregunta 1. Encuentra el área en el primer cuadrante delimitado por la parábola y = 4x ² y las líneas x = 0, y = 1 y y = 4.

Pregunta 2. Encuentra el área de la región delimitada por x ² = 16y, y = 1, y = 4 y el eje y en el cuadrante.

Pregunta 3. Halla el área de la región delimitada por x ² = 4ay y su latus rectum .

Pregunta 4. Encuentra el área de la región delimitada por x ² + 16y = 0 y su lado recto.

Pregunta 5. Encuentra el área de la región delimitada por la curva ay ² = x ³ , el eje y y las líneas y = a y y = 2a.