Clase 9 Soluciones RD Sharma – Capítulo 6 Factorización de polinomios – Ejercicio 6.2

Pregunta 1. Si f(x) = 2x ³ -13x ² +17x+12, encuentra

1. f(2)

2. f(-3)

3. f(0)

Solución:

Dado: f(x)=2x ³ -13x ² +17x+12

1. f(2)

Necesitamos sustituir el ‘2’ en f(x)

f(2)=2(2) ³ -13(2) ² +17(2)+12

= 2(8) – 13(4)+17(2)+12

= 16 – 52 +34+12

= 10

Por lo tanto, f(2)=10

2. f(-3)

Necesitamos sustituir el ‘-3’ en f(x)

f(-3)=2(-3) ³ -13(-3) ² +17(-3)+12

=2*(-27) – 13(9) – 17(3) + 12

= -54 -117-51+12

= -210

Por lo tanto, f(-3) = -210

3. f(0)

Necesitamos sustituir el ‘0’ en f(x)

f(0)=2(0) ³ -13(0) ² +17(0)+12

= 0+0+0+12

= 12

Por lo tanto, f(0) = 12

Pregunta 2. Verificar si los números indicados son cero del polinomio que les corresponde en los siguientes casos:

(1) f(x)=3x+1, x = -1/3

(2) f(x) = x2-1, x=( ¹ ,-1)

(3) g(x) = 3x ² -2, x=( )

(4) p(x)=x ³ -6x ² +11x-6, x=1,2,3

(5) f(x)=5x-π, x=4/5

(6) f(x) = x2 , x= ⁰

(7) f(x)=lx+m, x=-m/l

(8) f(x) = 2x+1, x=1/2

Solución:

(1) f(x) = 3x+1, x=-1/3

Lo sabemos,

f(x) = 3x+1

Sustituye el valor de x = -1/3 en f(x)

f(-1/3) = 3(-1/3)+1

= -1+1

= 0

Como el resultado es 0 x = -1/3 es la raíz de 3x+1

(2) f(x) = x ² -1, x = (1,-1)

Lo sabemos,

f(x) = x2 ^– 1

Dado que x = (1,-1)

Sustituir x=1 en f(x)

f(1) = 1 ² – 1

= 1-1

= 0

Ahora, sustituya x = (-1) en f(x)

f(-1) = (-1) ² – 1

= 1 – 1

= 0

Ya que, los resultados cuando x=(1,-1) son 0 son las raíces del polinomio f(x) = x ² – 1

(3) g(x) = 3x ² – 2

Dado que, x=( )

sustituir en g(x)

g( ) = 3( ) ² – 2

= 3(4/3) – 2

= 4 – 2

= 2

= 2 ≠ 0

Ahora, reemplaza en g(x)

g( ) = 3( ) ² – 2

= 3(4/3) – 2

= 4 -2

= 2

= 2 ≠ 0

Ya que, los resultados cuando x = ( ) no son 0, son raíces de 3x ² -2.

(4) p(x) = x ³ -6x ² +11x-6, x =1,2,3

Dado que los valores de x son 1,2,3

Sustituye x = 1 en p(x)

p(1) = 1 ³ -6(1) ² +11(1)-6

= 1 -6 +11 -6

= 0

Ahora, sustituya x= 2 en p(x)

p(2) = 2 ³ -6(2) ² +11(2)-6

= 8 -6(4) +22 – 6

= 8 -24 +22 – 6

= 0

Ahora, sustituya x= 3 en p(x)

p(3) = 3 ³ -6(3) ² +11(3)-6

= 27 – 6(9) +33-6

= 27-54+33-6

= 0

Como el resultado es 0 para x=1,2,3 estas son raíces de x ³ -6x ² +11x-6

(5) f(x) = 5x – π

Dado que, x = 4/5

Sustituye el valor de x en f(x)

f(4/5) = 5(4/5) – π

= 4 – π

≠ 0

Como el resultado no es igual a cero, x=4/5 no es la raíz cuadrada del polinomio 5x – π

(6) f(x) = ^x2

Dado que, x = 0

Sustituye el valor de x en f(x)

f(0) = (0) ²

= 0

Como el resultado es cero, x=0 es la raíz de x ²

(7) f(x) = lx +m

Dado, x = -m/l

Sustituye el valor de x en f(x)

f(-m/l)= l(-m/l) + m

= -m + m

= 0

Como el resultado es 0, x = -m/l es la raíz de lx+m

(8) f(x) = 2x+1

Dado, x = 1/2

Sustituye el valor de x en f(x)

f(1/2) = 2(1/2) +1

= 1 + 1

= 2

=2 ≠ 0

Como el resultado no es igual a 0, x=1/2 es la raíz 2x+1

Pregunta 3. Si x=2 es una raíz del polinomio f(x)=2x ² -3x+7a, encuentra el valor de a.

Solución:

Sabemos que, f(x) = 2x ² – 3x +7a

Dado que x = 2 es la raíz de f(x)

Sustituye el valor de x en f(x)

f(2) = 2(2) ² -3(2)+7a

= 2(4) -6 +7a

= 8 – 6 + 7a

= 2 +7a

Ahora iguala 7a+2 a cero

⇒ 7a + 2 =0

⇒ a = -2/7

El valor de a = -2/7

Pregunta 4. Si x=-1/2 es cero del polinomio p(x)=8x ³ -ax ² -x+2, encuentra el valor de a.

Solución:

Sabemos que, p(x)=8x ³ -ax ² -x+2

Dado, x=-1/2

Sustituye el valor de x en f(x)

p(-1/2) = 8(-1/2) ³ -a(-1/2) ² -(-1/2)+2

= 8(-1/8) – un(1/4) +1/2+2

= -1 – (a/4) + 5/4

= 3/2 – un/4

Para encontrar el valor de a, igualar p(-1/2) a cero

p(-1/2) = 0

3/2 – a/2 = 0

Al tomar LCM

(6-a)/4 = 0

6-a = 0

un = 6

Pregunta 5. Si x=0 y x=-1 son las raíces del polinomio f(x)=2x ³ -3x ² +ax+b, encuentra el valor de a y b.

Solución:

Sabemos que, f(x) = 2x ³ – 3x ² +ax +b

Dado x = 0, -1

Sustituye el valor de x = 0 en f(x)

f(0) = 2(0) ³ – 3(0) ² +a(0)+b

= b —————— 1

Sustituye el valor de x = -1 en f(x)

f(-1) = 2(-1) ³ -3(-1) ² +a(-1)+b

= -2 -3 -a +b

= -5 -a +b —————– 2

Necesitamos igualar las ecuaciones 1 y 2 a cero

b = 0 y -5-a+b=0

Valor de sustitución de b en la ecuación 2

⇒ -5-a+0 = 0

⇒ a = -5

Los valores de a y b son -5, 0 respectivamente.

Pregunta 6. Encuentra las raíces integrales del polinomio f(x)=x ³ +6x ² +11x+6

Solución:

Dado:

f(x) = x3 ⁺ 6×2 ⁺ 11x +6

Podemos decir que, el polinomio f(x) con un coeficiente entero y el coeficiente del término de mayor grado, que se conoce como factor principal es 1.

Entonces, las raíces de f(x) están limitadas al factor entero de 6, son .

Sea, x=-1

Sustituye el valor de x en f(x)

f(-1)=(-1) ³ +6(-1) ² +11(-1)+6

= -1 +6 -11 +6

= -12 +12

= 0

sea, x = -2

f(-2)=(-2) ³ +6(-2) ² +11(-2)+6

= 8 + 6*4 – 22+6

= 8 +24 – 22+6

= 0

sea, x = -3

f(-3)=(-3) ³ +6(-3) ² +11(-3)+6

= -27 + 6(9) – 33 +6

= -27 + 54 – 33 +6

= 0

De todos los factores dados, solo -1,-2,-3 da los resultados como cero.

Pregunta 7. Encuentra las raíces racionales del polinomio f(x)=2x ³ +x ² -7x-6

Solución:

Dado: f(x) = 2x ³ +x ² -7x-6

f(x) es un polinomio cúbico con un coeficiente entero. Si la raíz racional en forma de p/q, los valores de p están limitados a factores de 6 que son

Sea, x = -1

f(-1)=2(-1) ³ +(-1) ² -7(-1)-6

= -2 +1 +7 – 6

= -8 +8

= 0

Sea, x = 2

f(2) = 2(2) ³ +(2) ² -7(2)-6

= 2(8) + 4 -14 – 6

= 16 +4 – 14 – 6

= 20 – 20

= 0

Sea, x = -3/2

f(-3/2) = 2(-3/2) ³ +(-3/2)-7(-3/2) – 6

= 2(-27/8) -3/2 +21/4-6

= -27/4 -3/2 +21/4 – 6

= -6,75+2,25+10,5-6

= 12,75 – 12,75

= 0

De todos los factores solo -1, -2 y -3/2 dan el resultado como cero. Entonces, las raíces racionales de 2x ³ +x ² -7x-6 son -1,2 y -3/2