Tipos de polinomios

En matemáticas, una expresión algebraica es una expresión construida a partir de constantes enteras, variables y operaciones algebraicas. Este artículo trata sobre monomios, binomios y polinomios .

Monomio

Una expresión algebraica que contiene solo un término distinto de cero se conoce como monomio. Un monomio es un tipo de polinomio, como binomio y trinomio, que es una expresión algebraica que tiene un solo término, que es distinto de cero. Consiste en un solo término que facilita la operación de suma, resta y multiplicación.

Ejemplos:

• g es un monomio en una variable.
• 9cb ² es un monomio de dos variables c y b.
• 3a ² b es monomio en dos variables a y b.
• 4ab/5m es monomio en tres variables a, b, m.
• -2m es un monomio de una variable m.

Las diferentes partes de una expresión monomio son:

• Variable: Las letras presentes en la expresión del monomio son variables.
• Coeficiente : El número antes de una variable o el número multiplicado por una variable en la expresión.
• Parte literal: Los alfabetos que están presentes junto con los valores de los exponentes son la parte literal.

Consideremos un ejemplo 6xy ² es una expresión monomio,

• coeficiente es 6
• Las variables son x e y
• Grado de expresión monomio = 1 + 2 = 3
• La parte literal es xy ²

Grado Monomio

La suma de los valores de los exponentes de las variables en la expresión se denomina grado de monomio o grado monomio. Si las variables no tienen ningún valor de exponente, su valor implícito es 1.

Ejemplo:

4xy ³ , En este exponente el valor de x es 1. 

grado de expresión es 3 + 1 = 4.

Operaciones con monomios 

Las operaciones aritméticas que se realizan sobre la expresión del monomio son la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Suma de dos monomios:

Cuando sumamos dos monomios con la misma parte literal, resultará en una expresión monomio. 

Ejemplo:

Suma de 2xy + 4xy = 6xy

Resta de dos monomios:

Cuando restamos dos monomios con la misma parte literal, resultará en una expresión monomio.

Resta de 6ab – 4ab = 2ab.

Multiplicación de dos monomios:

Cuando multiplicamos dos monomios con la misma parte literal, resultará en una expresión monomio.

Producto de 2a ² b * 6x = 12a ² bx

División de dos monomios:

Cuando dividimos dos monomios con la misma parte literal, resultará en una expresión monomio.

División de x ⁶ por x ² = x ⁴

Binomio

Una expresión algebraica que contiene dos términos distintos de cero se conoce como binomio. Se expresa en la forma ax ^m + bx ⁿ donde a y b son números, x es variable, m y n son enteros distintos no negativos.

Ejemplos:

• g + 3m es un binomio en dos variables g y m.
• 3a ⁴ – 5b ²  es un binomio en dos variables a y b.
• -4x ² – 9y es un binomio en dos variables x e y.
• a ² /4 + b/2 es un binomio en dos variables a y b.

ecuación binomial

Cualquier ecuación que contiene uno o más binomios se conoce como ecuación binomial.

Ejemplo:

v = u + 1/2 en ²

Operaciones con binomios

Pocas operaciones básicas con binomios son 

• Factorización
• Suma
• Sustracción
• Multiplicación
• Elevando a la enésima potencia
• Conversión a binomios de orden inferior

Factorización:

Un binomio se puede expresar como el producto de los otros dos.

Ejemplo: 

a ² – b ² se puede expresar como (a + b) (a – b).

Suma:

Se pueden sumar dos binomios si ambos contienen la misma variable y el mismo exponente.

Ejemplo:

(2a ² + 3b) + (4a ² + 5b) = 6a ² + 8b

Sustracción: 

Es similar a la suma, dos binomios deben contener la misma variable y exponente.

Ejemplo:

(6a ² + 3b) – (2a ² + 5b) = 4a ² – 2b

Multiplicación:

Cuando multiplicamos dos binomios se usa la propiedad distributiva y termina con cuatro términos. En este método, la multiplicación se lleva a cabo multiplicando cada término del primer factor por el segundo factor.

Ejemplo:

(ax + b) (mx + n) se puede expresar como amx ² + (an + mb) x + bn

Elevando a la potencia n: 

Un binomio puede elevarse a la n-ésima potencia y expresarse como (x + y) ⁿ

Convirtiendo a binomios de orden inferior:

Los binomios de orden superior se pueden factorizar en binomios de orden inferior, como los cubos se pueden factorizar en productos de cuadrados y otro monomio.

Ejemplo:

a ³ + b ³ se puede expresar como (a + b) (a ² – ab + b ² ).

Polinomio

Una expresión algebraica que contiene uno, dos o más términos se conoce como polinomio.

Ejemplos: 

• 3a + 4b es un polinomio de dos términos a y b.
• 2a ³ + 3b ² + 4m – 5x + 6k es un polinomio de cinco términos en cinco variables.
• a + 2a ² + 3a ³ + 4a ⁴ + 5a ⁵ + 6a ⁶  es un polinomio de seis términos en una variable.

