Subconjuntos, Conjuntos Potenciales y Conjuntos Universales

Para entender las cosas correctamente y recordarlas durante mucho tiempo, los seres humanos prefieren mantener la información en grupos o categorías, el mismo tipo de información va en una categoría, de esta manera, la información se ve más ordenada y se vuelve más fácil de recordar. Los conjuntos también se definen de la misma manera. Para mantener los elementos que pertenecen a la misma categoría, se mantienen en un conjunto, de esta manera, en matemáticas, los datos también se pueden organizar de forma ordenada. Sin embargo, los conjuntos no permiten la mención de las cualidades de los elementos. Por ejemplo, todas las chicas de la clase 8 pueden incluirse en un conjunto, pero todas las chicas bonitas de la clase 8 no pueden considerarse un ejemplo de conjunto. Aprendamos sobre conjuntos con más detalle.

Conjuntos

Los conjuntos se definen como la colección bien definida de datos. Los datos presentes en el conjunto se conocen como un elemento, cada elemento que pertenece a un conjunto es diferente del otro pero la categoría a la que pertenecen es siempre la misma, por ejemplo, una bolsa de diferentes tipos de frutas, todos los números naturales, etc. 

Ejemplos de conjuntos:

• {1, 2, 3, 4, 5} ⇢ Ejemplo de conjunto finito.
• {} ⇢ Ejemplo de Conjunto Nulo.
• {a: a es un número impar} ⇢ Ejemplo de conjunto infinito.
• {p} ⇢ Ejemplo de conjunto singleton.

subconjuntos

Si un Conjunto tiene todos sus elementos pertenecientes a otros conjuntos, este conjunto se conocerá como un subconjunto del otro conjunto. Un Subconjunto se denota como “

Si el conjunto A tiene todos sus elementos presentes en el conjunto B y el conjunto B tiene más elementos, entonces el conjunto A es un conjunto propio del conjunto B. El conjunto propio se representa como ‘

Dos conjuntos que tienen el mismo número de elementos nunca pueden ser conjuntos propios entre sí, por lo tanto, un conjunto nunca es un conjunto propio de sí mismo.

Nota: Todos los conjuntos propios son subconjuntos, pero todos los subconjuntos no pueden considerarse conjuntos propios.

Conjuntos de poder

El conjunto potencia se define como el conjunto de todos los subconjuntos posibles del conjunto dado. La definición parece un poco confusa, pero en realidad, los conjuntos de potencia se entienden muy fácilmente. Imagine un conjunto con algunos elementos presentes en ellos, ahora escriba todos los subconjuntos posibles que se pueden escribir para el conjunto en particular, trate los subconjuntos como elementos y colóquelos en un conjunto separado, este conjunto obtenido se llamará como un conjunto de potencia.

Ejemplo de un conjunto de potencia,

Conjunto A = {2,3}

Posibles subconjuntos de A = {}, {2}, {3}, {2, 3}

Conjunto potencia de A = P(A)= {{}, {2}, {3}, {2, 3}}

Nota: si hay ‘n’ número de elementos, entonces el número de elementos presentes en el conjunto de potencia será 2 ⁿ .

Conjunto universal

El conjunto universal es el maestro de todos los conjuntos, es decir, contiene todos los elementos presentes en todos los conjuntos dados. El conjunto universal se representa como U, y se representa como un rectángulo en el diagrama de Venn, todos los demás conjuntos se dibujan dentro del rectángulo, esto se hace para mostrar que el conjunto universal contiene todos los elementos posibles.

Suponga que el conjunto A y el conjunto B son partes de los conjuntos universales,

Conjunto A = {1, 2, 3, 4}

Conjunto B= {2, 4, 5, 6}

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Esto debería verse así en el diagrama de Venn,

Problemas de muestra

Pregunta 1: Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas,

1. Todo conjunto es un subconjunto de sí mismo
2. Si todos los elementos del Conjunto A están presentes en el Conjunto B, el Conjunto B se convierte en el subconjunto del Conjunto A.
3. Un Universal nunca es un subconjunto de ningún otro conjunto.
4. No todos los conjuntos son subconjuntos del conjunto Universal.
5. Un Power Set no incluye un set vacío.

Responder:

1. Verdadero. Todo conjunto se puede denotar como un subconjunto de sí mismo.
2. Falso. El enunciado verdadero debe ser que el conjunto A

Pregunta 2: Explique cuáles de los siguientes conjuntos son los subconjuntos del Conjunto P,

Conjunto P = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17,19}

1. Conjunto A = {a, 1, 0, 2}
2. Conjunto B = {3, 7, 9}
3. Conjunto C = {1, 4, 6, 11}
4. Conjunto D = {19,1}
5. Conjunto E = {9, 13, 15, 17}

Responder:

1. El Conjunto A tiene elementos a, 1, 0, 2 que no están presentes en el Conjunto P. Por lo tanto, el Conjunto A no es un Subconjunto.
2. El conjunto B tiene elementos que están presentes en el conjunto P, por lo tanto, Conjunto B ⊆ Conjunto P
3. El conjunto C tiene 2 elementos adicionales. Por lo tanto, no es un subconjunto de P
4. El conjunto D tiene 1, 19 como elemento. Por lo tanto, Conjunto D ⊆ Conjunto P
5. El conjunto E tiene todos sus elementos que coinciden con los elementos del conjunto P. Por lo tanto, Conjunto E ⊆ Conjunto P.

Cualquier cosa que hable de calidad o característica de los elementos, como lo bueno, lo malo, no se puede poner en un conjunto. Por ejemplo, «todos los buenos jugadores de fútbol» Esta declaración no se puede poner en un conjunto, o «todos los estudiantes que se desempeñaron mal en la clase» no se pueden poner en un conjunto.

Si un conjunto A tiene todos sus elementos presentes en el conjunto B, entonces se puede decir que el conjunto A

Pregunta 6: Representa la información dada a continuación en el diagrama de Venn,

U= {1, 3, 5, 6, 7, 9,11, 13, 15}

Conjunto A= {1, 3,5}

Conjunto B= {5, 7, 9}

Responder:

Los conjuntos A y B tienen todos sus elementos presentes en U, por tanto, U es claramente el conjunto universal del conjunto A y B.

El conjunto A y el conjunto B tienen 5 como elemento común entre ellos, según esta información, el diagrama de Venn se puede dibujar fácilmente