Teorema fundamental del cálculo

En matemáticas, el cálculo es una rama que ayuda a comprender los cambios entre valores que están relacionados con la función. Es ampliamente utilizado en los campos de la física, la ingeniería, la medicina, la economía, la biología, la exploración espacial, la estadística, la farmacología y muchos más. Sin cálculo, ni siquiera se puede construir una casa.

La historia del cálculo se remonta al antiguo Egipto. Los historiadores dicen que el método utilizado por los egipcios para calcular el volumen de un tronco piramidal era el cálculo integral. Conocían las funciones básicas del cálculo integral y las usaban para calcular volúmenes y áreas. Sin embargo, el cálculo moderno fue desarrollado por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz de forma independiente.

Hay dos ramas del cálculo:

Cálculo diferencial: en esta rama del cálculo, dividimos las cosas en diferentes partes y estudiamos cómo cambian de un momento a otro. Por ejemplo, el cambio de velocidad con respecto al tiempo.
Cálculo integral: en esta rama del cálculo, unimos las piezas pequeñas para comprender su comportamiento general. Por ejemplo, en la determinación de la longitud del cable de alimentación necesaria para conectar las dos subestaciones.

En este artículo, discutiremos el teorema fundamental del cálculo que une las dos ramas del cálculo, pero antes de eso, primero debemos comprender la función de área.

Función de área

Consideremos una función f(t) continua en el intervalo [a, b], como se muestra en la siguiente imagen:

Ahora, marquemos algún punto x entre a y b en el gráfico.

Ahora, debemos encontrar el área bajo la curva y = f(t) entre el intervalo [a, x] .

Entonces, el área bajo la curva entre a y x es la integral definida de a a x de f(t) dt, es

A(x) = ∫ _a^x f(t) dt

Aquí A(x) se conoce como la función de área y es útil para encontrar el teorema fundamental del cálculo. O en otras palabras, A(x), es decir, ∫ _a^x f(t) dt es el área de la región delimitada por la curva y = f(t) en el eje t con coordenadas ay b. Si x es un punto entre el intervalo [a, b] entonces ∫ _a^x f(t) dt representará el área de la región sombreada, que es A(x).

Ejemplo:

Averigüemos el valor de A(x) para la función y = 2x entre x = 2 y x = 6.

A(x) = ∫ ₂⁶ 2x dx = [x ² ] ₂⁶ = 6 ² – 2 ² = 36 – 4 = 32

El teorema fundamental del cálculo.

El teorema fundamental del cálculo es el poderoso teorema de las matemáticas. Estableció una relación entre diferenciación e integración. Ahora, esta relación nos da un método para evaluar internos definidos sin calcular áreas o usar sumas de Riemann. El teorema fundamental se divide en dos partes:

Primer teorema fundamental
Segundo teorema fundamental

Ahora discutiremos cada teorema uno por uno en detalle:

Primer teorema fundamental

El primer teorema fundamental establece que si f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y la función F(x) está definida por

dF/dx = d/dx(∫ _a^x f(t) dt) = f(x)

O F'(x) = f(x) sobre [a, b]

O en otras palabras, si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y la función de área es A(x), entonces

A'(x) = f(x) ∀ x ∈ [a, b]

Prueba:

De acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, tenemos

F'(x) = ∫ _a^x f(t) dt = f(x) …(A)

Ahora, la ecuación (A) se puede escribir como

F'(x) = lím _h⇢0 (F(x + h) – F(x)/h

= lím _h⇢0 1/h [( ∫ _a^x+h f(t) dt – ∫ _a^x f(t) dt )] …(B)

Por lo tanto, la ecuación (B) representa el área bajo la curva y = f(t) en la

intervalo [x, x + h]. Ahora, la ecuación (B) se puede escribir como

F'(x) = lím _h⇢0 1/h (∫ _x^x+h f(t) dt …(C)

Ahora, de acuerdo con el teorema del valor medio de la integral definida,

si existe ac tal que x ≤ c ≤ x + h entonces

f(c) = 1/h ∫ _x^x+h f(t) dt

De este modo,

F'(x) = lím _h⇢0 f(c)

Dado que c está entre x y x + h, entonces c⇢x como h⇢0.

Además, dado que f(x) es continua, entonces tenemos,

lím _h⇢0 f(c) = lím _c⇢x f(c) = f(x)

De este modo,

F'(x) = lím _h⇢0 1/h ∫ _x^x+h f(t) dt

= lím _h⇢0 f(c)

= f(x)

Por lo tanto, probado.

Nota:

Toda función continua f tiene una antiderivada F(x).
El teorema fundamental del cálculo conecta el cálculo integral y el cálculo diferencial.

Encontrar la derivada usando el teorema fundamental del cálculo:

Analicemos este concepto con la ayuda de un ejemplo:

Digamos que tenemos una función F(x) = ∫ ₂₁^x √(t ³ ) dt y tenemos que encontrar F'(4).