Tipos de polinomios

• Monomio: una expresión algebraica que contiene solo un término distinto de cero se conoce como monomio. Un monomio es un tipo de polinomio, como binomio y trinomio, que es una expresión algebraica que tiene un solo término, que es distinto de cero.
• Binomial: Una expresión algebraica que contiene dos términos distintos de cero se conoce como binomial. Se expresa en la forma ax ^m + bx ⁿ donde a y b son números, x es variable, m y n son enteros distintos no negativos.
• Trinomio: Una expresión algebraica que contiene tres términos distintos de cero se conoce como Trinomio. Por ejemplo, a + b + c es un trinomio en tres variables a, b y c.

Grado de un polinomio

En la ecuación del polinomio, la variable que tiene el exponente más alto se llama grado del polinomio. 

Ejemplo:

3a ⁵ + 4a ³ – 2a + 6

El grado del polinomio anterior es 5.

Ecuaciones polinómicas

La forma estándar de representar una ecuación polinomial es poner el grado más alto primero y el término constante al final.

Ejemplo: 

x ⁴ + 2x ³ + 3x ² + x + 5

resolver polinomios

Podemos resolver fácilmente polinomios utilizando conceptos básicos de álgebra y factorización, en general, mientras que el primer paso para resolver polinomios es establecer el lado derecho en 0.

Resolviendo Polinomio Lineal:

1. El primer paso es aislar el término variable
2. Luego, haz que la ecuación sea igual a 0
3. Resuélvelo usando operaciones básicas de álgebra.

Ejemplo: Resuelve 4a – 8?

Solución:

4a – 2 = 0

=> 4a = 8

=> un = 8 / 4

=> un = 2

Resolución de polinomio cuadrático:

1. El primer paso es reescribir la expresión en orden descendente de grado.
2. A continuación, equipararlo a 0
3. Realiza la factorización de polinomios.

Ejemplo: Resuelve 4a ² – 4a + a ³ – 16?

Solución:

Reordenando, a ³ + 4a ² – 4a – 16

=> un ³ + 4a ² – 4a – 16 = 0

=> un ² (un + 4) – 4 (un + 4) = 0

=> (un + 4) (un ² – 4) = 0

La solución es a = -4 y a ² = 4

Aplicaciones

Multiplicación de monomios

Ejemplo: Multiplique 4a y 3ba ³ ?

Solución: 

Primero necesitamos agrupar Coeficientes y Variables

(4 * 3) (a * a ³ ) (b)

Aplicar la ley exponencial,

12a ¹⁺ 3b

12a 4b ^_

Multiplicación de tres o más monomios

Ejemplo: Multiplicar a ² , 2ab ³ , 4ab?

Solución: 

(4 * 2) (a ² * a * a) (b ³ * b)

8a 4b ^{4 _}

Multiplicación de monomio por binomio

Ejemplo: ¿Multiplicar 2a por a + 4?

Solución: 

(2a * a) + (2a * 4)

2a ² + 8a

Multiplicación de monomio por trinomio 

Ejemplo: Multiplicar 3a por 2a ² + 3ab + 4?

Solución: 

(3a * 2a ² ) + (3a * 3ab) + (3a * 4)

6a ³ + 9a 2b ⁺ 12a

Multiplicación de binomios por un binomio

Ejemplo: ¿Multiplicar 4a + 3 y 2a +1?

Solución: 

4a (2a + 1) + 3 (2a + 1) [ahora es como la multiplicación de monomio y binomio]

8a ² + 4a + 6a + 3

8a ² + 10a + 3

Multiplicación de Binomios y Trinomios 

Ejemplo: ¿ Multiplicar 4a + 1 y a ² + 2a + 1?

Solución: 

4a (un ² + 2a + 1) + 1 (un ² + 2a + 1)

4a ² + 8a + 4a + a ² + 2a + 1

5a ² + 14a + 1

Multiplicación de polinomio y monomio 

Ejemplo: ¿Multiplicar a ³ + a ² + a + b + 3 y 4a?

Solución: 

(4a * a ³ ) + (a ² * 4a) + (a * 4a) + (b * 4a) + (3 * 4a)

4a ⁴ + 4a ³ + 4a ² + 4ab + 12a

Multiplicación de polinomio y polinomio

Ejemplo: Multiplicar 2x ⁴ + 3x ⁵ + 4 y 2x + 1?

Solución: 

(2x ⁴ * 2x) + (3x ⁵ * 2x) + (4 * 2x) + (2x ⁴ * 1) + (3x ⁵ * 1) + (4 * 1)

2x ⁵ + 6x ⁶ + 8x + 2x ⁴ + 3x ⁵ + 4

6x ⁶ + 5x ⁵ + 2x ⁴ + 8x + 4