Tipos de polígonos

El polígono no es más que una figura cerrada (conectada de extremo a extremo) formada por más de 2 segmentos de línea en un plano bidimensional. La palabra Polygon se compone de 2 palabras, primero Poly significa «muchos» y gons significa «lados». Polígono significa nada más que una forma que tiene muchos lados. O, en otras palabras, el polígono se crea utilizando segmentos de línea recta que están conectados entre sí de extremo a extremo, y estos segmentos de línea se conocen como lados del polígono y el punto se conoce como el vértice del polígono. Si una forma no contiene lados ni ángulos, entonces no es un círculo similar a un polígono. Algunos de los polígonos son: 

Propiedades del polígono:

• La medida de cada ángulo exterior de un polígono regular de n lados será 360°/n.
• La medida de cada ángulo interior de un polígono regular de n lados será [(n – 2) × 180°]/n.
• El número de triángulos formados al unir las diagonales de una esquina de un polígono será n – 2.
• El número de diagonales de un polígono de n lados será n(n – 3)/2.
• La suma de todos los ángulos interiores de un polígono de n lados será (n – 2) × 180°.

Terminología:

1. Diagonales: Un segmento de línea que une dos vértices no consecutivos de un polígono se conoce como diagonal. Por ejemplo, en la figura dada, AC y BD son las dos diagonales del cuadrado ABCD.

2. Lados adyacentes: en un polígono, si dos lados comparten lados adyacentes comunes. Por ejemplo, en la figura anterior, AD y DC son los lados adyacentes. 

3. Vértice Adyacente: En un polígono, si hay dos extremos o vértices del mismo lado, ese tipo de vértice se conoce como vértice adyacente. Por ejemplo, en el vértice de la figura anterior, A y B son los vértices adyacentes del lado AB.

Tipos de polígonos:

Hay 4 tipos de polígonos:

• Polígono regular: si todos los lados y ángulos interiores del polígono son iguales o si un polígono es equiángulo y equilátero, entonces el polígono se conocerá como polígono regular. Ejemplo cuadrado, rombo, triángulo equilátero, etc.

• Polígono Irregular: Si todos los lados y los ángulos interiores del polígono son de diferente medida, entonces el polígono se conocerá como polígono irregular. Ejemplo triángulo escaleno, rectángulo y cometa, etc.

• Polígono convexo: si todos los ángulos interiores de un polígono son estrictamente menores de 180° o si un segmento de línea entre dos puntos en el límite no sale del polígono, entonces el polígono se conocerá como un polígono convexo.

• Polígono cóncavo: si uno o más ángulos interiores de un polígono tienen más de 180° grados o un polígono contiene al menos un ángulo interior reflejo, entonces el polígono se conocerá como un polígono cóncavo. Este polígono puede tener al menos cuatro lados.

Ángulos del polígono:

Hay dos tipos de ángulos en los polígonos: 

• Angulo Interior: Es un angulo desde el interior de una forma, o podemos decir que el angulo se forma desde el interior de un poligono y la suma de los angulos interiores del poligono es

Suma de ángulos interiores = (n – 2) x 180, 

Aquí, n es el número total de lados de un polígono 

o 

Ángulo Interior = 180° – Ángulo Exterior, 

o en radianes, 

Suma de ángulos interiores= = (n – 2)

ejemplo:

• Ángulo Exterior: Es un ángulo formado por un lado y una extensión de un lado adyacente y la suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 360 ^° . La suma de los ángulos exteriores del polígono es

Ángulo Exterior = 180° – Ángulo Interior

Si un polígono tiene n lados entonces 

La suma de todos los ángulos exteriores = nx 180° – suma de todos los ángulos interiores

Puntos importantes:

• En todo polígono, la suma de los ángulos exteriores será siempre de 360°.
• Para un polígono regular, el tamaño de cada ángulo exterior = 360° ÷ número de lados.
• Para un polígono regular, el número de lados = 360° ÷ tamaño del ángulo exterior.

Por ejemplo :

Clasificación de Polígonos

Los polígonos se clasifican según el número de lados o vértices que tienen. Entonces, algunos de los polígonos son:

Polígono	Nº de lados	Nº de diagonales	Nº de vértices	Angulo interior
Triángulo	3	0	3	60
Cuadrilátero	4	2	4	90
Pentágono	5	5	5	108
Hexágono	6	9	6	120
Heptágono	7	14	7	128.571
Octágono	8	20	8	135
nonágono	9	27	9	140
Decágono	10	35	10	144
Endecágono	11	44	11	147.273
Dodecágono	12	54	12	150
Triskaidecágono	13	sesenta y cinco	13	158.308
Tetrakaidecágono	14	77	14	154.286
Pentadecágono	15	90	15	156

Triángulos (3-gon)

Un triángulo es un polígono, i Los triángulos se clasifican en diferentes tipos, según los lados y los ángulos.  

Algunas propiedades del triángulo:

• Área del triángulo: 1/2 × base × altura
• En un triángulo, la suma de todos los ángulos interiores de un triángulo es 180 ^o .
• El perimetro

Basado en lados:

• Triángulo equilátero: si un triángulo tiene todos los lados iguales y ángulos de igual medida, este tipo de triángulos se conocen como triángulos equiláteros.
• Triángulo isósceles: si cualquier triángulo que tiene 2 lados iguales y los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales, este tipo de triángulos se conocen como triángulos isósceles.
• Triángulo escaleno: si un triángulo tiene los 3 lados desiguales, este tipo de triángulos se conocen como triángulo escaleno.

Basado en el ángulo:

• Triángulo de ángulo agudo: un triángulo que tiene cada ángulo menor de 90 °, entonces este tipo de triángulo se conoce como triángulo de ángulo agudo.
• Triángulo de ángulo recto: si cualquiera de los tres ángulos del triángulo es igual a 90 °, ese tipo de triángulo se conoce como triángulo de ángulo recto.
• Triángulo de ángulo obtuso: si cualquier ángulo de un triángulo es mayor que 90 °, ese tipo de triángulo se conoce como triángulo de ángulo obtuso.

Cuadriláteros (4-gon) 

Un cuadrilátero no es más que un polígono que tiene al menos 4 lados. Un polígono se forma encerrando cuatro segmentos de línea de modo que se unan en los vértices para formar 4 o más ángulos. Ejemplo: Cuadrado, Rectángulo, Paralelogramo, Rombo, Trapecio.

Algunas propiedades de un cuadrilátero:

• Tiene cuatro lados.
• Tiene cuatro vértices.
• En un cuadrilátero, la suma de todos los ángulos interiores es 360 ^° .

Problemas de muestra

Pregunta 1. ¿Encuentra el ángulo exterior de un hexágono regular?

Solución: 

Como sabemos que, el hexágono tiene 6 lados por lo tanto

Ángulo exterior = 360 ^o / n = 360 ^o / 6

Ángulo exterior = 60 ^o

Pregunta 2. ¿Encuentra el ángulo interior de un pentágono regular?

Solución: 

Como sabemos que el pentágono tiene 5 lados, por lo tanto

Ángulo exterior = 360 ^o / 5 = 72 ^o

Ángulo interior = 180 ^o – 72 ^o = 108 ^o 

Pregunta 3. Encuentra cada ángulo interior de un decágono regular.

Solución : 

Como sabemos, el decágono tiene diez lados.

Usando la fórmula de suma de ángulos, 

Como sabemos que,

S = (n − 2) × 180°

Aquí, n = 10

Por lo tanto,

Suma de los ángulos del decágono = (10 − 2) × 180°

= 8 × 180° = 1440°

Como sabemos que todos los ángulos interiores son iguales a un decágono regular, 

Por tanto, la medida de cada ángulo interior de un decágono regular = suma de ángulos interiores / número de lados

Ángulo interior = 1440 / 10 = 144°

Por lo tanto, la suma de los ángulos interiores del decágono es 1440° y cada ángulo interior es de 144°.  

Pregunta 4. Encuentra el valor de x en la figura dada:

Solución:

Como sabemos que la suma de los ángulos de un cuadrilátero = 360 ^o

entonces, 55 ^o + 124 ^o + 70 ^o + x = 360 ^o

249 ^o + x = 360 ^o

x = 111 ^o

Pregunta 5. Encuentra el valor de x en la figura dada:

Solución:

Como sabemos que la suma de los ángulos exteriores = 360 ^o

Entonces, 120 ^o + 125 + x = 360 ^o

245 ^o + x = 360 ^o

x = ^360o – ^245o

x = ^115o