Clase 9 Soluciones RD Sharma – Capítulo 2 Exponentes de números reales – Ejercicio 2.1

Pregunta 1 (i). Simplifica 3(a ⁴ b ³ ) ¹⁰ × 5(a ² b ² ) ³

Solución:

Dado 3(a ⁴ b ³ ) ¹⁰ × 5(a ² b ² ) ³

= 3 × un ⁴⁰ × segundo ³⁰ × 5 × un ⁶ × segundo ⁶

= 3 × un ⁴⁶ × segundo ³⁶ × 5 [un ^metro × un norte = un ^metro+ⁿ ]

= 15 × a ⁴⁶ × b ³⁶

= 15a ⁴⁶ b ³⁶

Por lo tanto, 3(a ⁴ b ³ ) ¹⁰ × 5(a ² b ² ) ³ = 15a ⁴⁶ b ³⁶

Pregunta 1 (ii). Simplifica (2x ^-2 y ³ ) ³

Solución:

Dado (2x ^-2 y ³ ) ³

= 2 ³ × x ^-6 × y ⁹

= 8 × x ^-6 × y ⁹ [un ^metro × un norte =un ^metro+ⁿ ]

= 8x ^-6 y ⁹

Así, (2x ^-2 y ³ ) ³ = 8x ^-6 y ⁹

Pregunta 1 (iii). Simplificar $\frac{(4×10^7)(6×10^{-5})}{8×10^4}$

Solución:

Dado $\frac{(4×10^7)(6×10^{-5})}{8×10^4}$

= $\frac{4×10^7×6×10^{-5}}{8×10^4}$

= $\frac{24×10^{7+(-5)}}{8×10^4}$ [un ^metro × un norte = un ^metro+ⁿ ]

= $\frac{24×10^2}{8×10^4}$

= 3/10 ²

= 3/100

De este modo, $\frac{(4×10^7)(6×10^{-5})}{8×10^4} =3/100$

Pregunta 1 (iv). Simplificar $\frac{4ab^2(-5ab^3)}{10a^2b^2}$

Solución:

Dado $\frac{4ab^2(-5ab^3)}{10a^2b^2}$

= $\frac{4×a×b^2×(-5)×a×b^3}{10a^2b^2}$

= $\frac{-20×a×a×b^2×b^3}{10a^2b^2}$

= $\frac{-20×a^{1+1}×b^{2+3}}{10a^2b^2}$ [un ^metro × un norte = un ^metro+ⁿ ]

= -2×a ² ×b ⁵ ×a ^-2 ×b ^-2

= -2×a ^2+(-2) ×b ^5+(-2) [un ^metro × un norte = un ^metro+ⁿ ]

= -2×a ⁰ ×b ³

= -2b ³ [a ⁰ =1]

Por lo tanto, $\frac{4ab^2(-5ab^3)}{10a^2b^2}$ =-2b ³

Pregunta 1 (v). Simplificar $(\frac{x^2y^2}{a^2b^3})^n$

Solución:

Dado $(\frac{x^2y^2}{a^2b^3})^n$

= $\frac{(x^2)^n(y^2)^n}{(a^2)^n(b^3)^n}$

= $\frac{x^{2n}y^{2n}}{a^{2n}b^{3n}}$ [un ^metro × un norte = un ^metro+ⁿ ]

De este modo, $(\frac{x^2y^2}{a^2b^3})^n =\frac{x^{2n}y^{2n}}{a^{2n}b^{3n}}$

Pregunta 1 (vi). Simplificar $\frac{(a^{3n-9})^6}{a^{2n-4}}$

Solución:

Dado $\frac{(a^{3n-9})^6}{a^{2n-4}}$

= $\frac{a^{6(3n-9)}}{a^{2n-4}}$ [(un ^metro ) ^norte = un ^mn ]

= $\frac{a^{18n-54}}{a^{2n-4}}$

= un ^18n-54 × un ^-(2n-4) [ un ^metro × un norte = un metro ⁺ⁿ ]

= un ^18n-54-2n+4

= un ^16n-50

Así, $\frac{(a^{3n-9})^6}{a^{2n-4}}$ = a ^16n-50

Pregunta 2 (i) Si a = 3 y b = -2, encuentre el valor de a ^a + b ^b

Solución:

Dado a = 3 y b = -2

Al sustituir el valor de a y b en a ^a + b ^b , obtenemos

una ^una + segundo ^segundo = 3 ³ + (-2) ^-2

= 27 + 1/4

= (108 + 1)/4

= 109/4

Así, a ^a + b ^b = 109/4

Pregunta 2 (ii). Si a = 3 y b = -2, encuentre el valor de a ^b + b ^a

Solución:

Dado a = 3 y b = -2

Al sustituir el valor de a y b en a ^b + b ^a , obtenemos

un ^segundo + segundo ^un = 3 ^-2 + (-2) ³

= 1/9 + (-8)

= (1 – 72)/9

= -71/9

Así, a ^b + b ^a = -71/9

Pregunta 2 (iii). Si a = 3 y b = -2, encuentre el valor de (a + b) ^ab .

