Pregunta 1. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas para un rectángulo?
(i) Tiene dos pares de lados iguales.
(ii) Tiene todos sus lados de igual longitud.
(iii) Sus diagonales son iguales.
(iv) Sus diagonales se bisecan entre sí.
(v) Sus diagonales son perpendiculares.
(vi) Sus diagonales son perpendiculares y se bisecan entre sí.
(vii) Sus diagonales son iguales y se bisecan entre sí.
(viii) Sus diagonales son iguales y perpendiculares y se bisecan entre sí.
(ix) Todos los rectángulos son cuadrados.
(x) Todos los rombos son paralelogramos.
(xi) Todos los cuadrados son rombos y también rectángulos.
(xii) No todos los cuadrados son paralelogramos.
Solución:
(i) Tiene dos pares de lados iguales.
Esta afirmación es Verdadera.
(ii) Tiene todos sus lados de igual longitud.
Esta afirmación es falsa porque solo el par de lados opuestos son iguales en un rectángulo.
(iii) Sus diagonales son iguales.
Esta afirmación es Verdadera.
(iv) Sus diagonales se bisecan entre sí.
Esta afirmación es Verdadera.
(v) Sus diagonales son perpendiculares.
Esta afirmación es falsa porque las diagonales no son perpendiculares.
(vi) Sus diagonales son perpendiculares y se bisecan entre sí.
Esta afirmación es falsa porque las diagonales no son perpendiculares, solo se bisecan entre sí.
(vii) Sus diagonales son iguales y se bisecan entre sí.
Esta afirmación es Verdadera.
(viii) Sus diagonales son iguales y perpendiculares, y se bisecan entre sí.
Esta afirmación es falsa porque la longitud de las diagonales es igual y se bisecan entre sí, pero no son perpendiculares.
(ix) Todos los rectángulos son cuadrados.
Esta afirmación es falsa porque no todos los rectángulos son cuadrados.
(x) Todos los rombos son paralelogramos.
Esta afirmación es Verdadera.
(xi) Todos los cuadrados son rombos y también rectángulos.
Esta afirmación es Verdadera.
(xii) No todos los cuadrados son paralelogramos.
Esta afirmación es falsa porque los lados opuestos son paralelos e iguales, por lo que todos los cuadrados son paralelogramos.
Pregunta 2. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas para un cuadrado?
(i) Es un rectángulo.
(ii) Tiene todos sus lados de igual longitud.
(iii) Sus diagonales se bisecan en ángulo recto.
(v) Sus diagonales son iguales a sus lados.
Solución:
(i) Es un rectángulo.
Esta afirmación es Verdadera.
(ii) Tiene todos sus lados de igual longitud.
Esta afirmación es Verdadera.
(iii) Sus diagonales se bisecan en ángulo recto.
Esta afirmación es Verdadera.
(v) Sus diagonales son iguales a sus lados.
Esta afirmación es falsa porque la longitud de las diagonales no es igual a la longitud de los lados del cuadrado.
Pregunta 3. Complete los espacios en blanco en cada uno de los siguientes, para que la declaración sea verdadera:
(i) Un rectángulo es un paralelogramo en el que ________.
(ii) Un cuadrado es un rombo en el que __________.
(iii) Un cuadrado es un rectángulo en el que ___________.
Solución:
(i) Un rectángulo es un paralelogramo en el que un ángulo es un ángulo recto.
(ii) Un cuadrado es un rombo en el que un ángulo es un ángulo recto.
(iii) Un cuadrado es un rectángulo en el que los lados adyacentes son iguales.
Pregunta 4. El marco de una ventana tiene una diagonal más larga que la otra. ¿El marco de la ventana es un rectángulo? ¿Por qué o por qué no?
Solución:
El marco de la ventana no es un rectángulo porque la longitud de las diagonales de un rectángulo es igual.
Pregunta 5. En un rectángulo ABCD, prueba que ΔACB ≅ΔCAD.
Solución:
Dibuja un rectángulo,
Ahora en la figura dada
Diagonal = CA
Entonces, en ΔACB y ΔCAD
AB = CD [Los lados opuestos de un rectángulo son iguales]
BC = DA
AC = CA [Lados comunes]
Entonces, por SSS, ambos triángulos son congruentes
ΔACB ≅ ΔCAD
Pregunta 6. Los lados de un rectángulo están en la proporción de 2:3, y su perímetro es de 20 cm. Dibuja el rectángulo.
Solución:
Dado: Perímetro = 20cm
Relación = 2:3
Sea ABCD un rectángulo
Entonces, supongamos que ‘x’ es el lado del rectángulo
Longitud (l) = 3x
Ancho (b) = 2x
Usando la fórmula, obtenemos
Perímetro del rectángulo = 2 (largo + ancho)
20 = 2(3x + 2x)
10x = 20
X = 20/10 = 2
Por lo tanto, Largo = 3×2 = 6 cm y ancho = 2×2 = 4 cm
Entonces, ahora dibujamos un rectángulo de largo = 6 cm y ancho = 4 cm.
