Tipos de eventos en probabilidad

En las conversaciones diarias, las personas a menudo usan afirmaciones como «Hoy podría llover» o «Lo más probable es que apruebe el examen porque no fue demasiado difícil» o «Lo más probable es que sea seleccionado». En las 3 declaraciones, se usan palabras como podría, probablemente, lo más probable, y se usan para indicar la probabilidad o la certeza de que algo suceda. Entonces, si las palabras pueden transmitir la probabilidad de cierto evento, ¿por qué se dedica un capítulo completo a la probabilidad? Es porque la probabilidad en matemáticas ayuda a determinar la probabilidad exacta de que ocurra un evento. Por ejemplo, se dan 2 afirmaciones: «Probablemente lloverá hoy» y «hay un 70 % de probabilidad de que llueva hoy», ¿cuál de las afirmaciones llega a una mejor conclusión? La segunda declaración ya que dice una probabilidad detallada de un evento.

Probabilidad

La probabilidad de un evento en matemáticas es la predicción de que ese evento ocurra en números. La probabilidad se puede definir en una proporción que varía de 0 a 1, o también se puede expresar como un porcentaje que varía de 0 a 100%. Por ejemplo, hay un 0,8 por ciento de posibilidades de que la reunión se posponga o un 80 % de posibilidades de que la reunión se posponga. La probabilidad siempre está definida para los Eventos. Los eventos pueden ser de diferentes tipos, aprendamos qué son y cuáles son los tipos,

Eventos

Los eventos en el lenguaje más simple se definen como el resultado de un experimento, cuando se realiza un experimento, se espera algún resultado del experimento y se sabe que el resultado esperado es el Evento en Probabilidad. Cada vez que el resultado esperado no es cierto, existe la posibilidad de que el evento ocurra, o no ocurra en absoluto, la probabilidad es en realidad la medida de que ocurra un evento.

Espacio muestral 

El espacio muestral se define como el conjunto de todos los posibles resultados del experimento y un evento es uno de los posibles resultados, del mismo modo puede haber más de un evento (resultados) de un experimento. Por lo tanto, se puede concluir que un Evento es un Subconjunto del Espacio Muestral.

Tipos de eventos

Dado que se concluye que los eventos son los subconjuntos del espacio muestral, habrá un espacio muestral para un experimento, pero puede haber múltiples eventos de un experimento, es importante señalar que los eventos también tienen diferentes tipos, aprendamos sobre ellos. en detalle,

• Evento Independiente

Los eventos independientes son aquellos en los que el resultado siguiente es independiente del resultado anterior. Los medios, la probabilidad de que ocurra un evento seguirán siendo los mismos sin importar cuántas veces se realice el mismo experimento. 

Por ejemplo, tomemos el ejemplo de lanzar un dado, se lanza un dado una vez y la probabilidad de obtener un número par es 0,5, ahora se vuelve a lanzar el dado, aún así la probabilidad de obtener un número par será solo 0,5. Esto significa que la probabilidad del evento es independiente de sus resultados anteriores, tales eventos se conocen como eventos independientes.

• Eventos dependientes

Los eventos dependientes son aquellos en los que el siguiente resultado depende de los resultados anteriores, lo que significa que la probabilidad de un evento cambiará en función de sus resultados anteriores.

Por ejemplo, tomemos el ejemplo de sacar bolas de una bolsa, hay 4 bolas negras y 3 rojas en una bolsa, se saca una bola y resultó ser negra (En el primer sorteo, la probabilidad de que salga una bola negra fue 4/7 = 0,571. Cuando se extrae una bola la próxima vez, la probabilidad de que ocurra la bola negra cambiará ya que ahora hay menos bolas en la bolsa (quedan 3 bolas negras y 3 rojas), por lo tanto, la probabilidad de obtener una bola negra será 3/6 = 0,5 Este tipo de eventos se conocen como eventos dependientes.

Nota: En el ejemplo anterior, hay una forma de convertir este evento dependiente en un evento independiente, se puede hacer a través de Reemplazo. Si después de cada experimento la pelota se vuelve a guardar en la bolsa, el espacio muestral del experimento no cambiará y, por lo tanto, la probabilidad del evento seguirá siendo la misma.

• Evento sencillo

Cualquier evento que comprende un solo resultado del espacio muestral se conoce como un evento simple. 

Por ejemplo, el espacio muestral de tirar un dado S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} y el evento de obtener menos de 2, E= {1}, donde E tiene un solo resultado tomado de la muestra espacio, por lo tanto, el evento es un evento simple.

• Evento compuesto

Un evento compuesto es justo lo contrario de lo que es un evento simple, es decir, cualquier evento que comprende más de un solo resultado o más de un solo punto del espacio muestral, ese evento se conoce como evento compuesto. 

Por ejemplo, S={1, 2, 3, 4, 5, 6} y E= {3, 4, 5}, aquí E es un evento compuesto.