Solución:

Dado a = 3 y b = -2

Al sustituir el valor de a y b en (a + b) ^ab , obtenemos

(a + b) ^ab = (3 + (-2)) ^3×-2

= (1) ^-6

= 1

Así, (a + b) ^ab = 1

Pregunta 3 (i). Pruebalo $(\frac{x^a}{x^b})^{a^2+ab+b^2}×(\frac{x^b}{x^c})^{b^2+bc+c^2}×(\frac{x^c}{x^a})^{c^2+ca+a^2}=1$

Solución:

Primero resolvamos el lado izquierdo de la ecuación dada

$(\frac{x^a}{x^b})^{a^2+ab+b^2}×(\frac{x^b}{x^c})^{b^2+bc+c^2}×(\frac{x^c}{x^a})^{c^2+ca+a^2}$

Usando la fórmula (a ^m ) ⁿ = a ^mn , obtenemos

= $\frac{x^{a(a^2+ab+b^2)}}{x^{b(a^2+ab+b^2)}}×\frac{x^{b(b^2+bc+c^2)}}{x^{c(b^2+bc+c^2)}}×\frac{x^{c(c^2+ca+a^2)}}{x^{a(c^2+ca+a^2)}}$

Usando la fórmula a ^m /a ⁿ = a ^m-n , obtenemos

= $x^{a(a^2+ab+b^2)-b(a^2+ab+b^2)}×x^{b(b^2+bc+c^2)-c(b^2+bc+c^2)}×x^{c(c^2+ca+a^2)-a(c^2+ca+a^2)}$

= $x^{(a-b)(a^2+ab+b^2)}×x^{(b-c)(b^2+bc+c^2)}×x^{(c-a)(c^2+ca+a^2)}$

= $x^{(a^3-b^3)}×x^{(b^3-c^3)}×x^{(c^3-a^3)}$

Usando la fórmula a ^m × a ⁿ = a ^m+n , obtenemos

= $x^{(a^3-b^3+b^3-c^3+c^3-a^3)}$

= x

= 1

= Lado derecho de la ecuación dada

Así, probamos que $(\frac{x^a}{x^b})^{a^2+ab+b^2}×(\frac{x^b}{x^c})^{b^2+bc+c^2}×(\frac{x^c}{x^a})^{c^2+ca+a^2}=1$

Pregunta 3 (ii). Pruebalo $(\frac{x^a}{x^b})^c×(\frac{x^b}{x^c})^a×(\frac{x^c}{x^a})^b=1$

Solución:

Consideremos el lado izquierdo de la ecuación dada

$(\frac{x^a}{x^b})^c×(\frac{x^b}{x^c})^a×(\frac{x^c}{x^a})^b$

Usando la fórmula, (a ^m ) ⁿ = a ^mn , obtenemos

= $\frac{x^{ac}}{x^{bc}}×\frac{x^{ba}}{x^{ca}}×\frac{x^{cb}}{x^{ab}}$

= $\frac{x^{ac}×x^{ba}×x^{cb}}{x^{bc}×x^{ca}×x^{ab}}$

= $\frac{x^{ac+ba+bc}}{x^{bc+ca+ab}}$ [un ^metro × un norte = un ^metro+ⁿ ]

= 1

= Lado derecho de la ecuación dada

Así, probamos que $(\frac{x^a}{x^b})^c×(\frac{x^b}{x^c})^a×(\frac{x^c}{x^a})^b=1$

Pregunta 3 (iii). Pruebalo $(\frac{x^a}{x^{-b}})^{a^2-ab+b^2}×(\frac{x^b}{x^{-c}})^{b^2-bc+c^2}×(\frac{x^c}{x^{-a}})^{c^2-ca+a^2}=x^{2(a^3+b^3+c^3)}$

Solución:

Primero resolvamos el lado izquierdo de la ecuación dada

$(\frac{x^a}{x^{-b}})^{a^2-ab+b^2}×(\frac{x^b}{x^{-c}})^{b^2-bc+c^2}×(\frac{x^c}{x^{-a}})^{c^2-ca+a^2}=1$

Usando la fórmula (a ^m ) ⁿ = a ^mn , obtenemos

= $\frac{x^{a(a^2-ab+b^2)}}{x^{-b(a^2-ab+b^2)}}×\frac{x^{b(b^2-bc+c^2)}}{x^{-c(b^2-bc+c^2)}}×\frac{x^{c(c^2-ca+a^2)}}{x^{-a(c^2-ca+a^2)}}$

Usando la fórmula a ^m /a ⁿ = a ^m-n , obtenemos

= $x^{a(a^2-ab+b^2)+b(a^2-ab+b^2)}×x^{b(b^2-bc+c^2)+c(b^2-bc+c^2)}×x^{c(c^2-ca+a^2)+a(c^2-ca+a^2)}$

= $x^{(a+b)(a^2-ab+b^2)}×x^{(b+c)(b^2-bc+c^2)}×x^{(c+a)(c^2-ca+a^2)}$

= $x^{(a^3+b^3)}×x^{(b^3+c^3)}×x^{(c^3+a^3)}$

Usando la fórmula a ^m × a ⁿ = a ^m+n , obtenemos

= $x^{(a^3+b^3+b^3+c^3+c^3+a^3)}$

= $x^{2(a^3+b^3+c^3)}$

= Lado derecho de la ecuación dada

Así, probamos que $(\frac{x^a}{x^{-b}})^{a^2-ab+b^2}×(\frac{x^b}{x^{-c}})^{b^2-bc+c^2}×(\frac{x^c}{x^{-a}})^{c^2-ca+a^2}=x^{2(a^3+b^3+c^3)}$

Pregunta 4 (i). Pruebalo $\frac1{1+x^{a-b}}+\frac1{1+x^{b-a}}=1$

Solución:

Consideremos primero el lado izquierdo de la ecuación dada

$\frac1{1+x^{a-b}}+\frac1{1+x^{b-a}}$

= $\frac1{1+\frac{x^a}{x^b}}+\frac1{1+\frac{x^b}{x^a}}$

= $\frac1{\frac{x^b+x^a}{x^b}}+\frac1{\frac{x^a+x^b}{x^a}}$

= $\frac{x^b}{x^a+x^b}+\frac{x^a}{x^a+x^b}$

= $\frac{x^a+x^b}{x^b+x^a}$

= 1

= Lado derecho de la ecuación dada

Así, probamos que $\frac1{1+x^{a-b}}+\frac1{1+x^{b-a}}=1$

Pregunta 4 (ii). Pruebalo $\frac1{1+x^{b-a}+x^{c-a}}+\frac1{1+x^{a-b}+x^{c-b}}+\frac1{1+x^{b-c}+x^{c-a}}=1$

Solución:

Consideremos primero el lado izquierdo de la ecuación dada

$\frac1{1+x^{b-a}+x^{c-a}}+\frac1{1+x^{a-b}+x^{c-b}}+\frac1{1+x^{b-c}+x^{c-a}}$

= $\frac1{1+\frac{x^b}{x^a}+\frac{x^c}{x^a}}+\frac1{1+\frac{x^a}{x^b}+\frac{x^c}{x^b}}+\frac1{1+\frac{x^b}{x^c}+\frac{x^a}{x^c}}$

= $\frac1{\frac{x^a+x^b+x^c}{x^a}}+\frac1{\frac{x^a+x^b+x^c}{x^b}}+\frac1{\frac{x^a+x^b+x^c}{x^c}}$

= $\frac{x^a}{x^a+x^b+x^c}+\frac{x^b}{x^a+x^b+x^c}+\frac{x^c}{x^a+x^b+x^c}$

= $\frac{x^a+x^b+x^c}{x^a+x^b+x^c}$

= 1

= Lado derecho de la ecuación dada

Así, probamos que $\frac1{1+x^{b-a}+x^{c-a}}+\frac1{1+x^{a-b}+x^{c-b}}+\frac1{1+x^{b-c}+x^{c-a}}=1$

Pregunta 5 (i). Pruebalo $\frac{a+b+c}{a^{-1}b^{-1}+b^{-1}c^{-1}+a^{-1}c^{-1}}=abc$

Solución:

Consideremos primero el lado izquierdo de la ecuación dada

$\frac{a+b+c}{a^{-1}b^{-1}+b^{-1}c^{-1}+a^{-1}c^{-1}}$

= $\frac{a+b+c}{\frac1{ab}+\frac1{bc}+\frac1{ca}}$

= $\frac{a+b+c}{\frac{a+b+c}{abc}}$

= abc

= Lado derecho de la ecuación dada

Así, probamos que $\frac{a+b+c}{a^{-1}b^{-1}+b^{-1}c^{-1}+a^{-1}c^{-1}}=abc$

Pregunta 5 (ii). Pruebalo $(a^{-1}+b^{-1})^{-1}=\frac{ab}{a+b}$

Solución:

Consideremos primero el lado izquierdo de la ecuación dada

$(a^{-1}+b^{-1})^{-1}$

= $\frac1{a^{-1}+b^{-1}}$

= $\frac1{\frac1a+\frac1b}$

= $\frac1{\frac{b+a}{ab}}$

= $\frac{ab}{a+b}$

= Lado derecho de la ecuación dada

Así, probamos que $(a^{-1}+b^{-1})^{-1}=\frac{ab}{a+b}$

Pregunta 6. Si abc = 1, demuestre que $\frac1{1+a+b^{-1}}+\frac1{1+b+c^{-1}}+\frac1{1+c+a^{-1}}=1$

Solución:

Dado abc = 1

⇒ c = 1/ab

Consideremos primero el lado izquierdo de la ecuación dada

$\frac1{1+a+b^{-1}}+\frac1{1+b+c^{-1}}+\frac1{1+c+a^{-1}}$

= $\frac1{1+a+\frac1b}+\frac1{1+b+\frac1c}+\frac1{1+c+\frac1a}$

= $\frac1{\frac{b+ab+1}{b}}+\frac1{\frac{c+bc+1}c}+\frac1{\frac{a+ac+1}a}$

= $\frac{b}{b+ab+1}+\frac{c}{c+bc+1}+\frac{a}{a+ac+1}$

Sustituyendo el valor de c en la ecuación anterior, obtenemos

= $\frac{b}{b+ab+1}+\frac{\frac1{ab}}{\frac1{ab}+b(\frac1{ab})+1}+\frac{a}{a+a(\frac1{ab})+1}$

= $\frac{b}{b+ab+1}+\frac{\frac1{ab}}{\frac1{ab}+\frac{b}{ab}+\frac{ab}{ab}}+\frac{a}{\frac{ab}{b}+\frac1{b}+\frac{b}{b}}$

= $\frac{b}{b+ab+1}+\frac{\frac1{ab}}{\frac{1+b+ab}{ab}}+\frac{a}{\frac{ab+1+b}{b}}$

= $\frac{b}{b+ab+1}+\frac{\frac{ab}{ab}}{1+b+ab}+\frac{ab}{ab+b+1}$

= $\frac{b+1+ab}{b+ab+1}$

= 1

= Lado derecho de la ecuación dada

Así, hemos demostrado que si abc = 1, $\frac1{1+a+b^{-1}}+\frac1{1+b+c^{-1}}+\frac1{1+c+a^{-1}}=1$

Pregunta 7 (i). Simplificar $\frac{3^n×9^{n+1}}{3^{n-1}×9^{n-1}}$

Solución:

Dado $\frac{3^n×9^{n+1}}{3^{n-1}×9^{n-1}}$

= $\frac{3^n×(3^2)^{n+1}}{3^{n-1}×(3^2)^{n-1}}$

= $\frac{3^n×3^{2n+2}}{3^{n-1}×3^{2n-2}}$

= $\frac{3^{n+2n+2}}{3^{n-1+2n-2}}$ [un ^metro × un norte = un ^metro+ⁿ ]

= $\frac{3^{3n+2}}{3^{3n-3}}$

= 3 ^3n+2-(3n-3) [un ^metro /un norte = un ^metro-ⁿ ]

= 3 ⁵

= 243

Por lo tanto, $\frac{3^n×9^{n+1}}{3^{n-1}×9^{n-1}}$ = 243

Pregunta 7 (ii). Simplificar $\frac{5×25^{n+1}-25×5^{2n}}{5×5^{2n+3}-25^{n+1}}$

Solución:

Dado $\frac{5×25^{n+1}-25×5^{2n}}{5×5^{2n+3}-25^{n+1}}$

= $\frac{5×(5^2)^{n+1}-(5^2)×5^{2n}}{5×5^{2n+3}-(5^2)^{n+1}}$

= $\frac{5×(5^{2n+2})-(5^2)×5^{2n}}{5×5^{2n+3}-5^{2n+2}}$

= $\frac{5^{1+2n+2}-5^{2+2n}}{5^{1+2n+3}-5^{2n+2}}$ [un ^metro × un norte = un ^metro+ⁿ ]

= $\frac{5^{2+2n}(5-1)}{5^{2+2n}(5^2-1)}$

= 4/24

= 1/6

Por lo tanto, $\frac{5×25^{n+1}-25×5^{2n}}{5×5^{2n+3}-25^{n+1}}$ = 1/6

Pregunta 7 (iii). Simplificar $\frac{5^{n+3}-6×5^{n+1}}{9×5^n-2^2×5^n}$

Solución:

Dado, $\frac{5^{n+3}-6×5^{n+1}}{9×5^n-2^2×5^n}$

= $\frac{5^{n+1}(5^2-6)}{5^n(9-2^2)}$

= $\frac{5^n×5×(25-6)}{5^n(9-4)}$

= (19 × 5)/5

= 19

De este modo, $\frac{5^{n+3}-6×5^{n+1}}{9×5^n-2^2×5^n}=19$

Pregunta 7 (iv). Simplificar $\frac{6(8)^{n+1}+16(2)^{3n-2}}{10(2)^{3n+1}-7(8)^n}$

Solución:

Dado $\frac{6(8)^{n+1}+16(2)^{3n-2}}{10(2)^{3n+1}-7(8)^n}$

= $\frac{6(2^3)^{n+1}+16(2)^{3n-2}}{10(2)^{3n+1}-7(2^3)^n}$

= $\frac{6(2^{3n+3})+16(2)^{3n-2}}{10(2)^{3n+1}-7(2^{3n})}$

= $\frac{6×2^{3n}(2^3)+16(2^{3n})2^{-2}}{10(2)^{3n}(2^1)-7(2^{3n})}$

= $\frac{2^{3n}((6×2^3)+(16×\frac1{2^2}))}{2^{3n}((10×2)-7)}$

= $\frac{6×8+(16×\frac14)}{20-7}$

= (48 + 4)/13

= 52/13

= 4

De este modo, $\frac{6(8)^{n+1}+16(2)^{3n-2}}{10(2)^{3n+1}-7(8)^n}=4$

Pregunta 8 (i). Resuelva la ecuación 7 ^2x+3 = 1 para x.

Solución:

Dada la ecuación 7 ^2x+3 = 1

Sabemos que, para cualquier número a∈ Real, a ⁰ = 1

Sea a = 7

⇒ 7 ^2x+3 = 7 ⁰

Como las bases son iguales, igualemos los exponentes

⇒ 2x + 3 = 0

⇒ x = -3/2

Por lo tanto, el valor de x es -3/2

Pregunta 8 (ii). Resuelva la ecuación 2 ^x+1 = 4 ^x-3 para x.

Solución:

Dado 2 ^x+1 = 4 ^x-3

Podemos escribir 4 = 2 ²

⇒ ^2x+1 =2 ^2(x-3)

⇒ 2x ⁺¹ = 2 ^2x-6

Como las bases son iguales, igualemos los exponentes

⇒ x + 1 = 2x – 6

⇒ x = 7

Por lo tanto, el valor de x es 7

Pregunta 8 (iii). Resuelva la ecuación 2 ^5x+3 = 8 ^x+3 para x.

Solución:

Dado 2 ^5x+3 = 8 ^x+3

Sabemos que 8 = 2 ³

⇒ 2 ^5x+3 = 2 ^3(x+3)

⇒ 2 ^5x+3 = 2 ^3x+9

Como las bases son iguales, igualemos los exponentes

⇒ 5x + 3 = 3x + 9

⇒ 5x – 3x = 9 – 3

⇒ 2x = 6

⇒ x = 3

Por lo tanto, el valor de x es 3

Pregunta 8 (iv). Resuelve la ecuación 4 ^2x = 1/32 para x.

Solución:

Dado 4 ^2x = 1/32

⇒ 2 ^2(2x) = 1/32

⇒ 2 ^2(2x) × 32 = 1

⇒ 2 ^4x × 2 ⁵ = 1

⇒ 2 ^4x+5 = 2 ⁰

Como las bases son iguales, igualemos los exponentes

⇒ 4x + 5 = 0

⇒ x = -5/4

Por lo tanto, el valor de x es -5/4

Pregunta 8 (v). Resuelve la ecuación 4 ^{x – 1} × (0.5) ^3-2x = (1/8) ^x para x.