Pregunta 7. Los lados de un rectángulo están en la razón 4:5. Encuentra sus lados si el perímetro es de 90 cm.
Solución:
Dado: Perímetro = 90cm
Relación = 4:5
Sea ABCD un rectángulo
Entonces, supongamos que ‘x’ es el lado del rectángulo
Longitud (l) = 5x
Ancho (b) = 4x
Usando la fórmula, obtenemos
Perímetro del rectángulo = 2 (largo + ancho)
90 = 2(5x + 4x)
18x = 90
x = 90/18 = 5
Por lo tanto, Largo = 5×5 = 25 cm y Ancho = 4×5 = 20 cm
Entonces, ahora dibujamos un rectángulo de largo = 25 cm y ancho = 20 cm.
Pregunta 8. Encuentra la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 12 cm y 5 cm.
Solución:
Dado que en el rectángulo ABCD,
AB = 12cm
CC = 5 cm
Encuentre: la longitud de AC
en ΔABC
Usando el teorema de Pitágoras,
CA 2 = AB 2 + BC 2
CA 2 = 12 2 + 5 2
CA 2 = 144 + 25
CA 2 = 169
CA = √169
CA = 13 cm
Por lo tanto, la longitud de la diagonal AC = 13 cm.
Pregunta 9. Dibuja un rectángulo cuyo lado uno mida 8 cm y la longitud de cada una de cuyas diagonales sea de 10 cm.
Solución:
Dado que
Un lado del rectángulo = 8 cm.
Longitud diagonal = 10 cm
Entonces, ahora vamos a construir un rectángulo usando los siguientes pasos:
(i) Dibuje una línea llamada AB de 8 cm de longitud.
(ii) Ahora, desde el punto A, cree un arco de 10 cm de longitud y márquelo como un punto C.
(iii) Ahora dibuje un ángulo de 90° desde el punto B y luego únase al arco desde el punto A que corta en el punto C.
(iv) Una las líneas AC y BC.
(v) Ahora dibuje un ángulo de 90° desde el punto A y corte un arco desde el punto C de 8 cm de longitud para el punto D
(vi) Ahora, una las líneas CD y AD
Pregunta 10. Dibuja un cuadrado cuyos lados miden 4,8 cm.
Solución:
Dado que
Lado = 4,8 cm.
Entonces, ahora vamos a construir un cuadrado usando los siguientes pasos:
(i) Dibuje una línea llamada AB de 4,8 cm de longitud.
(ii) Ahora dibuje perpendiculares (ángulo de 90°) desde los puntos A y B.
(iii) Desde los puntos A y B, cree un arco de 4,8 cm de longitud en las perpendiculares para llegar a los puntos D y C.
(iv) Después de crear el arco, únase a la línea DC, AD y BC.
Pregunta 11. Identifica todos los cuadriláteros que tienen:
(i) Cuatro lados de igual longitud
(ii) Cuatro ángulos rectos
Solución:
(i) Cuadrado y Rombo.
(ii) Cuadrado y Rectángulo.
Pregunta 12. Explica cómo es un cuadrado
(i) ¿Un cuadrilátero?
(ii) ¿Un paralelogramo?
(iii) ¿Un rombo?
(iv) ¿Un rectángulo?
Solución:
(i) Un cuadrado es un cuadrilátero porque todos sus lados tienen la misma longitud.
(ii) Un cuadrado es un paralelogramo porque los lados opuestos de un cuadrado son iguales y paralelos.
(iii) Un cuadrado es un rombo porque todos los lados de un cuadrado tienen la misma longitud y los lados opuestos son paralelos.
(iv) Un cuadrado es un rectángulo porque los lados opuestos de un cuadrado son iguales y cada ángulo es de 90°.
Pregunta 13. Nombra los cuadriláteros cuyas diagonales:
(i) se bisecan entre sí
(ii) son bisectrices perpendiculares entre sí
(iii) son iguales.
Solución:
(i) Paralelogramo, Rectángulo, Rombo y Cuadrado.
(ii) Rombo y Cuadrado.
(iii) Cuadrado y Rectángulo.
Pregunta 14. ABC es un triángulo rectángulo y O es el punto medio del lado opuesto al ángulo recto. Explique por qué O es equidistante de A, B y C.
Solución:
Dado que el triángulo ABC es un triángulo rectángulo, en el que O es el punto medio de la hipotenusa AC
Entonces, OA = OC
Ahora, dibujamos CD||AB y unimos AD,
tal que AB = CD y AD = BC.
Entonces, el cuadrilátero ABCD es un rectángulo porque cada ángulo es un rectángulo
el ángulo y los lados opuestos son iguales y paralelos.
Entonces, AC = BD [La longitud de las diagonales es igual]
AO = OC = BO = OD
Por tanto, O es equidistante de A, B y C.
Pregunta 15. Un albañil ha hecho una losa de hormigón. Necesita que sea rectangular. ¿De qué maneras diferentes puede asegurarse de que sea rectangular?
Solución:
La losa de concreto puede ser un rectángulo si cada ángulo es de 90° y las diagonales son iguales.