• Eventos mutuamente excluyentes

Si los dos eventos no tienen nada en común, entonces se llaman eventos mutuamente excluyentes, los eventos mutuamente excluyentes son similares a los conjuntos mutuamente excluyentes.

Por ejemplo, S (espacio muestral)= {23, 25, 27, 29, 31}, E ₁ = {23, 25, 27} y E ₂ = {29, 31}, como se ve claramente que no hay nada común entre los dos conjuntos, por lo tanto, los eventos E ₁ y E ₂ son eventos mutuamente excluyentes.

• Y evento

El evento AND se obtiene por dos o más de dos eventos y la operación que se realiza sobre los eventos es la operación AND, 

Por ejemplo, E1 = {2, 3, 4, 5} y E2 = {3, 4, 7, 8}

mi = mi1∩ mi2 = {3, 4}

• O Evento

El evento OR se obtiene realizando la operación OR en dos o más de dos eventos.

Por ejemplo, E1 = {2, 3, 4, 5} y E2 = {3, 4, 5, 6}

mi = mi ₁ ∪ mi ₂ = {2, 3, 4, 5, 6}

• Evento Complementario

Un evento complementario se define como el evento que tiene el resto de los elementos presentes en el espacio muestral distintos al evento dado. 

Por ejemplo, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y el evento dado E = {1, 2, 3}

El evento complementario será, E’ = {4, 5, 6, 7}

Problemas de muestra

Pregunta 1: Se lanza un dado en el juego de Ludo y E ₁ denota el evento de obtener números pares y E ₂ representa el evento de obtener un número mayor que 3, encuentre el conjunto para los siguientes eventos,

1. E ₁ o E ₂
2. E ₁ y E ₂

Responder:

El espacio muestral para el dado será,

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E ₁ (solo números pares)= {2, 4, 6}

E ₂ (número mayor que 3)= {4, 5, 6}

mi ₁ o mi ₂ = {2, 4, 5, 6}

mi ₁ y mi ₂ = {4, 6}

Pregunta 2: Se lanza un dado y el conjunto para el espacio muestral obtenido es, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E ₁ se define como el evento de obtener un número menor a 5 y E ₂ se define como el evento de obtener un número mayor a 2.

Encuentre el conjunto para lo siguiente,

1. E ₁ pero no E ₂
2. E ₂ pero no E ₁

Solución:

El espacio muestral será, S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E ₁ (un número menor que 5)= {1, 2, 3, 4}

E ₂ (un número mayor que 2)= {3, 4, 5, 6}

1. E ₁ pero no E ₂ = {1, 2}
2. E ₂ pero no E ₁ = {5, 6}

Pregunta 3: Escriba el espacio de muestra para lanzar tres monedas a la vez, también responda el evento de 2 exactamente 2 caras a la vez.

Responder:

Cuando se lanza una moneda a la vez, el espacio muestral es {H, T} ya que como resultado puede ocurrir cara o cruz. Sin embargo, cuando se lanzan tres monedas al mismo tiempo, puede ocurrir la combinación de diferentes posibilidades. Esas posibilidades juntas estarán compuestas por un espacio muestral,

Al lanzar tres monedas, S= {(H, H, H), (H, H, T), (H, T, H), (T, H, H), (T, T, H), (T, H, T), (H, T, T), (T, T, T)}

Por lo tanto, el espacio muestral comprende 6 resultados posibles.

Evento (E) para la ocurrencia de exactamente dos caras,

mi = {(H, H, T), (H, T, H), (T, H, H)}

Pregunta 4: Nombre los tipos de eventos obtenidos de los siguientes experimentos,

1. Se lanza una moneda por quinta vez y en el caso de obtener cruz cuando las primeras cuatro veces, el resultado fue cara.
2. S (espacio muestral)= {1, 2, 3, 4, 5} y E= {4}
3. S= {1, 2, 3, 4, 5} y E= {2, 4}
4. S= {1, 2, 3, 4, 5}, E ₁ = {1, 2} y E ₂ = {3, 4}

Responder:

1. No importa cuántas veces se lance la moneda, cada vez la probabilidad de obtener cruz será de 0,5 independientemente de los resultados anteriores, por lo tanto, el evento será un evento Independiente.
2. E= {4} es un evento simple.
3. E= {2, 4} es un evento compuesto.
4. E ₁ y E ₂ son eventos mutuamente excluyentes.

Pregunta 5: ¿Qué son los eventos imposibles y seguros?

Responder:

Los eventos imposibles son aquellos que nunca van a ocurrir, son los conjuntos nulos y se indican como {}. La probabilidad de que ocurra un evento imposible es 0. Por lo tanto, no se ven resultados.

Mientras que los eventos seguros no son más que todo el espacio muestral ya que la probabilidad de que ocurra el evento en este caso es 1.

Pregunta 6: El espacio muestral de un experimento se da como,

S = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} y el evento E se define como todos los números pares. ¿Cuál será el evento complementario para E.

Responder:

S = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}

E (todos los números pares) = {10, 12, 14, 16}

E’ (complementario de E)= {11, 13, 15, 17}