Teoría de juegos (Juego en forma normal) | Conjunto 4 (Propiedad de Dominancia-Estrategia Pura)

En algunos de los juegos, es posible reducir el tamaño de la array de pagos eliminando filas (o columnas) que están dominadas por otras filas (o columnas) respectivamente. 

Propiedad de dominancia para filas: X ≤ Y, es decir, si todos los elementos de una fila X en particular son menores o iguales a los elementos correspondientes de otra fila Y , entonces elimine la fila X (la fila X está dominada por la fila Y ). Los elementos de una fila X en particular también se pueden comparar con un promedio de dos o más filas y si los elementos de la fila X son menores o iguales a los elementos correspondientes después de tomar el promedio, entonces elimine la fila  X.

Propiedad de dominancia para columnas: X ≥ Y, es decir, si todos los elementos de una columna X en particular son mayores o iguales que los elementos correspondientes de otra columna Y , entonces elimine la columna X (la columna X está dominada por la columna Y ). Los elementos de la columna X también se pueden comparar con un promedio de dos o más columnas y si los elementos de la columna X son mayores que los elementos correspondientes después de tomar el promedio, elimine la columna  X.

Considere el siguiente juego: 
 

Solución:  
Estrategia Pura: La solución del juego anterior por Estrategia Pura será, 
– el valor del juego (V) = 8 
– A[P1, P2, P3, P4] = A[0, 0, 1, 0] 
– B[Q1, Q2, Q3, Q4, Q5] = B[1, 0, 0, 0, 0] 
Donde, 
P1, P2, P3 y P4 son probabilidades de la estrategia 1, 2, 3 y 4 respectivamente para el jugador A Q1 , 
Q2, Q3, Q4 y Q5 son probabilidades de la estrategia 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente para el jugador B 
Para ambos jugadores, la probabilidad total es 1. 

Propiedad de Dominancia: Los mismos resultados se obtendrán utilizando también la propiedad de dominancia. 
– Tomar el total de cada fila y seleccionar la menor entre ellas. 
 

– Usando la propiedad de dominancia para la fila, los elementos de la fila 4 son más pequeños que los elementos de la fila 3, es decir, la fila 4 está dominada por la fila 3. Elimine la fila 4. 
 

– Seleccione el valor más bajo entre el ‘Total de fila’ restante y aplique la propiedad de dominancia. 
 

– Usando la propiedad de dominancia, la fila 1 está dominada por la fila 3. Elimine la fila 1. 
 

– Seleccione el valor mínimo entre los valores restantes, es decir, 39 es el mínimo, al aplicar la propiedad de dominancia se puede ver que la condición para la dominancia de fila no se cumple. Ahora, aplique la propiedad de dominancia para la columna. 

– Tome el total de cada columna (solo de las filas restantes) y seleccione el más grande entre ellos. 
 

– Usando la propiedad de dominancia para la columna, la columna 4 está dominada por la columna 1. Elimine la columna 4. 
 

– Seleccione el mayor entre los valores de columna restantes. 
 

– Usando la propiedad de dominancia para las columnas, la columna 5 está dominada por la columna 1. Elimine la columna 5. 
 

– Seleccione el mayor entre los valores de columna restantes. 
 

– Usando la propiedad de dominancia para las columnas, la columna 2 está dominada por la columna 1. Elimine la columna. 
 

– Seleccione de nuevo el valor más grande (es decir, 16). Ahora, al aplicar la propiedad de dominancia, no se encontrará ninguna dominación. Ahora, vuelve a optar por la reducción de filas. 
 

– Encuentre el total de la fila y seleccione el menor entre ellos. 
 

– Usando la propiedad de dominancia para las filas, la fila 2 está dominada por la fila 3. Elimine la fila 2. 
 

– Ahora solo hay una fila (no es necesario encontrar el total de la columna) y quedan dos columnas. Aplicando la propiedad de dominancia para columnas. 
 

– Solo queda un valor que es el valor del juego. 
 

Entonces tenemos, 
– el valor del juego (V) = 8 
– A[P1, P2, P3, P4] = A[0, 0, 1, 0] 
– B[Q1, Q2, Q3, Q4, Q5] = B[1, 0, 0, 0, 0] 
Donde, 
P1, P2, P3 y P4 son probabilidades de la estrategia 1, 2, 3 y 4 respectivamente para el jugador A. 
Q1, Q2, Q3, Q4 y Q5 son probabilidades de estrategia 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente para el jugador B 
Para ambos jugadores, la probabilidad total es 1.