Tipos de cuadriláteros: algunos paralelogramos especiales

Los cuadriláteros se pueden definir como tipos de polígonos que tienen cuatro lados, cuatro vértices y cuatro ángulos junto con un par de diagonales. La suma de los ángulos interiores de los cuadriláteros es 360° . Hay varios tipos de cuadriláteros. Como sugiere el propio nombre, la palabra es una combinación de dos palabras latinas ‘ Quadri ‘ significa una variante de cuatro, y ‘ latus ‘ significa lado. En este tema, vamos a estudiar algunos tipos especiales de paralelogramos como rectángulo, cuadrado, rombo.

Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero cuyos lados opuestos son iguales y paralelos.

Parallelogram1

Propiedades del paralelogramo

Hay diferentes propiedades de los paralelogramos.

  1. Los lados opuestos son iguales.
  2. Angulo opuesto son iguales
  3. Las diagonales se bisecan entre sí.
  4. Una diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes.

Algunos paralelogramos especiales

Dependiendo de las propiedades, hay tres tipos especiales de paralelogramo:

  • Rectángulo
  • Rombo
  • Cuadrado

Rectángulo

Un rectángulo es un tipo especial de paralelogramo que tiene todas las propiedades del paralelogramo junto con algunas propiedades diferentes. Cada ángulo de un rectángulo debe ser un ángulo recto, es decir, de 90°.

Rectangle3

Propiedades de un rectángulo

Las propiedades de un rectángulo son similares a las de un paralelogramo:

  • Los lados opuestos son paralelos entre sí.
  • Los lados opuestos de un rectángulo son iguales.
  • Las diagonales se bisecan
  • Las diagonales del rectángulo son iguales.
  • Cada ángulo interior de un rectángulo es igual, es decir, 90 °

Nota: el rectángulo tiene todas las propiedades del paralelogramo. Entonces todos los rectángulos son paralelogramos pero todos los paralelogramos no son rectángulos.

Ejemplos de problemas sobre rectángulos

Problema 1: En el rectángulo ABCD, AO = 5cm. Encuentra la longitud de la diagonal BD. También encuentra el perímetro del rectángulo si AB = 8 cm y AD = 6 cm.

Solución: 

AO = OC = 5 cm (las diagonales se bisecan entre sí)

Por lo tanto, CA = 10 cm

BD = AC = 10 cm (las diagonales del rectángulo son iguales) 

Perímetro = AB + BC+ CD + DA

                 =8 + 6 +8 +6 (los lados opuestos son iguales)

                 = 28cm

Problema 2: En el rectángulo ABCD, ∠ABD = 3x – 7 y ∠CBA = 6x – 2. Encuentra el valor de x.

Solución:

Cada ángulo del rectángulo es 90 0

Por lo tanto,

 ∠ABD + ∠CBA = 90 0

3x – 7 + 6x – 2 = 90

9x – 9 = 90

9x = 99

X = 11

Problema 3: En el rectángulo ABCD AO = 2x – 10 cm, OB = x + 4 cm. Encuentre la longitud de la diagonal BD

Solución:

En un rectángulo las diagonales se bisecan entre sí y son iguales.

Por lo tanto, AO = OB

2x – 10 = x + 4

x = 14

BO = 14 + 4 = 18 cm

OD = 18 cm (ya que las diagonales se bisecan entre sí)

Por lo tanto, BD = 36 cm

Rombo

Un cuadrilátero que tiene todos los lados iguales y los lados opuestos paralelos se llama Rombo . Los ángulos opuestos de un rombo son iguales y las diagonales del rombo se bisecan perpendicularmente. Tenga en cuenta que todos los rombos son paralelogramos, pero lo contrario no es cierto.

Rhombus

Propiedades de un rombo

Las propiedades de un rombo son similares a las de un paralelogramo:

  • Los lados opuestos son paralelos entre sí.
  • Todos los lados de un rombo son iguales entre sí.
  • Las diagonales se bisecan
  • Los ángulos opuestos de un rombo son iguales.

Nota: Rombo es un paralelogramo con todos los lados iguales

Ejemplos de problemas sobre rombos

Problema 1: Las diagonales de un rombo miden 24 cm y 10 cm. Encuentra el lado del rombo.

Solución:

CA = 24 cm

DB = 10 cm

Por lo tanto, AO = 12 cm y OB = 5 cm (las diagonales se bisecan entre sí)

En el triángulo rectángulo AOB, (las diagonales del rombo son perpendiculares)

AB 2 = OA 2 + OB 2

AB 2 = 12 2 + 5 2

AB2 = 144 + 25

AB2 = 169

AB = 13cm

Por lo tanto, el lado del rombo mide 13 cm.

Problema 2: En un rombo una de las diagonales es igual a un lado del rombo. Encuentra los ángulos del rombo.

Solución:

En rombo PQRS PR = PQ (dado)

Por lo tanto, PQ = QR = RS = SP = PR (ya que todos los lados del rombo son iguales)

En triangulo PQR

PQ = QR = RP 

Por lo tanto, es un triángulo equilátero.

∠QPR = ∠Q = ∠QRP = 60 0

>||ly ∠SPR = ∠S = ∠PRS = 60 0

Por lo tanto, los ángulos del rombo son ∠P = 120 0 , ∠Q = 60 0 , ∠R = 120 0 , ∠S = 60 0

Problema 3: Derive la fórmula para el área del rombo.

Solución:

Como las diagonales del rombo se bisecan entre sí en ángulo recto.

En rombo ABCD 

area del triangulo ABD = 1/2 * BD *AO (1/2 * base *altura) ………. (1)

area del triangulo BCD = 1/2 * BD * CO ………………………………………….. (2)

Área del rombo = Área del triángulo ABD + área del triángulo BCD

                             = 1/2 * BD * AO + 1/2 * BD * CO

                              = 1/2 * BD (AO + CO)

                              = 1/2 * BD * CA (AE + CE = CA)

Por lo tanto, área del rombo = 1/2 * producto de diagonales

Cuadrado

Un cuadrilátero que tiene todos los lados iguales y los lados opuestos paralelos y todos los ángulos interiores iguales a 90° se llama cuadrado. Las diagonales de un >cuadrado se bisecan entre sí perpendicularmente. Tenga en cuenta que todos los cuadrados son rombos, pero no al revés. 

Square

Propiedades de un cuadrado

Las propiedades de un cuadrado son similares a las de un rombo:

  • Los lados opuestos son paralelos entre sí.
  • Todos los lados de un cuadrado son iguales entre sí.
  • Las diagonales son bisectrices perpendiculares entre sí y son iguales.
  • Todos los ángulos de un cuadrado son iguales y de 90° cada uno.

Ejemplos de problemas en Square

Problema 1: Todos los rombos son cuadrados o todos los cuadrados son rombos. ¿Cuál de estas afirmaciones es correcta y por qué?

Solución:

Tanto el cuadrado como el rombo tienen todos los lados iguales, pero un rombo se llama cuadrado si cada uno de sus ángulos es de 90 0 . Entonces, todos los cuadrados pueden llamarse rombos, pero el recíproco no es cierto.

Problema 2: En la figura la CUERDA es un cuadrado. Demuestra que las diagonales son iguales.

Solución /p> 
 

En Δ REP y Δ OEP

RE = OP (lados del cuadrado

∠E = ∠P (cada 90 0 )

EP = EP (común)

Por lo tanto, los triángulos son congruentes según los criterios de SAS.

Por lo tanto, RP = OE (cpct)

Por lo tanto, las diagonales del cuadrado son iguales.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por kashika1145 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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