Teorema fundamental de la aritmética

La aritmética es el juego de los números y todos y cada uno de los números se dividen en uno u otro grupo. Por ejemplo: existen números compuestos, números pares, números impares, números primos. Los números primos son uno de los que pueden ser parte de todos y cada uno de los números. Si un número se divide en números más pequeños, los números más pequeños que existen como parte de ese número no son más que números primos.

Números primos

Los números primos son los números que tienen solo y solo 2 factores. Son el 1 y el propio número. Por ejemplo: 2,3,5,7,11,13 y así sucesivamente.

Todos los números naturales se pueden escribir como producto de sus factores primos. Por ejemplo: 24 = 2 × 3 × 2 × 2 o 13 = 13 × 1 y así sucesivamente. ¿Podemos decir que su viceversa también es cierto? ¿Se puede obtener cualquier número natural multiplicando números primos? Esta pregunta se responde con el Teorema fundamental de la aritmética, también conocido como Teorema de factorización en primos únicos. La mayor importancia del teorema fundamental de la aritmética es que habla de la singularidad de la descomposición en factores primos.

Teorema fundamental de la aritmética

Tomemos un conjunto de números primos, por ejemplo, {3, 2, 7}. ¿Cuántos números crees que podemos formar a partir de su multiplicación? 3 × 2 = 6, 3 × 3 × 2 = 18, 7 × 2 = 14 y así sucesivamente. Entonces, podemos decir que se pueden formar infinitos números a partir de estos números primos. Pero, ¿eso prueba que podemos generar todos los números posibles? 

Sí, hay infinitos números primos posibles ya partir de su multiplicación podemos generar infinitos números y ese es el quid del Teorema Fundamental de la Aritmética. Para desarrollar más este concepto, veamos la factorización de un número. 

Supongamos que nos dan un número x = 36. 

La figura de arriba representa el árbol de factorización del número. 36 = 2 × 2 × 3 × 3. Es un producto de números primos. Si seguimos probando con diferentes números, vemos que todos los números se pueden representar como productos primos. De una manera más formal, 

Teorema: 

Todo número compuesto puede expresarse (factorizarse) como un producto de primos, y esta factorización es única, aparte del orden en que ocurren los factores primos.

Esto se llama Teorema Fundamental de la Aritmética.

Este teorema dice que todo número compuesto se puede reescribir como el producto de números primos de una manera “única”, excepto por el orden en que ocurren los números primos. 

Pregunta 1: Factoriza el número “4072” y represéntalo en forma de árbol. 

Responder: 

Pregunta 2: Factoriza el número “324” y represéntalo en forma de árbol. 

Responder:

Pregunta 3: Factoriza el número “16048” y represéntalo en forma de árbol.

Responder: 

LCM y HCF usando el teorema fundamental de la aritmética

• HCF conocido como el máximo común divisor es el mayor número que divide a cada uno de los dos números dados.
• MCM es el múltiplo común más bajo que es el producto de todos los factores primos comunes pero con sus grados/potencias más altos.

Por ejemplo:

Pregunta 1 : ¿Encuentra el MCM y HCF de 24 y 36?

Solución :

Los factores primos de 24 = 2× 2×2×3

Los factores primos de 36 = 2×2×3×3

HCF = 2 × 2 × 2 × 3 , 2 × 2 × 3 × 3 = 2 × 2 × 3 = 12

MCM = 

2×2×2×3×3 = 72

LCM y HCF también se pueden encontrar con la ayuda de la descomposición en factores primos, veamos algunos ejemplos.

Pregunta 2: Encuentra el MCM y HCF de los números 6 y 20. 

Responder: 

La factorización prima de 6 se puede representar de la siguiente manera, 

La factorización prima de 20 se puede representar de la siguiente manera, 

Entonces, ahora tenemos factorización prima de ambos números, 

6 = 2 × 3

20 = 2 × 2 × 5 

Lo sabemos 

HCF = Producto de la potencia más pequeña de cada factor primo común en los números.

MCM = Producto de la mayor potencia de cada factor primo, que intervienen en los números.

Entonces, HCF(6,20) = 2 ¹

      MCM(6,20) = 2 ² × 3 ¹ × 5

Pregunta 3: Encuentra el MCM y HCF de los números 24 y 36. 

Responder: 

Factorización prima de 24: 

Factorización prima de 36: 

24 = 2 ^{3 ×} 3 y 36 = 2 ² × 3 ²

Con base en las definiciones anteriores,  

HCF(24, 36) = 12 

MCM(24, 36) = 72

Realidad: En los ejemplos anteriores, observe que para dos números cualesquiera «a» y «b». HCF × MCM = a × b. 

Pregunta 4: Supongamos que para dos números “a” y “b”. Se da HCF que es 120 y el producto de los dos números es 3600. Encuentra el MCM de los dos números. 

Responder: 

Dados dos números “a” y “b”.

Se desconoce LCM(a, b) mientras que HCF(a, b) = 120 y a × b = 3600. 

De la propiedad estudiada anteriormente,  

HCF(a, b) × MCM(a, b) = a × b 

Conectando los valores dados. 

120 × mcm(a, b) = 3600 

MCM(a, b) = 30