Solución:

Dado 4 ^{x – 1} × (0.5) ^3-2x = (1/8) ^x

⇒ $(2^2)^{x-1}×(\frac12)^{3-2x}=(\frac1{2^3})^x$

⇒ $(2^2)^{x-1}×(2^{-1})^{3-2x}=(2^{-3})^x$

⇒ 2 ^2(x-1) × 2 ^-(3-2x) = 2 ^-3x

⇒ 2 ^2x-2-3+2x = 2 ^-3x

⇒ 2 ^4x-5 = 2 ^-3x

Como las bases son iguales, igualemos los exponentes

⇒ 4x – 5 = -3x

⇒ 7x = 5

⇒ x = 5/7

Por lo tanto, el valor de x es 5/7

Pregunta 8 (vi). Resuelve la ecuación 2 ^3x-7 = 256 para x.

Solución:

Dado 2 ^3x-7 = 256

⇒ 2 ^3x-7 = 2 ⁸

Como las bases son iguales, igualemos los exponentes

⇒ 3x – 7 = 8

⇒ x = 15/3

⇒ x = 5

Por lo tanto, el valor de x es 5

Pregunta 9 (i). Resuelva la ecuación 2 ^2x – 2 ^x+3 + 2 ⁴ = 0 para x.

Solución:

Dado 2 ^2x – 2 ^x+3 + 2 ⁴ = 0

⇒ (2 ^x ) ² – 2 × 2 ^x × 2 ² + (2 ² ) ² = 0

⇒ (2 ^x – 2 ² ) ² = 0

⇒ 2 ^x – 2 ² = 0

⇒ 2 ^x = 2 ²

Como las bases son iguales, igualemos los exponentes

⇒ x = 2

Por lo tanto, el valor de x es 2

Pregunta 9 (ii). Resuelve la ecuación 3 ^2x+4 + 1 = 2.3 ^x+2 para x.

Solución:

Dado 3 ^2x+4 + 1 = 2.3 ^x+2

⇒ $(3^{x+2})^2+1=2.3^{x+2}$

⇒ $(3^{x+2})^2-2.3^{x+2}+1=0$

⇒ ( ^3x+2 – 1) ² = 0

⇒ ^3x+2 – 1 = 0

⇒ ^3x+2 = 3 ⁰

Como las bases son iguales, igualemos los exponentes

⇒ x + 2 = 0

⇒ x = -2

Por lo tanto, el valor de x es -2

Pregunta 10. Si 49392 = a ⁴ b ² c ³ , encuentre los valores de a, b y c donde a, b y c son números primos positivos diferentes.

Solución:

Primero averigüemos la descomposición en factores primos de 49392

Por lo tanto, 49392 = 2 ⁴ × 3 ² × 7 ³

Donde 2, 3 y 7 son primos positivos

49392 = 2 ⁴ 3 ² 7 ³ = un ⁴ segundo ² do ³

Así, al comparar, obtenemos

a = 2, b = 3 y c = 7

Así, los valores de a, b y c son 2, 3, 7 respectivamente.

Pregunta 11. Si 1176 = 2 ^a 3 ^b 7 ^c , encuentra a, b y c.

Solución:

Dado 1176 = 2 ^a 3 ^b 7 ^c

Primero averigüemos la descomposición en factores primos de 1176

Por lo tanto, 1176 = 2 ³ × 3 ¹ × 7 ²

1176 = 2 ³ 3 ¹ 7 ² = 2 ^un 3 ^segundo 7 ^c

Así, al comparar, obtenemos

a = 3, b = 1, c = 2

Así, los valores de a, b y c son 3, 1, 2 respectivamente.

Pregunta 12. Dado 4725 = 3 ^a 5 ^b 7 ^c , encuentra

(i) los valores integrales de a, b y c

(ii) el valor de 2 ^-a 3 ^b 7 ^c

Solución:

Dado 4725 = 3 ^a 5 ^b 7 ^c

(i) Averigüemos primero la descomposición en factores primos de 4725

Por lo tanto, 4725 = 3 ³ × 5 ² × 7 ¹

4725 = 3 ³ 5 ² 7 ¹ = 3 ^un 5 ^segundo 7 ^c

Así, al comparar, obtenemos

a = 3, b = 2, c = 1

Así, los valores de a, b y c son 3,2,1 respectivamente.

(ii) Aquí a = 3, b = 2, c = 1

Al sustituir estos valores en 2 ^-a 3 ^b 7 ^c

2 ^-a 3 ^b 7 ^c = 2 ^-3 ×3 ² ×7 ¹

= 1/8 × 9 × 7 = 63/8

Por lo tanto, el valor de 2 ^-a 3 ^b 7 ^c es 63/8

Pregunta 13. Si a = xy ^p-1 , b = xy ^q-1 , c = xy ^r-1 , demuestre que a ^q-r b ^r-p c ^p-q = 1.

Solución:

Dado a = xy ^p-1 , b = xy ^q-1 , c = xy ^r-1

a ^q-r b ^r-p c ^p-q = $(xy^{p-1})^{q-r}(xy^{q-1})^{r-p}(xy^{r-1})^{p-q}$

= $x^{(q-r)}y^{(p-1)(q-r)}x^{(r-p)}y^{(r-p)(q-1)}x^{(p-q)}y^{(p-q)(r-1)}$

= x ^q-r+r-p+pq y ^{(p-1)(qr)+(rp)(q-1)+(pq)(r-1)}

= x ^q-r+r-p+pq y ^{pq-q-pr+r+rq-r-pq+p+pr-p-qr+q}

= x ⁰ y ⁰

= 1

Así, demostramos que a ^q-r b ^r-p c ^p-q = 1

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por prasanthinidamarthy y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1 (i). Simplifica 3(a 4 b 3 ) 10 × 5(a 2 b 2 ) 3

Pregunta 1 (ii). Simplifica (2x -2 y 3 ) 3

Pregunta 1 (iii). Simplificar

Pregunta 1 (iv). Simplificar

Pregunta 1 (v). Simplificar

Pregunta 1 (vi). Simplificar

Pregunta 2 (i) Si a = 3 y b = -2, encuentre el valor de a a + b b

Pregunta 2 (ii). Si a = 3 y b = -2, encuentre el valor de a b + b a

Pregunta 2 (iii). Si a = 3 y b = -2, encuentre el valor de (a + b) ab .

Pregunta 3 (i). Pruebalo

Pregunta 3 (ii). Pruebalo

Pregunta 3 (iii). Pruebalo

Pregunta 4 (i). Pruebalo

Pregunta 4 (ii). Pruebalo

Pregunta 5 (i). Pruebalo

Pregunta 5 (ii). Pruebalo

Pregunta 6. Si abc = 1, demuestre que

Pregunta 7 (i). Simplificar

Pregunta 7 (ii). Simplificar

Pregunta 7 (iii). Simplificar

Pregunta 7 (iv). Simplificar

Pregunta 8 (i). Resuelva la ecuación 7 2x+3 = 1 para x.

Pregunta 8 (ii). Resuelva la ecuación 2 x+1 = 4 x-3 para x.

Pregunta 8 (iii). Resuelva la ecuación 2 5x+3 = 8 x+3 para x.

Pregunta 8 (iv). Resuelve la ecuación 4 2x = 1/32 para x.

Pregunta 8 (v). Resuelve la ecuación 4 x – 1 × (0.5) 3-2x = (1/8) x para x.

Pregunta 8 (vi). Resuelve la ecuación 2 3x-7 = 256 para x.

Pregunta 9 (i). Resuelva la ecuación 2 2x – 2 x+3 + 2 4 = 0 para x.

Pregunta 9 (ii). Resuelve la ecuación 3 2x+4 + 1 = 2.3 x+2 para x.

Pregunta 10. Si 49392 = a 4 b 2 c 3 , encuentre los valores de a, b y c donde a, b y c son números primos positivos diferentes.

Pregunta 11. Si 1176 = 2 a 3 b 7 c , encuentra a, b y c.

Pregunta 12. Dado 4725 = 3 a 5 b 7 c , encuentra

(i) los valores integrales de a, b y c

(ii) el valor de 2 -a 3 b 7 c

Pregunta 13. Si a = xy p-1 , b = xy q-1 , c = xy r-1 , demuestre que a q-r b r-p c p-q = 1.

