Un número complejo se compone de un número real y un número imaginario. Suele representarse en la forma z = a + ib, donde a es la parte real yb la parte imaginaria. Aquí, i representa un número de unidad imaginario, cuyo valor es igual a √-1 . Por lo tanto, i = √-1.
Pasos al sumar o restar los números complejos
- Sumar o restar los números complejos es simplemente combinar las partes real e imaginaria de los números complejos y aplicar las operaciones por separado en cada una de las combinaciones.
- Todos los números reales son números complejos con partes imaginarias iguales a cero, pero todos los números complejos no son números reales
- Si los números complejos están en forma polar, primero los convertimos a forma cartesiana y aplicamos las operaciones.
Adición de Números Complejos
Consideremos dos números complejos z 1 = a + ib y z 2 = c + id . Para sumar los números complejos, simplemente combinamos las partes real e imaginaria de los dos números complejos y luego aplicamos la operación de suma. La fórmula para sumar los números complejos está dada por:
z 1 + z 2 = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d)
Si z = z 1 + z 2 , entonces
z = (a + c) + yo (b + d)
Resta de Números Complejos
Dos números complejos z 1 = a + ib y z 2 = c + id se pueden restar combinando las partes real e imaginaria de ambos números complejos y aplicando la operación de resta por separado en cada uno de ellos. La fórmula para restar los números complejos está dada por:
z 1 – z 2 = (a + ib) – (c + id) = (a – c) + i (b – d)
Si z = z 1 – z 2 , entonces
z = (a – c) + yo (b – d)
Propiedades de Sumar o Restar Números Complejos
- Propiedad de clausura: Los números complejos formados después de sumar o restar números complejos también son números complejos.
- Propiedad asociativa: esta propiedad se cumple solo para la suma de números complejos. Es decir, para cualesquiera tres números complejos z 1 , z 2 y z 3 , tenemos
(z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 )
- Propiedad conmutativa: esta propiedad se cumple para la suma de dos números complejos. Para cualesquiera dos números complejos z 1 y z 2 , tenemos
z 1 + z 2 = z 2 + z 1
- Propiedad aditiva: Aquí, 0 es la identidad aditiva de los números complejos, ya que
z + 0 = 0 + z
- Inverso aditivo: Para un número complejo z, el inverso aditivo es -z, ya que z + (-z) = 0
Problemas de muestra
Pregunta 1. Encuentra la suma de los dos números complejos z = 3 + 5i y w = 6 – 2i.
Solución:
Dado que los números complejos dados tienen partes reales e imaginarias, podemos combinarlos para encontrar la suma neta de ambos números complejos.
z + w = (3 + 5i) + (6 – 2i) = (3 + 6) + i (5 – 2)
z + w = 9 + 3i
Así, la suma de los números complejos es igual a 9 + 3i.
Pregunta 2. Resta los números complejos z = 2 – 3i y w = -4 + 2i.
Solución:
Como podemos combinar los términos reales e imaginarios de los números complejos y aplicar nuestras operaciones, podemos escribir
z – w = (2 – 3i) – (-4 + 2i) = (2 -(-4)) + i (-3 -2)
z – w = 6 – 5i
Por lo tanto, el resultado es 6 – 5i .
Pregunta 3. Dados los números complejos z 1 = 3 + 2i, z 2 = 5 – 3i y z 3 = 1 + 2i, encuentra el valor de z 1 + z 2 – z 3 .
Solución:
Dados los tres números complejos z 1 = 3 + 2i, z 2 = 5 – 3i y z 3 = 1 + 2i, podemos aplicar la propiedad asociativa de los números complejos para encontrar el resultado.
Así, podemos escribir,
z 1 + z 2 – z 3 = (z 1 + z 2 ) – z 3 = ((3 + 2i) + (5 – 3i)) – (1 + 2i)
z1 + z2 – z3 = ( 8 – i) – ( 1 + 2i) = (8 – 1) + i(-1 – 2)
z1 + z2 – z3 = 7 – 3i
Entonces, la respuesta es 7 – 3i.
Pregunta 4. Dados los dos números complejos z y v, donde z = 6 + 9i. Si la suma de los dos números complejos es el doble del valor cuando se resta v de z, encuentre el valor de v.
Solución:
Dado, el número complejo z = 5 + 2i.
Según la pregunta,
z + v = 2 (z – v)
z + v = 2z – 2v
3v = z
v = z/3
Poniendo el valor de z = 6 + 9i, obtenemos
v = (6 + 9i)/3 = 6/3 + i (9/3) = 2 + 3i
v = 2 + 3i