Entonces, de acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, la ecuación dada se convierte en

F'(x) = √( ^x3 )

Así, F'(4) = √(4 ³ ) = 4 ^3/2 = (4 ^1/2 ) ³ = (√4) ³ = 2 ³ = 8.

Así es como resolvemos cuestiones cuando tenemos que aplicar el teorema fundamental del cálculo.

Encontrar una derivada con el teorema fundamental del cálculo: x está en ambos límites:

Analicemos este concepto con la ayuda de un ejemplo:

Supongamos que hay una función y = f(t) = sen t/t que es continua en [x, x ² ] y tenemos que encontrar su antiderivada. Consideremos el siguiente diagrama:

Según el teorema fundamental del cálculo,

$\frac{dF}{dx} = \frac{d}{dx} ( \int_{x}^{x^2} \frac{sin t}{t} dt ) = f(t)$ …..(1)

Ahora, marque c en el gráfico en algún lugar entre x y x ² en el gráfico.

Ahora, la ecuación (1) se convierte en

dF/dx = d/dx ( ∫ _x^c sen t/t dt ) + d/dx ( $\int_{c}^{x^2} \frac{sin t}{t} dt$ )

= – d/dx ( ∫ _c^x sen t/t dt ) + d/dx ( $\int_{c}^{x^2} \frac{sin t}{t} dt$ )

= – sen x/x + (sen x ² /x ² ).2x

= (2 sen x ² – sen x)/x

Así, obtenemos

F'(x) = (2 sen x ² – sen x)/x

Por lo tanto, así es como encontramos las derivadas de las funciones donde x está en ambos límites.

Segundo teorema fundamental del cálculo

El segundo teorema fundamental del cálculo establece que, si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F(x) es la antiderivada de f(x), entonces

∫ _un segundo f(x) dx = F(b) – F(a ⁾

El segundo teorema fundamental también se conoce como el teorema de evaluación.

Este teorema dice que ∫ _a^b f(x) dx = el valor de la antiderivada F de “f” en el límite superior b – el mismo valor de la antiderivada en el límite inferior a.
∫ _a^b f(x) dx expresión, la función f(x) debe estar bien definida y ser continua en el intervalo [a, b].
Es un teorema muy útil. Proporciona un método para estimar la integral definida sin encontrar el límite de la suma.
Aquí, al estimar la integral definida, la operación principal es encontrar una función cuya derivada sea la ecuación a integrar y este proceso fortalecerá la relación de diferenciación e integración.

Prueba:

Consideremos que M = x _i , i = 0, 1, …, n es una partición regular de [a, b]

Después

F(b) – F(a) = F(x _n ) – F(x ₀ )

= $\sum_{i=1}^n$ [F(x _i ) – F(x _{i – 1} )] …..(1)

Ahora, como sabemos que F es la antiderivada de f en el intervalo cerrado [a, b],

Entonces, usando el teorema del valor medio, obtenemos

i = 0, 1, 2, …, n

Ahora encontramos el valor de c _i en [x _i-1 , x _i ]

Asi que,

F(x _yo ) – F(x _{yo – 1} ) = F'(c _yo )(x _yo – x _yo-1 ) = $\sum_{i=1}^n$ f(c _yo )

F(b) – F(a) = $\sum_{i=1}^n$ f(c _i )

F(b) – F(a) = lím _n-> $\sum_{i=1}^n$ f(c _i )

Problemas de muestra

Pregunta 1. Calcula la derivada de la función $F(x) = \int_{1.5}^x \sqrt{(t^2 + 3t)} dt$ en x = 3.

Solución:

Dado que $F(x) = \int_{1.5}^x \sqrt{(t^2 + 3t)} dt$

Entonces, usando el primer FTC, obtenemos

F'(x) = $= \frac{d}{dx} [ \int_{1.5}^x f(t) dt$ = √(x ² + 3x)

Por lo tanto,

F'(3) = √(3 ² + 3,3) = √(9 + 9) = √(2,9) = 3√2.

Pregunta 2. Calcular la derivada de la función $F(x) = \int_{\frac{-\pi}{2}}^x \sqrt{(sin t + cos t)}dt$ dt en x = /2.

Solución:

Dado que $F(x) = \int_{\frac{-\pi}{2}}^x \sqrt{(sin t + cos t)}dt$

Entonces, usando el primer FTC, obtenemos

F'(x) = $\frac{d}{dx} [\int_{\frac{-\pi}{2}}^x f(t) dt$ = f(x)

Por eso,

F'(x) = √(sen x + cos x)

Por lo tanto,

F'(/2) = √(sen /2 + cos /2) = √(1 + 0) = 1.

Pregunta 3. Encuentra la derivada de $F(x) = \int_{3}^{x^2} \frac{dt}{t^2}$ .

Solución:

Dado que $F(x) = \int_{3}^{x^2} \frac{dt}{t^2}$

Entonces, sea x ² = u.