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 1 (i). Simplifica 3(a ⁴ b ³ ) ¹⁰ × 5(a ² b ² ) ³

Pregunta 1 (ii). Simplifica (2x ^-2 y ³ ) ³

Pregunta 1 (iii). Simplificar $\frac{(4×10^7)(6×10^{-5})}{8×10^4}$

Pregunta 1 (iv). Simplificar $\frac{4ab^2(-5ab^3)}{10a^2b^2}$

Pregunta 1 (v). Simplificar $(\frac{x^2y^2}{a^2b^3})^n$

Pregunta 1 (vi). Simplificar $\frac{(a^{3n-9})^6}{a^{2n-4}}$

Pregunta 2 (i) Si a = 3 y b = -2, encuentre el valor de a ^a + b ^b

Pregunta 2 (ii). Si a = 3 y b = -2, encuentre el valor de a ^b + b ^a

Pregunta 2 (iii). Si a = 3 y b = -2, encuentre el valor de (a + b) ^ab .

Pregunta 3 (i). Pruebalo $(\frac{x^a}{x^b})^{a^2+ab+b^2}×(\frac{x^b}{x^c})^{b^2+bc+c^2}×(\frac{x^c}{x^a})^{c^2+ca+a^2}=1$

Pregunta 3 (ii). Pruebalo $(\frac{x^a}{x^b})^c×(\frac{x^b}{x^c})^a×(\frac{x^c}{x^a})^b=1$

Pregunta 3 (iii). Pruebalo $(\frac{x^a}{x^{-b}})^{a^2-ab+b^2}×(\frac{x^b}{x^{-c}})^{b^2-bc+c^2}×(\frac{x^c}{x^{-a}})^{c^2-ca+a^2}=x^{2(a^3+b^3+c^3)}$

Pregunta 4 (i). Pruebalo $\frac1{1+x^{a-b}}+\frac1{1+x^{b-a}}=1$

Pregunta 4 (ii). Pruebalo $\frac1{1+x^{b-a}+x^{c-a}}+\frac1{1+x^{a-b}+x^{c-b}}+\frac1{1+x^{b-c}+x^{c-a}}=1$

Pregunta 5 (i). Pruebalo $\frac{a+b+c}{a^{-1}b^{-1}+b^{-1}c^{-1}+a^{-1}c^{-1}}=abc$

Pregunta 5 (ii). Pruebalo $(a^{-1}+b^{-1})^{-1}=\frac{ab}{a+b}$

Pregunta 6. Si abc = 1, demuestre que $\frac1{1+a+b^{-1}}+\frac1{1+b+c^{-1}}+\frac1{1+c+a^{-1}}=1$

Pregunta 7 (i). Simplificar $\frac{3^n×9^{n+1}}{3^{n-1}×9^{n-1}}$

Pregunta 7 (ii). Simplificar $\frac{5×25^{n+1}-25×5^{2n}}{5×5^{2n+3}-25^{n+1}}$

Pregunta 7 (iii). Simplificar $\frac{5^{n+3}-6×5^{n+1}}{9×5^n-2^2×5^n}$

Pregunta 7 (iv). Simplificar $\frac{6(8)^{n+1}+16(2)^{3n-2}}{10(2)^{3n+1}-7(8)^n}$

Pregunta 8 (i). Resuelva la ecuación 7 ^2x+3 = 1 para x.

Pregunta 8 (ii). Resuelva la ecuación 2 ^x+1 = 4 ^x-3 para x.

Pregunta 8 (iii). Resuelva la ecuación 2 ^5x+3 = 8 ^x+3 para x.

Pregunta 8 (iv). Resuelve la ecuación 4 ^2x = 1/32 para x.

Pregunta 8 (v). Resuelve la ecuación 4 ^{x – 1} × (0.5) ^3-2x = (1/8) ^x para x.

Pregunta 8 (vi). Resuelve la ecuación 2 ^3x-7 = 256 para x.

Pregunta 9 (i). Resuelva la ecuación 2 ^2x – 2 ^x+3 + 2 ⁴ = 0 para x.

Pregunta 9 (ii). Resuelve la ecuación 3 ^2x+4 + 1 = 2.3 ^x+2 para x.

Pregunta 10. Si 49392 = a ⁴ b ² c ³ , encuentre los valores de a, b y c donde a, b y c son números primos positivos diferentes.

Pregunta 11. Si 1176 = 2 ^a 3 ^b 7 ^c , encuentra a, b y c.

Pregunta 12. Dado 4725 = 3 ^a 5 ^b 7 ^c , encuentra

(ii) el valor de 2 ^-a 3 ^b 7 ^c

Pregunta 13. Si a = xy ^p-1 , b = xy ^q-1 , c = xy ^r-1 , demuestre que a ^q-r b ^r-p c ^p-q = 1.