El teorema de Bayes o regla de Bayes lleva el nombre del reverendo Thomas Bayes . Describe la probabilidad de un evento, con base en el conocimiento previo de las condiciones que podrían estar relacionadas con ese evento. También se puede considerar para ejemplos de probabilidad condicional. Por ejemplo: Hay 3 bolsas, cada una contiene algunas canicas blancas y algunas canicas negras en cada bolsa. Si se extrae una canica blanca al azar. Con probabilidad de encontrar que esta canica blanca es de la primera bolsa. En casos como estos, usamos el Teorema de Bayes. Se utiliza cuando la probabilidad de ocurrencia de un evento en particular se calcula en base a otras condiciones que también se denominan probabilidad condicional. Entonces, antes de entrar en detalles, analicemos brevemente el teorema de la probabilidad total..
Teorema de la probabilidad total
Sean E 1 , E 2 ,…………..E n eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos asociados con un experimento aleatorio y sea E un evento que ocurre con algún E i . Entonces, prueba que
PAGS(mi) = norte ∑ yo=1 PAGS(mi/mi yo ) . P(E j )
Prueba:
Sea S el espacio muestral. Después,
S = mi 1 ∪ mi 2 ∪ mi 3 ∪…………………… ∪ En y mi i ∩ mi j = ∅ para i ≠ j.
Por lo tanto, E = E∩S = E ∩ (E 1 ∪ E 2 ∪ E 3 ∪…………………… ∪ E n )
= (mi ∩ mi 1 ) ∪ (mi ∩ mi 2 ) ∪ ……∪ (mi ∩ mi norte )
=> PAGS(E) = PAGS{(E ∩ E 1 ) ∪ (E ∩ E 2 )∪……∪(E ∩ E n )}
= P(E ∩ E 1 ) + P(E ∩ E 2 ) + …… + P(E ∩ E n )
= {Por lo tanto, (E ∩ E 1 ), (E ∩ E 2 ),………….,(E ∩ E n )} son pares disjuntos}
= P(E/E 1 ) . P(E 1 ) + P(E/E 2 ) . P(E 2 ) +……………………+ P(E/E n ) . P(E n ) [por el teorema de la multiplicación]
= norte ∑ yo=1 PAGS (E/E yo ) . P( Ei )
Ejemplos
Ejemplo 1: Una persona ha realizado un trabajo. Las probabilidades de terminar el trabajo a tiempo con y sin lluvia son 0.44 y 0.95 respectivamente. Si la probabilidad de que llueva es de 0.45, determine la probabilidad de que el trabajo se complete a tiempo.
Solución:
Sea E1 el evento de que el trabajo de minería se completará a tiempo y E2 el evento de que llueva. Tenemos,
P(A) = 0,45,
P(sin lluvia) = P(B) = 1 − P(A) = 1 − 0,45 = 0,55
Por la ley de probabilidad de la multiplicación,
P(E1) = 0,44
P(E2) = 0,95
Dado que los eventos A y B forman particiones del espacio muestral S, por el teorema de probabilidad total, tenemos
P(E) = P(A) P(E1) + P(B) P(E2)
= 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95
= 0,198 + 0,5225 = 0,7205
Entonces, la probabilidad de que el trabajo se complete a tiempo es 0.684.
Ejemplo 2: Hay tres urnas que contienen 3 bolas blancas y 2 negras; 2 bolas blancas y 3 negras; 1 bola negra y 4 bolas blancas respectivamente. Hay una probabilidad igual de que cada urna sea elegida. Una bola es de igual probabilidad elegida al azar. ¿cual es la probabilidad de sacar una bola blanca?