Ahora, considere una nueva función,

^{G( u} ) = ∫ ₃ tu dt/t ²

⇒ G'(u) = 1/u ²

Ya que, F(x) = G(x ² )

⇒ F'(x) = G'(x ² ).2x

⇒ F'(x) = (1/x ⁴ ).2x

⇒ F'(x) = 2/x ³ .

Pregunta 4. Encuentra la derivada de $F(x) = \int_{0}^{x^2} \sqrt{(1+t^3)}dt$ .

Solución:

Dado que $F(x) = \int_{0}^{x^2} \sqrt{(1+t^3)}dt$

Entonces, sea x ² = u.

Ahora, considere una nueva función,

^{G( u} ) = ∫ ₀ tu √(1 + t ³ ) dt

Usando el primer FTC, tenemos

G'(u) = √(1 + tu ³ )

Como F(x) = G(x ² )

⇒ F'(x) = G'(x ² ).2x

⇒ F'(x) = 2x √(1 + (x ² ) ³ )

⇒ F'(x) = 2x √(1 + x ⁶ ).

Pregunta 5. Encuentra la derivada de la función $F(x) = \int_{1}^{x^2} (t^2+t) dt$ .

Solución:

Dado que $F(x) = \int_{1}^{x^2} (t^2+t) dt$

Entonces, sea x ² = u.

Ahora, considerando la nueva función,

G(u) = ∫ ^{1 tu}₍ t ² + t) dt.

Usando el primer FTC, obtenemos

G'(u) = u ² + u

Ya que, F(x) = G(x ² )

⇒ F'(x) = G'(x ² ).2x

⇒ F'(x) = (x ⁴ + x).2x

⇒ F'(x) = 2x ⁵ + 2x ² .

Pregunta 6. Evalúa la integral $\int_{x}^{x^2} t dt$ .

Solución:

Dado que $\int_{x}^{x^2} t dt$

Ahora encontramos la antiderivada de t

∫t dt =t ² + C

Ahora usando el segundo FTC, obtenemos

∫ _un segundo f(x) dx = F(b) – F(a ⁾

$\int_{x}^{x^2} t dt$ = F(x ² ) – F(x)

$\int_{x}^{x^2} t dt$ = ((t ² ) ² ) – (t ² )

$\int_{x}^{x^2} t dt$ = (t ⁴ ) – (t ² )

$\int_{x}^{x^2} t dt$ = t ² ((t ² ) – 1)

Pregunta 7. Evalúa la integral $\int_{1}^{2} x dx$ .

Solución:

Dado que yo = $\int_{1}^{2} x dx$

Ahora usando el segundo FTC, obtenemos

∫ _un segundo f(x) dx = F(b) – F(a ⁾

$\int_{1}^{2} x dx$ = F(2) – F(1)

Ahora encontramos la antiderivada de x

∫x dx =x ² + C

$\int_{1}^{2} x dx$ = (2 ² ) – 1

= 4 – 1

= 3

Pregunta 8. Evalúa la integral ∫ ₀² (x ² – x) dx.

Solución:

Dado I = ∫ ₀² (x ² – x) dx

Usando el segundo FTC, obtenemos

∫ _un segundo f(x) dx = F(b) – F(a ⁾

∫ ₀² (x ² – x) dx = F(2) – F(0)

Ahora encontramos la antiderivada de x

∫ ₀² (x ² – x) dx = x ³ /3 – x ² /2

Asi que,

= [x ³ /3 – x ² /2] ₀²

= [8/3 – 4/2]

= [8/3 – 2]

= [8/3 – 6/3]

= 2/3.

Pregunta 9. Evalúa la integral F(x) = ∫ ₀^x e ^t + e ^-t dt.

Solución:

Dado que F(x) = ∫ ₀^x e ^t + e ^-t dt

Usando el primer FTC, obtenemos

F'(x) = e ^x + e ^-x .

Pregunta 10. Encuentra la integral de $\int_{0}^{ln 2} t.e^{-t} dt$ .

Solución:

dado yo = $\int_{0}^{ln 2} te^{-t} dt$

por lo que también podemos escribir como

yo = $\int_{0}^{ln 2} td(e^{-t})$

Ahora aplicamos integración por partes, obtenemos

u = t, dv = d(e- ^t )

Entonces, du = 1, v = e ^-t

Entonces, la integral es

yo = – $\int_{0}^{ln 2} td(e^{-t})$

= $[(te^{-t})|^{ln2}_0 - \int_0^{ln2} e^{-t} dt]$

= $[(te^{-t})|^{ln2}_0 + \int_0^{ln2} e^{-t} dt]$

= $-(te^{-t})|^{ln2}_0 -(e^{-t})|^{ln2}_ 0$

= $- [e^{-t}(t + 1)]|^{ln2}_0$

= -e ^-ln2 (ln2 + 1) + e ⁰ .1

= 1/2(ln e – ln 2)

= 1/2 ln e/2