Una secuencia es un arreglo de cualquier cosa o un grupo de números en un cierto orden que sigue una regla. Básicamente, es un conjunto de números (o elementos) que siguen un patrón específico. Por ejemplo, 5, 10, 15, 20…. es una secuencia ya que cada vez que el valor se incrementa en 5. Si los elementos de la secuencia están en orden ascendente, el orden de la secuencia es ascendente. Si los elementos de la secuencia están en orden decreciente, el orden de la secuencia es decreciente. La secuencia aritmética, la secuencia geométrica, la secuencia de Fibonacci, la secuencia armónica, la secuencia numérica triangular, la secuencia numérica cuadrada y la secuencia numérica cúbica son algunos ejemplos de secuencias específicas.
Secuencia aritmética
Una secuencia aritmética es una serie de números en la que cada término subsiguiente es la suma de su término anterior y un número entero constante. Este número constante se conoce como la diferencia común. Como resultado, las diferencias entre cada dos términos sucesivos de una serie aritmética son las mismas.
Si el primer término de una sucesión aritmética es a y la diferencia común es d, entonces los términos de la sucesión aritmética son de la forma:
a, a+d, a+2d, a+ 3d, a+4d, ….
Supongamos que n es el número total de términos en la secuencia.
Para n = 1, la sucesión es a.
Para n = 2, la secuencia es a, a + d.
Para n = 3, la secuencia es a, a + d, a + 2d.
Para n = 4, la secuencia es a, a + d, a + 2d, a + 3d.
Por tanto, el término general de la sucesión es a n = a + (n – 1)d.
Suma de la secuencia aritmética
La fórmula para calcular la suma de todos los términos en una secuencia aritmética se define como la fórmula de la suma de la secuencia aritmética. Si una secuencia aritmética se escribe en forma de suma de sus términos, como a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) + ….., entonces se conoce como serie aritmética. La suma de los primeros n términos de una serie aritmética en la que se desconoce el n-ésimo término viene dada por:
S norte = n /2 [2a + (n – 1) d]
dónde,
S n = suma de la sucesión aritmética,
a = primer término de la sucesión,
d = diferencia entre dos términos consecutivos,
n = número de términos en la secuencia.
Si escribimos 2a en la fórmula como (a + a), la fórmula se convierte en S n = n/2 [a + a + (n – 1)d]
Sabemos que a + (n – 1)d se denota por a n . Por lo tanto, la fórmula se convierte en S n = n/2 [a + a n ]
Derivación
Supongamos que el primer término de una sucesión es a, la diferencia común es d y el número de términos es n.
Sabemos que el n -ésimo término de la sucesión está dado por,
un norte = un + ( n – 1)d …… (1)
También la suma de la secuencia aritmética es,
S norte = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + …… + a + (n – 1)d …… (2)
De (1), la ecuación (2) también se puede expresar como,
S norte = un norte + un norte – re + un norte – 2d + un norte – 3d + …… + un norte – ( n – 1)d …… (3)
Sumando (2) y (3) obtenemos,
2 S n = [a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + …… + a + (n – 1)d] + [a n + a n – d + a n – 2d + an – 3d + …… + an – ( n – 1)d]
2 S n = (a + a + a + ….. n veces) + (a n + a n + a n + ….. n veces)
2 S norte = norte (un + un norte )
S norte = n /2 [un + un norte ]
Esto deriva la fórmula para la suma de una secuencia aritmética.
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1. Encuentra la suma de la secuencia aritmética: 4, 10, 16, 22, …… hasta 10 términos.
Solución:
Tenemos, a = 4, d = 10 – 4 = 6 y n = 10.
Use la fórmula S n = n/2 [2a + (n – 1)d] para encontrar la suma requerida.
S 10 = 10/2 [2(4) + (10 – 1)6]
= 5 (8 + 54)
= 5 (62)
= 310
Pregunta 2. Encuentra la suma de la secuencia aritmética: 7, 9, 11, 13, …… hasta 15 términos.
Solución:
Tenemos, a = 7, d = 9 – 7 = 2 y n = 15.
Use la fórmula S n = n/2 [2a + (n – 1)d] para encontrar la suma requerida.
S 15 = 15/2 [2(7) + (15 – 1)2]
= 15/2 (14 + 28)
= 15/2 (42)
= 315
Pregunta 3. Encuentra el primer término de una secuencia aritmética si tiene una suma de 240 para una diferencia común de 2 entre 12 términos.
Solución:
Tenemos, S = 200, d = 2 y n = 12.
Use la fórmula S n = n/2 [2a + (n – 1)d] para encontrar el valor requerido.
=> 200 = 12/2 [2a + (12 – 1)2]
=> 240 = 6 (2a + 22)
=> 40 = 2a + 22
=> 2a = 18
=> un = 9
Pregunta 4. Encuentra la diferencia común de una secuencia aritmética de 8 términos que tienen una suma de 116 y el primer término es 4.
Solución:
Tenemos, S = 116, a = 4, n = 8.
Use la fórmula S n = n/2 [2a + (n – 1)d] para encontrar el valor requerido.
=> 116 = 8/2 [2(4) + (8 – 1)d]
=> 116 = 4 (8 + 7d)
=> 29 = 8 + 7d
=> 7d = 21
=> re = 3
Pregunta 5. Encuentra la suma de una secuencia aritmética de 8 términos con el primer y último término como 4 y 10 respectivamente.
Solución:
Tenemos, a = 4, n = 8 y a n = 10.
Usa la fórmula S n = n/2 [a + a n ] para encontrar la suma requerida.
S 8 = 8/2 [4 + 10]
= 4 (14)
= 56
Pregunta 6. Encuentra el número de términos de una sucesión aritmética con el primer término, el último término y la suma como 16, 12 y 140 respectivamente.
Solución:
Tenemos, S = 140, a = 16 y a n = 12.
Usa la fórmula S n = n/2 [a + a n ] para encontrar el valor requerido.
=> 140 = n/2 [16 + 12]
=> 140 = n/2 (28)
=> 14n = 140
=> norte = 10
Pregunta 7. Encuentra la suma de una secuencia aritmética con el primer término, la diferencia común y el último término como 8, 7 y 50 respectivamente.
Solución:
Tenemos, a = 8, d = 7 y a n = 50.
Usa la fórmula a n = a + (n – 1)d para encontrar n.
=> 50 = 8 + (n – 1)7
=> 42 = 7 (n – 1)
=> norte – 1 = 6
=> norte = 7
Usa la fórmula S n = n/2 [a + a n ] para encontrar la suma de la secuencia.
S 7 = 7/2 (8 + 50)
= 7/2 (58)
= 203