Solución:
Sean E1, E2 y E3 los eventos de elegir la primera, segunda y tercera urna respectivamente. Después,
P(E1) = P(E2) = P(E3) =1/3
Sea E el evento de que se saque una bola blanca. Después,
P(E/E1) = 3/5, P(E/E2) = 2/5, P(E/E3) = 4/5
Por el teorema de la probabilidad total, tenemos
P(E) = P(E/E1) . P(E1) + P(E/E2) . P(E2) + P(E/E3) . P(E3)
= (3/5 * 1/3) + (2/5 * 1/3) + (4/5 * 1/3)
= 9/15 = 3/5
Declaración del teorema de Bayes
Sean E 1 , E 2 , E 3 ,………, E n eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos asociados con un experimento aleatorio, y sea E un evento que ocurre con algún E i . Después,
PAGS(E|E yo ) = PAGS(E|E yo ) . PAGS(mi yo )/ norte ∑ yo=1 PAGS (mi|mi yo ) . P( Ei )
Donde i = 1, 2, 3, 4…….., n
Prueba:
Por el teorema de la probabilidad total, tenemos
PAGS(mi) = norte ∑ yo=1 PAGS(mi|mi yo ) . P(E i ) …………………………….(i)
Por lo tanto, P(E|E i ) = P(E ∩ E i )/P(E) [por el teorema de la multiplicación]
= P(E|E yo ) . P(E i )/P(E) [Por lo tanto, P(E/E i ) = P(E ∩ E i )/P(E i )]
= P(E|E yo ) . PAGS(mi yo )/ norte ∑ yo=1 PAGS (mi|mi yo ) . P(E i ) [Usando (i)]
Por lo tanto, P(E|E i ) = P(E|E i ) . PAGS(mi yo )/ norte ∑ yo=1 PAGS (mi|mi yo ) . P( Ei )
Fórmula del teorema de Bayes
Consideremos E y Ei como dos eventos, por lo que la fórmula del teorema de Bayes es:
P(E yo |E) = P(E ∩ E yo )/P(E)
Aquí,
P(E i |E) está en probabilidad condicional cuando el evento E i ocurre antes que el evento E.
P(E ∩ E i ) es la probabilidad del evento E y del evento E i .
P(E) como la probabilidad de E.
Derivación del teorema de Bayes
Como sabemos, el teorema de Bayes se puede derivar de eventos y variables aleatorias por separado con la ayuda de la probabilidad condicional y la densidad. Según la probabilidad condicional, asumimos que hay dos eventos T y Q asociados con el mismo experimento rab = ndom. Entonces, la probabilidad de ocurrencia de T bajo la condición de que Q ya haya ocurrido y P(Q)≠0 se llama probabilidad condicional, denotada por P(T/Q). Así que finalmente lo definimos como
P(T|Q) = P(T ⋂ Q)/P(Q), donde P(Q) ≠ 0
P(Q|T) = P(Q ⋂ T)/P(T), donde P(T) ≠ 0
Del mismo modo, si la distribución condicional de J dado G está en una distribución continua, entonces su función de probabilidad de densidad se conoce como función de densidad condicional. El teorema de Bayes puede derivar estas dos variables aleatorias continuas, a saber, F y G, como se indica a continuación:
ƒ J|G = g(j) = ƒ J,G (j,g) /ƒ G(g)
ƒ J|G = j(g) = ƒ J,G (j,g) /ƒ J(j)
ƒ J|G = g(j) = ƒ G|J=j(g) ƒJ(j) ƒG(g)
Ejemplos del teorema de Bayes
Ejemplo 1: Se pierde una carta de un paquete de 52 cartas. De las cartas restantes del paquete, se extraen dos cartas y se descubre que ambas son corazones. encontrar la probabilidad de que la carta perdida sea un corazón?
Solución:
Sean E 1 , E 2 , E 3 y E 4 los eventos de perder una carta de corazones, tréboles, picas y diamantes respectivamente.
Entonces P(E 1 ) = P(E 2 ) = P(E 3 ) = P(E 4 ) = 13/52 = 1/4.
Sea E el evento de sacar 2 corazones de las 51 cartas restantes. Después,
P(E|E 1 ) = probabilidad de sacar 2 corazones, dado que falta una carta de corazones
= 12 C 2 / 51 C 2 = (12 * 11)/2! * 2!/(51 * 50) = 22/425
P(E|E 2 ) = probabilidad de sacar 2 tréboles, dado que falta una carta de tréboles
= 13 C 2 / 51 C 2 = (13 * 12)/2! * 2!/(51 * 50) = 26/425
P(E|E 3 ) = probabilidad de sacar 2 picas dado que falta una carta de corazones
= 13 C 2 / 51 C 2 = 26/425
P(E|E 4 ) = probabilidad de sacar 2 diamantes, dado que falta una carta de diamantes
= 13 C 2 / 51 C 2 = 26/425
Por lo tanto,
P(E 1 |E) = probabilidad de que la carta perdida sea un corazón, dado que los 2 corazones se extraen de las 51 cartas restantes
= PAG(E 1 ) . P(E|E 1 )/P(E 1 ) . PAG(E|MI 1 ) + PAG(E 2 ) . PAG(E|MI 2 ) + PAG(E 3 ) . PAG(E|MI 3 ) + PAG(E 4 ) . P(E|E 4 )
= (1/4 * 22/425) / {(1/4 * 22/425) + (1/4 * 26/425) + (1/4 * 26/425) + (1/4 * 26/425 )}
= 22/100 = 0,22
Por lo tanto, la probabilidad requerida es 0.22.
Ejemplo 2: Supongamos que 15 hombres de 300 hombres y 25 mujeres de 1000 son buenos oradores. Se elige un orador al azar. Encuentre la probabilidad de que una persona masculina sea seleccionada. ¿Suponga que hay igual número de hombres y mujeres?
Solución:
Que haya 1000 hombres y 1000 mujeres.
Sean E 1 y E 2 los eventos de elegir un hombre y una mujer respectivamente. Después,
P(E 1 ) = 1000/2000 = 1/2 , y P(E 2 ) = 1000/2000 = 1/2
Sea E el evento de elegir un orador. Después,
P(E|E 1 ) = 50/1000 = 1/20, y P(E|E 2 ) = 25/1000 = 1/40
Probabilidad de seleccionar a una persona del sexo masculino, dado que la persona seleccionada es un buen orador
P(E 1 /E) = P(E|E 1 ) * P(E 1 )/ P(E|E 1 ) * P(E 1 ) + P(E|E 2 ) * P(E 2 )
= (1/2 * 1/20) /{(1/2 * 1/20) + (1/2 * 1/40)}
= 2/3
Por lo tanto, la probabilidad requerida es 2/3.
Ejemplo 3: Se sabe que un hombre dice mentiras 1 de cada 4 veces. Lanza un dado e informa que es un seis. ¿Encuentra la probabilidad de que en realidad sea un seis?
Solución:
En una tirada de dado, deja
E 1 = evento de obtener un seis,
E 2 = evento de no sacar un seis y
E = evento que el hombre reporta que es un seis.
Entonces, P(E 1 ) = 1/6, y P(E 2 ) = (1 – 1/6) = 5/6
P(E|E 1 ) = probabilidad de que el hombre informe que seis ocurren cuando en realidad han ocurrido seis
= probabilidad de que el hombre diga la verdad
= 3/4
P(E|E 2 ) = probabilidad de que el hombre informe que seis ocurren cuando seis en realidad no han ocurrido
= probabilidad de que el hombre no diga la verdad
= (1 – 3/4) = 1/4
Probabilidad de obtener un seis, dado que el hombre informa que es seis
P(E 1 |E) = P(E|E 1 ) * P(E 1 )/P(E|E 1 ) * P(E 1 ) + P(E|E 2 ) * P(E 2 ) [ por el teorema de Bayes]
= (3/4 * 1/6)/{(3/4 * 1/6) + (1/4 * 5/6)}
= (1/8 * 3) = 3/8
Por lo tanto, la probabilidad requerida es 3/8.