Triángulo armónico de Leibniz

Posted on by Rudeus Greyrat

El triángulo armónico de Leibniz es una disposición triangular de fracciones unitarias en las que las diagonales exteriores consisten en los recíprocos de los números de fila y cada celda interior es la celda diagonalmente superior ya la izquierda menos la celda a la izquierda. Para decirlo algebraicamente, L(r, 1) = 1/r , donde r es el número de la fila, comenzando desde 1, y c es el número, nunca más que r y L(r, c) = L(r – 1, c – 1) – L(r, c – 1).

Leibniz harmonic triangle

Relación con el triángulo de Pascal 
Mientras que cada entrada en el triángulo de Pascal es la suma de las dos entradas en la fila de arriba, cada entrada en el triángulo de Leibniz es la suma de las dos entradas en la fila de abajo. Por ejemplo, en la quinta fila, la entrada (1/30) es la suma de los dos (1/60) de la sexta fila. 
Así como el triángulo de Pascal se puede calcular usando coeficientes binomiales, también se puede calcular el de Leibniz: 
L(r, c)=\frac{1}{r*^{r-1}\textrm{C}_(_c-_1_)}
Propiedades 
Si uno toma los denominadores de la n-ésima fila y los suma, entonces el resultado será igual a n.2 n-1 . Por ejemplo, para la fila 3, tenemos 3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 22.
Dado un número entero positivo n . La tarea es imprimir el triángulo armónico de Leibniz de altura n.

Ejemplos:  

Input : n = 4
Output :
1
1/2 1/2
1/3 1/6 1/3
1/4 1/12 1/12 1/4

Input : n = 3
Output :
1
1/2 1/2
1/3 1/6 1/3

A continuación se muestra la implementación de la impresión del triángulo armónico de Leibniz de altura n basada en la relación anterior con el triángulo de Pascal.  

C++

// CPP Program to print Leibniz Harmonic Triangle
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
// Print Leibniz Harmonic Triangle
void LeibnizHarmonicTriangle(int n)
{
    int C[n + 1][n + 1];
 
    // Calculate value of Binomial Coefficient in
    // bottom up manner
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= min(i, n); j++) {
 
            // Base Cases
            if (j == 0 || j == i)
                C[i][j] = 1;
 
            // Calculate value using previously
            // stored values
            else
                C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];
        }
    }
 
    // printing Leibniz Harmonic Triangle
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            cout << "1/" << i * C[i - 1][j - 1] << " ";
 
        cout << endl;
    }
}
 
// Driven Program
int main()
{
    int n = 4;
    LeibnizHarmonicTriangle(n);
    return 0;
}

Java

// Java Program to print
// Leibniz Harmonic Triangle
import java.io.*;
import java.math.*;
 
class GFG {
     
    // Print Leibniz Harmonic Triangle
    static void LeibnizHarmonicTriangle(int n)
    {
        int C[][] = new int[n + 1][n + 1];
     
        // Calculate value of Binomial
        // Coefficient in bottom up manner
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= Math.min(i, n);
                                          j++) {
     
                // Base Cases
                if (j == 0 || j == i)
                    C[i][j] = 1;
     
                // Calculate value using
                // previously stored values
                else
                    C[i][j] = C[i - 1][j - 1] +
                              C[i - 1][j];
            }
        }
     
        // printing Leibniz Harmonic Triangle
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++)
                System.out.print("1/" + i * C[i - 1][j - 1]
                                          + " ");
     
            System.out.println();
        }
    }
     
    // Driven Program
    public static void main(String args[])
    {
        int n = 4;
        LeibnizHarmonicTriangle(n);
    }
}
 
// This code is contributed by Nikita Tiwari

Python3

# Python3 Program to print
# Leibniz Harmonic Triangle
 
# Print Leibniz Harmonic
# Triangle
def LeibnizHarmonicTriangle(n):
    C = [[0 for x in range(n + 1)]
            for y in range(n + 1)];
             
    # Calculate value of Binomial
    # Coefficient in bottom up manner
    for i in range(0, n + 1):
        for j in range(0, min(i, n) + 1):
             
            # Base Cases
            if (j == 0 or j == i):
                C[i][j] = 1;
                 
            # Calculate value using
            # previously stored values
            else:
                C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] +
                           C[i - 1][j]);
                           
    # printing Leibniz
    # Harmonic Triangle
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, i + 1):
            print("1/", end = "");
            print(i * C[i - 1][j - 1],
                           end = " ");
        print();
 
# Driver Code
LeibnizHarmonicTriangle(4);
 
# This code is contributed
# by mits.

C#

// C# Program to print Leibniz Harmonic Triangle
using System;
 
class GFG {
     
    // Print Leibniz Harmonic Triangle
    static void LeibnizHarmonicTriangle(int n)
    {
        int [,]C = new int[n + 1,n + 1];
     
        // Calculate value of Binomial
        // Coefficient in bottom up manner
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= Math.Min(i, n);
                                        j++) {
     
                // Base Cases
                if (j == 0 || j == i)
                    C[i,j] = 1;
     
                // Calculate value using
                // previously stored values
                else
                    C[i,j] = C[i - 1,j - 1] +
                            C[i - 1,j];
            }
        }
     
        // printing Leibniz Harmonic Triangle
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++)
                Console.Write("1/" + i * C[i - 1,j - 1]
                                        + " ");
     
        Console.WriteLine();
        }
    }
     
    // Driven Program
    public static void Main()
    {
        int n = 4;
         
        LeibnizHarmonicTriangle(n);
    }
}
 
// This code is contributed by vt_m.

PHP

<?php
// PHP Program to print
// Leibniz Harmonic Triangle
 
// Print Leibniz Harmonic Triangle
function LeibnizHarmonicTriangle($n)
{
     
    // Calculate value of
    // Binomial Coefficient in
    // bottom up manner
    for ($i = 0; $i <= $n; $i++)
    {
        for ($j = 0; $j <= min($i, $n); $j++)
        {
 
            // Base Cases
            if ($j == 0 || $j == $i)
                $C[$i][$j] = 1;
 
            // Calculate value
            // using previously
            // stored values
            else
                $C[$i][$j] = $C[$i - 1][$j - 1] +
                                 $C[$i - 1][$j];
        }
    }
 
    // printing Leibniz
    // Harmonic Triangle
    for ($i = 1; $i <= $n; $i++)
    {
        for ($j = 1; $j <= $i; $j++)
            echo "1/", $i * $C[$i - 1][$j - 1], " ";
 
        echo "\n";
    }
}
 
    // Driver Code
    $n = 4;
    LeibnizHarmonicTriangle($n);
     
// This code is contributed by aj_36
?>

Javascript

<script>
 
// JavaScript Program to print
// Leibniz Harmonic Triangle
 
    // Print Leibniz Harmonic Triangle
    function LeibnizHarmonicTriangle(n)
    {
        let C = new Array(n + 1);
         
        // Loop to create 2D array using 1D array
        for (let i = 0; i < C.length; i++) {
                C[i] = new Array(2);
        }
       
        // Calculate value of Binomial
        // Coefficient in bottom up manner
        for (let i = 0; i <= n; i++) {
            for (let j = 0; j <= Math.min(i, n);
                                          j++) {
       
                // Base Cases
                if (j == 0 || j == i)
                    C[i][j] = 1;
       
                // Calculate value using
                // previously stored values
                else
                    C[i][j] = C[i - 1][j - 1] +
                              C[i - 1][j];
            }
        }
       
        // printing Leibniz Harmonic Triangle
        for (let i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (let j = 1; j <= i; j++)
                document.write("1/" + i * C[i - 1][j - 1]
                                          + " ");
       
            document.write("<br/>");
        }
    }
 
// Driver Code
        let n = 4;
        LeibnizHarmonicTriangle(n);
   
  // This code is contributed by avijitmondal1998.
</script>

Producción: 

1/1 
1/2 1/2 
1/3 1/6 1/3 
1/4 1/12 1/12 1/4

Complejidad temporal : O(n 2 ) para n dado

Espacio Auxiliar: O(n 2 )

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anuj0503 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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