Las medidas de tendencia central son los métodos para obtener los valores numéricos que se utilizan para representar una gran colección de datos numéricos. Estos valores numéricos obtenidos se denominan valores centrales o medios . Un valor central o promedio de cualquier dato estadístico o serie es el valor de esa variable que es representativa de todos los datos o su distribución de frecuencia asociada. Este valor es de gran importancia porque representa la naturaleza o las características de todos los datos, que de otro modo serían muy difíciles de observar.
Algunas de las medidas de tendencia central más utilizadas son:
- Media aritmética (AM)
- Media geométrica (GM)
- Media armónica (HM)
- Mediana
- Modo
Sin embargo, para la clase 9 (CBSE) estudiaremos solo la media aritmética , la mediana y la moda para datos sin procesar (sin agrupar).
Media aritmética (Media)
( i ) Para datos individuales o no agrupados : la media aritmética (X’) se define como la suma de las observaciones individuales (xi ) dividida por el número total de observaciones N.
X’ = (∑ x i ) ÷ N
Ejemplo: si hay 5 observaciones, que son 27, 11, 17, 19, 21, entonces la media aritmética (X’) viene dada por
X = (27 + 11 + 17 + 19 + 21) ÷ 5
X = 95 ÷ 5
X = 19
(ii) Para datos agrupados o método directo: la media aritmética (X’) se define como la suma del producto de las observaciones (x i ) y sus correspondientes frecuencias (f i ) dividida por la suma de todas las frecuencias (f i ) .
X’ = (∑ x yo × f yo ) ÷ (∑f yo )
Ejemplo: Si los valores (x i ) de las observaciones y sus frecuencias (f i ) se dan de la siguiente manera:
|
x yo : |
4 |
6 |
15 |
10 |
9 |
|---|---|---|---|---|---|
|
yo : _ |
5 |
10 |
8 |
7 |
10 |
entonces la media aritmética (X’) de la distribución anterior está dada por
X’ = (4×5 + 6×10 + 15×8 + 10×7 + 9×10) ÷ (5 + 10 + 8 + 7 + 10)
X’ = (20 + 60 + 120 + 70 + 90) ÷ 40
X’ = 360 ÷ 40
X’ = 9
Propiedades de la media aritmética
- No se puede calcular gráficamente.
- La suma algebraica de las desviaciones de la media aritmética es cero; ∑ (x yo – X’) = 0 .
- Si X es la media aritmética de las observaciones y se suma a cada una de las observaciones, entonces la nueva media aritmética viene dada por X’ = X + a .
- Si X es la media aritmética de las observaciones y se resta a a cada una de las observaciones, entonces la nueva media aritmética viene dada por X’ = X − a .
- Si X es la media aritmética de las observaciones y a se multiplica por cada una de las observaciones, entonces la nueva media aritmética viene dada por X’ = X × a .
- Si X es la media aritmética de las observaciones y cada una de las observaciones se divide por a , entonces la nueva media aritmética viene dada por X’ = X ÷ a .
Mediana
La Mediana de cualquier distribución es el valor que divide la distribución en dos partes iguales de manera que el número de observaciones por encima es igual al número de observaciones por debajo. Para calcular la Mediana , las observaciones deben ordenarse de forma ascendente o descendente. Si el número total de observaciones es N, entonces
(i) Mediana = Valor de la observación en [(n + 1) ÷ 2] ésima posición; si N es impar .
(ii) Mediana = Media aritmética de los Valores de las observaciones en (n ÷ 2) ésima y [(n ÷ 2) + 1] ésima posición; si N es par .
Ejemplo 1: si las observaciones son 25, 36, 31, 23, 22, 26, 38, 28, 20, 32, la mediana viene dada por
Organizar los datos en orden ascendente: 20, 22, 23, 25, , , 31, 32, 36, 38
N = 10 que es incluso entonces
Mediana = Media aritmética de los valores en (10 ÷ 2) y [(10 ÷ 2) + 1] posición
Mediana = (Valor en la 5.ª posición + Valor en la 6.ª posición) ÷ 2
Mediana = (26 + 28) ÷ 2
mediana = 27
Ejemplo 2: si las observaciones son 25, 36, 31, 23, 22, 26, 38, 28, 20, la mediana viene dada por
Ordenando los datos en orden ascendente: 20, 22, 23, 25, , 28, 31, 36, 38
N = 9 que es impar entonces
Mediana = Valor en [(9 + 1) ÷ 2]ª posición
Mediana = Valor en la quinta posición
mediana = 26
Propiedades de la mediana
- Se puede calcular gráficamente.
- No se ve afectado por los valores extremos, es decir, valores máximos o mínimos en los datos.
Modo
La Moda es el valor de esa observación que tiene una frecuencia máxima que le corresponde. Se calcula simplemente inspeccionando los datos desagrupados dados.
Ejemplo: si las observaciones son 5, 3, 4, 3, 7, 3, 5, 4, 3, entonces la moda viene dada por
|
X yo |
5 |
3 |
4 |
7 |
|---|---|---|---|---|
|
yo _ |
2 |
4 |
2 |
1 |
Dado que 3 ha ocurrido un número máximo de veces, es decir, 4 veces en los datos dados;
Por lo tanto Moda = 3
Propiedades del modo
- También se puede calcular gráficamente.
- Tampoco se ve afectado por los valores extremos, es decir, valores máximos o mínimos en los datos.
notas
- Para Distribuciones Simétricas ( Media = Mediana = Moda )
- Para distribuciones asimétricas o moderadamente simétricas ( moda + 2 × media = 3 × mediana)