Teorema del resto – Polinomios | Clase 9 Matemáticas

Polinomio es una expresión algebraica que consta de variable y coeficiente. La variable también se llama a veces indeterminada. Podemos realizar cualquiera de las operaciones usando polinomios ya sea multiplicación, división, resta o suma. Ejemplos de polinomios con una variable son x ² + x – 8, y ³ + y ² – 52, z ² +64 

La palabra polinomio se derivó de la palabra griega ‘ poly ‘ que significa ‘muchos’ y ‘ nominal ‘ que significa ‘términos’, por lo que en conjunto se dice como » muchos términos «. Un polinomio no puede tener infinitos términos. 

Teorema del resto

Sea g(x) un polinomio de grado 1 o mayor que 1 y sea b cualquier número real. Si g(x) se divide por el polinomio lineal x – b, entonces el resto es p(b) . 

Prueba

Sea g(x) un polinomio de grado 1 o mayor que 1. Supongamos que cuando g(x) se divide por (x – b), el cociente es q(x) y el resto es r(x), es decir, 

g(x) = (x – b) q(x) + r(x) ……(1)

Como el grado de x – b es 1 y el de r(x) es menor que el grado de x – b, el grado de r(x) = 0. Esto significa que r(x) es constante. Por lo tanto, podemos escribir la ecuación (1) como 

 g(x) = (x – b) q(x) + r ……(2)

En particular, si x = b, entonces la ecuación (2) se convierte en 

p(b) = (b – b) q(b) + r => r

Ejemplos de problemas sobre el teorema del resto

Problema 1: encuentre el resto cuando g(x) = x ⁴ – x ³ + x ² – 2x + 1 se divide por x – 2.

Solución:

Cero de x – 2 es 2, por lo que según el teorema del resto 

El resto, en este caso, será g(2). 

Asi que, 

g(2) = (2) ⁴ – (2) ³ + (2) ² + 2(2) + 1 = 17

Problema 2: Encuentra la raíz del polinomio x ² – 5x + 4

Solución: 

El enfoque para resolver tales preguntas incluye elegir un número de tal manera que, al usarlo, produzca un residuo cero.

f(x) = x2 ^– 5x + 4 

f(4) = 4 ² – 5(4) + 4 

f(4) = 20 – 20 = 0

Entonces, (x – 4) debe ser un factor de x ² – 5x + 4 

Problema 3: Encuentra el resto cuando t ³ – 2t ² + 4t + 5 se divide por t – 1.

Solución: 

Dado que aquí ya se da que necesitamos encontrar el resto cuando el cociente dado se divide por t – 1. Entonces, en consecuencia, pondremos 1 en lugar de x, para resolver y obtener el resto.

Aquí, p(t) = t ³ – 2t ² + 4t + 5, y el cero de t – 1 es 1

∴ g(1) = (1) ³ – 2(1) ² + 4 + 5 = 8

Por el teorema del resto, 8 es el resto cuando t ³ – 2t ² + 4t + 5 se divide por t – 1

Problema 4: Encuentra el resto cuando x ³ –x ² + 2 se divide por x – 2.

Solución: 

Aquí, pondremos x = 2 en el cociente dado para encontrar el resto

 2 ^ 3 – 2 ^ 2 + 2

= 8 – 4 + 2

= 6

Por el teorema del resto, 6 es el resto cuando x ³ – x ² + 2 se divide por x – 2.

 
Problema 5: ¿Por cuánto se debe dividir x ³ – x ² – 4 para dar 0 como resto?

Solución: 

Usaremos el método Hit & Trial para encontrar la respuesta,

Claramente, poner x = 2, dará cero como resto.

Entonces, esta será la respuesta para obtener un residuo cero en la división por x – 2.