La probabilidad se refiere a la extensión de la ocurrencia de eventos. Cuando ocurre un evento como lanzar una pelota, sacar una carta del mazo, etc., entonces debe haber alguna probabilidad asociada con ese evento. En términos matemáticos, la probabilidad se refiere a la relación entre los resultados deseados y el número total de resultados posibles. La probabilidad de ocurrencia simultánea de dos eventos A y B es igual al producto de la probabilidad del otro, dado que ha ocurrido el primero. Esto se llama el teorema de probabilidad de la multiplicación.
los teoremas
Teorema 1: Si A y B son dos eventos asociados con un experimento aleatorio, entonces
P(A ∩ B) = P(A)P(B/A) si P(A) ≠ 0
o, P(A ∩ B) = P(B)P(A/B) si P(B) ≠ 0
Prueba:
Sea S el espacio muestral asociado con el experimento aleatorio dado. Supongamos que S contiene n eventos elementales. Sean m1,m2 y m el número de eventos elementales favorables a A,B y A ∩ B respectivamente, Entonces,
P(A) = m 1 /n, P(B) = m 2 /n y P(A∩B) = m/n
Dado que m1 eventos elementales son favorables a A de los cuales m son favorables a B. Por lo tanto, P(B/A) = m/m 1 . De manera similar, tenemos P(A/B) = m/m 2 .
Ahora, P(A ∩ B) = m/n
o, P(A ∩ B) = m/m 1 × m 1 /n = P(B/A) × P(A) … (i)
De nuevo, P(A ∩ B) = m/n
o, P(A ∩ B) = m/m 2 × m 2 /n = P(A/B) × P(B) …(ii)
Nota 1:
De (i) y (ii) en el teorema anterior, obtenemos que
P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A) y P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
Demostrar que: Para P(B) > 0, P(A/B) ≤ P(A)
Prueba:
n( A ∩ B) ≤ n(A) y n(B) ≤ n(S)
Dividiendo, obtenemos n( A ∩ B) / n(B) ≤ n(A)/ n(S)
=> P(A/B) ≤ P(A)
Nota 2:
(i) La probabilidad condicional P(A/B) no está definida si P(B) = 0.
(ii) P(B / B) = 1
Observación: si A y B son eventos independientes, entonces
P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B)
∴ P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Teorema 2: ( Ampliación del teorema de la multiplicación ). Si A 1 , A 2 , …, A n son n eventos asociados con un experimento aleatorio, entonces
P(A 1 ∩ A 2 ∩ … ∩ A n ) = P(A 1 ) P(A 2 / A 1 ) P(A 3 / A 1 ∩ A 2 ) … × P(A n / A 1 ∩ A 2 ∩ … ∩ A n-1 )
donde P(A i / A 1 ∩ A 2 ∩ … ∩ A i-1 ) representa la probabilidad condicional de ocurrencia del evento A i , dado que los eventos A 1 , A 2 , …, A i-1 ya han ocurrido .
Caso Particular: Si A, B, C son tres eventos asociados a un experimento aleatorio, entonces
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B/A) P(C/A ∩ B)
Teorema 3: (Teorema de probabilidad de multiplicación para eventos independientes) Si A y B son dos eventos con probabilidades positivas ( P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0), entonces A y B son independientes si y solo si
PAGS(A ∩ B) = PAGS(A) . P(B)
Prueba:
Tenemos: P(A ∩ B) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B); PAG(A) ≠ 0 . . . (i)
Si A y B son independientes, es decir, A es independiente de B y B es independiente de A, entonces tenemos
P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B) . . . (ii)
De (i) y (ii), obtenemos: P(A ∩ B) = P(A) P(B) , como se requiere.
Ejemplos
Ejemplo 1: ¿Encuentre la probabilidad de sacar una carta de diamante en cada uno de los dos sorteos consecutivos de un paquete de cartas bien barajado, si la carta extraída no se reemplaza después del primer sorteo?
Solución:
Sea A el evento de sacar una carta de diamante en el primer sorteo y B el evento de sacar una carta de diamante en el segundo sorteo. Después,
P(A) = 13 C 1 / 52 C 1 = 13/52 = 1/4
Después de robar una carta de diamantes en el primer sorteo, quedan 51 cartas, de las cuales 12 cartas son cartas de diamantes.
∴ P(B/A) = Probabilidad de sacar una carta de diamantes en el segundo sorteo cuando ya se ha sacado una carta de diamantes en el primer sorteo
P(B/A) = 12 C 1 / 51 C 1 = 12/51 = 4/17
Probabilidad requerida = P(A ∩ B) = P(A) P(B/A) = 1/4 × 4/17 = 1/17
Ejemplo 2: Una bolsa contiene 19 boletos, numerados del 1 al 19. Se sortea un boleto y luego otro boleto sin reposición. Encuentre la probabilidad de que ambos boletos muestren números pares.
Solución:
Sea A el evento de sacar un boleto par en el primer sorteo y B el evento de sacar un boleto par en el segundo sorteo. Después,
Probabilidad requerida = P(A ∩ B) = P(A) P(B/A) … (i)
Dado que hay 19 boletos, numerados del 1 al 19, en la bolsa, de los cuales 9 son pares, a saber. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18.
∴ P(A) = 9/19
Dado que el boleto extraído en el primer sorteo no se reemplaza, por lo tanto, el segundo boleto extraído es de los 18 boletos restantes, de los cuales 8 son pares.
∴ P(B/A) = 8/18 = 4/9
Sustituyendo estos valores en (i), obtenemos
Probabilidad requerida = P(A ∩ B) = P(A) P(B/A) = 9/19 × 4/9 = 4/19
Ejemplo 3: Es 8:5 contra la esposa que tiene 40 años y vive hasta los 70 y 4:3 contra su esposo que ahora tiene 50 y vive hasta los 80. Halla la probabilidad de que
(i) Ambos estarán vivos,
(ii) Ninguno estará vivo,
(iii) Sólo la esposa estará viva,
(iv) Sólo el esposo estará vivo
Solución:
Definamos los eventos:
R: La esposa estará viva,
B: El marido estará vivo.
Entonces, se nos da:
P(A) = 5/(8 + 5) = 5/13 => P(A’) = 1 – P(A) = 8/13
P(B) = 3/(4 + 3) = 3/7 => P(B’) = 1 – P(B) = 4/7
Si asumimos que A y B son independientes por lo que A y B’, A’ y B’ también lo son, entonces las probabilidades requeridas están dadas por:
(i) P(A ∩ B) = P(A)P(B) = (5/13) × (3/7) = 15/91
(ii) P(A’ ∩ B’) = P(A’)P(B’) = (8/13) × (4/7) = 32/91
(iii) P(A ∩ B’) = P(A) – P(A ∩ B) = (5/13) – (15/91) = 20/91
(iv) P(A’ ∩ B) = P(B) – P(A ∩ B) = (3/7) – (15/91) = 24/91
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por parkrijimin y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA