En matemáticas, hay situaciones en las que tratamos de representar un problema en forma de símbolos matemáticos y expresiones matemáticas. Para este propósito, usamos variables como x, y, z y operaciones matemáticas como suma, resta, multiplicación y división para formar una expresión matemática significativa. El álgebra se utiliza en todas las ramas de las matemáticas, como la trigonometría, el cálculo, la geometría de coordenadas y la geometría elemental. Estos se utilizan además para formar ecuaciones matemáticas. Un ejemplo simple de una expresión en álgebra es 2x + 4 = 8.
El álgebra trata con símbolos y estos símbolos se relacionan entre sí con la ayuda de operadores. Los operadores se usan para describir una relación entre los operandos, esto se usa no solo para aplicar y resolver las ecuaciones sino también para situaciones de la vida real; a veces usamos álgebra simple en la vida real sin siquiera saberlo. Los polinomios son expresiones algebraicas con variables y constantes en ellos. Todos estos términos se combinan usando operadores matemáticos como suma, resta, multiplicación, etc. La división no se usa en los polinomios
x 2 + 6x +32 es un polinomio.
no es un polinomio.
Grado de un polinomio
El valor exponencial más alto de la variable en el polinomio dado se llama el grado del polinomio. La siguiente tabla ilustra esto.
| Tipo de polinomio | La licenciatura | Ejemplo |
| Constante | 0 | 23 |
| Lineal | 1 | x + 69 |
| Cuadrático | 2 | x2 + 45x + 3 |
| Cúbico | 3 | x 3 + 4x 2 + 54x + 2 |
Teorema del factor
El teorema del factor tiene un propósito único en la forma en que al usarlo podemos encontrar los factores del polinomio dado y luego encontrar sus raíces. Supongamos que existe un polinomio f(x) de grado n mayor o igual a 1, y ‘a’ es cualquier número real, entonces (x – a) es un factor de f(x) si f(a) = 0. En otras palabras, podemos decir que (x – a) es un factor de f(x) si f(a) = 0. La fórmula del teorema del factor es,
g(y) = (y – a)q(a)
Prueba del teorema del factor
Considere un polinomio p(x) que se divide por (x – b) solo si p(b) = 0.
El polinomio dado se puede escribir como,
Dividendo = (Divisor × Cociente) + Resto
Usando el algoritmo de la división,
⟹ p(x) = (x – b) q(x) + resto. Aquí, p(x) es el dividendo, (x – b) es el divisor y q(x) es el cociente.
Del teorema del resto,
p(x) = (x – b) q(x) + p(b).
Supongamos que p(b) =0.
⟹ p(x) = (p – b) q(x) + 0
⟹ p(x) = (x – b) q(x)
Así, podemos decir que (x – b) es un factor del polinomio p(x).
Aquí podemos ver que el teorema del factor es en realidad el resultado del teorema del resto, que establece que un polinomio (x) tiene un factor (x – a), si y solo si, a es una raíz, es decir, p(b) = 0.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Suponga que un polinomio f(x) = x 2 – 5x + 6. Si x = 2 es una raíz, demuestre que x – 2 es un factor.
Solución:
f(x) = x2 – 5x + 6.
Ahora aplicando el teorema del factor.
(x – a) es un factor de f(x) si f(a) = 0.
f(2) = 4 – 10 + 6 = 0
x – 2 es un factor de f(x).
Pregunta 2: Suponga que un polinomio f(x) = x 3 + 3x 2 – 6x – 18. Si x = -3 es una raíz, demuestre que x + 3 es un factor.
Solución:
f(x) = x3 + 3×2 – 6x – 18.
Ahora aplicando el teorema del factor.
(x – a) es un factor de f(x) si f(a) = 0.
f(-3) = -27 + 27 + 18 – 18 = 0
x + 3 es un factor de f(x).
Pregunta 3: Suponga que un polinomio f(x) = 2x 2 + 5x – 7. Si x = 1 es una raíz, demuestre que x – 1 es un factor.
Solución:
f(x) = 2x 2 + 5x – 7.
Ahora aplicando el teorema del factor.
(x – a) es un factor de f(x) si f(a) = 0.
f(2) = 2 + 5 – 7 = 0
x – 2 es un factor de f(x).
Pregunta 4: Demuestre que x = 2 es una raíz de p(x) = x 2 – 9x + 14. Se sabe que x – 2 es un factor.
Solución:
p(x) = x2 – 9x + 14.
Ahora aplicando el teorema del factor.
(x – a) es un factor de p(x) si p(a) = 0.
p(2) = 4 – 18 + 14 = 0
x – 2 es un factor de f(x) [Dado]
Esto significa que si a es una raíz entonces x – a es factor de p(x).
Pregunta 5: Suponga que un polinomio f(x) = 2x 2 + 5x – 7. Si x = 1 es una raíz, demuestre que x – 1 es un factor.
Solución:
f(x) = 2x 2 + 5x – 7.
Ahora aplicando el teorema del factor.
(x – a) es un factor de f(x) si f(a) = 0.
f(2) = 2 + 5 – 7 = 0
x – 2 es un factor de f(x).
Pregunta 6: Dado un polinomio f(x) = x 2 + 5x + 4. Si x = -1 es una raíz, demuestre que x + 1 es un factor.
Solución:
f(x) = x2 + 5x + 4.
Ahora aplicando el teorema del factor.
(x – a) es un factor de f(x) si f(a) = 0.
f(-1) = 1 – 5 + 4 = 0
x + 1 es un factor de f(x).
Pregunta 7: Dado un polinomio f(x) = x 3 – 2x + 4. Factoriza y encuentra sus raíces.
Solución:
f(x) = x3 – 2x + 4.
Ahora aplicando el teorema del factor.
(x – a) es un factor de f(x) si f(a) = 0.
Y g(y)=(ya)q(a)
Usando esto para factorizar f(x)
f(x) = (x + 2)(x 2 – 2x + 2)
x + 2 es un factor de f(x).
Y x = -2 es una raíz.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por harmansahani100 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA