Unión e Intersección de Conjuntos

Los conjuntos son la colección bien definida de datos/objetos. Los datos/objetos pertenecen al mismo grupo pero cada dato difiere entre sí. Por ejemplo, si la palabra “aplicación” se tiene que poner en un Conjunto, se verá algo así como, Conjunto A= {a, p, l, i, c, t, o, n}, las letras que se repiten en la palabra, como “p”, “a”, “i” solo se escriben una vez ya que son los mismos elementos repetidos.

Tipos de conjuntos

Hay diferentes tipos de conjuntos basados ​​en qué tipo de elemento y cuántos elementos están presentes en el conjunto, puede haber 5 elementos, o 1 elemento, o finito pero demasiados elementos, o ningún elemento en absoluto en el conjunto. Echemos un vistazo a los tipos,

• Conjunto Singular ⇢ Un conjunto que tiene un solo elemento. Por ejemplo, A= {1}, B= {e}, C= {a: a∈N, 5<a>7}.
• Conjunto nulo ⇢ Los conjuntos nulos son aquellos en los que no está presente ningún elemento. Los conjuntos nulos también se conocen como conjunto vacío o conjunto vacío. Los conjuntos nulos existen para explicar ciertos parámetros, por ejemplo, si una pregunta pide poner los números en un conjunto que son mayores que 8 y menores que 6, ¿existen números? No. Por lo tanto, en tal caso, Conjunto nulo ⇢ {}/
• ⇢ Los conjuntos finitos tienen un número finito de elementos, la cantidad de elementos no juega un papel importante, siempre que haya un número finito de elementos presentes en el conjunto, el conjunto se llamará 
• un conjunto finito. Por ejemplo, A= {a, e, i, o, u}, B= {1, 3, 5, 7, 9….95, 97, 99}.
• Conjunto Infinito ⇢ Los conjuntos infinitos son aquellos en los que están presentes un número infinito de elementos, es posible tener el número infinito de elementos en el conjunto. Por ejemplo, si alguien pregunta por los números naturales, y se requiere ponerlos en un conjunto, los números naturales parten del 1, pero luego son infinitos, van hasta el infinito, por lo tanto, los elementos en el conjunto de todos -los números naturales serán infinitos. Los conjuntos infinitos se denotan con puntos al final del último elemento escrito para mostrar que sube hasta el infinito. Por ejemplo, A= {2, 4, 6, 8, 10, 12….}

Establecer operaciones

En la teoría de conjuntos, es muy común ver dos o más dos conjuntos que muestran algún tipo u otro de relación. Los conjuntos pueden tener datos comunes entre ellos, lo que es más probable que suceda, los conjuntos a veces no tienen datos comunes, se conocen como conjuntos mutuamente independientes. Veamos ciertas operaciones basadas en la relación entre conjuntos,

unión de un conjunto

La unión de un conjunto se define como el conjunto que contiene todos los elementos presentes en el conjunto A O el conjunto B. La palabra «O» se usa para representar la unión de un conjunto, lo que significa que si los datos existen en A o B, ser parte de la Unión del conjunto. El símbolo utilizado para denotar la Unión de un Conjunto es “∪”. La definición estándar se puede escribir como, si x ∈ A ∪ B, entonces x ∈ A o x ∈ B. El diagrama de Venn para A ∪ B es,

Propiedades:

• A∪ B= B ∪ A [Propiedad conmutativa]
• (A ∪ B) ∪ C= A ∪ (B ∪ C) [Propiedad asociativa]
• UN ∪ ∅= UN
• UN ∪ U = U

Un buen ejemplo práctico para Unión de dos conjuntos puede ser dos amigos invitando a sus otros amigos a la fiesta, ahora hay una alta posibilidad de que haya amigos que son comunes entre ellos, ahora no tiene sentido invitarlos dos veces, por lo tanto, el los amigos que son comunes solo son invitados una vez y el resto de los amigos también están invitados, así es como se verá la unión de un conjunto de amigos.

Intersección de un Conjunto 

La intersección de un conjunto se define como el conjunto que contiene todos los elementos presentes en el conjunto A y el conjunto B. La palabra «Y» se usa para representar la intersección de los conjuntos, lo que significa que los elementos en la intersección están presentes tanto en A como en B. B. El símbolo utilizado para denotar la Intersección del conjunto es “∩”. La definición estándar se puede escribir como, si x ∈ A ∩ B, entonces x ∈ A y x ∈ B. El diagrama de Venn para A ∩ B es,

Propiedades

• A∩ B= B∩ A [Propiedad conmutativa]
• (A∩ B) ∩ C= A∩ (B ∩ C) [Propiedad asociativa]
• A∩ U= A
• A∩

Un buen ejemplo práctico de la intersección de dos conjuntos puede ser este, imagine que dos amigos están organizando una fiesta y deciden invitar solo a aquellos amigos que son amigos mutuos de ellos. Escribieron los nombres de sus amigos y luego vieron a los amigos que son comunes e invitaron solo a esos, esto se puede llamar Intersección del conjunto de amigos.

Complemento de un Conjunto

El complemento de un conjunto involucra todos los datos menos los datos del conjunto. Los datos que están presentes en el conjunto Universal excluyendo los datos del conjunto mismo son el Complemento del conjunto. El complemento del complemento de un conjunto es el propio conjunto. Se denota como A’ o A ^c .

A’ o A ^c = U- A

Propiedades:

• A ∪ A’= U
• A ∩ A’=

,

(A

unión de los conjuntos

A∪B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Intersección del conjunto A y B

A∩B= {5, 6}

unión de los conjuntos

P∪ Q∪ R= {a, e, yo, o, tu, pag, q, r, s, t, j, k, l, m, n}

Intersección de los conjuntos

P∩ Q∩ R= ∅ 

La intersección de los conjuntos P, Q y R es un conjunto nulo ya que ningún elemento es común entre los tres conjuntos.

Complemento del conjunto X,

X’= U-X= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}

Complemento del conjunto Y,

Y’= U- Y= {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14}

unión de conjuntos,

X∪ Y= {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15}

Intersección de conjuntos,

X ∩ Y= {6, 12}

,

Propiedad asociativa para la unión de conjuntos,

(A∪ B) ∪ C = A∪ (B∪ C)

Para LHS, A∪ B= {a, b, c, d, e, f, g, h}

(A∪ B) ∪ C= {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}

Para RHS, B∪ C= {d, e, f, g, h, i, j, k}

A∪ (B∪ C)= {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}

Por lo tanto, LHS = RHS

Pregunta 5: Demuestre la Ley de De Morgan para los conjuntos A y B dados a continuación cuando el conjunto Universal se da como,

U = {10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 48 , 50}

A = {10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}

B = {10, 20, 30, 40, 50}

Solución:

La ley de De Morgan se da como,

(A∪ B)’= A’∩ B’

IZQ ⇢ A∪ B= {10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}

(A ∪ B)’= {12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, 32, 34, 36, 38, 42, 44, 46, 48}

RHS ⇢ A’= {12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, 32, 34, 36, 38, 42, 44, 46, 48}

B’= {12, 14, 15, 16, 18, 22, 24, 25, 26, 28, 32, 34, 35, 36, 38, 42, 44, 45, 46, 48}

A’∩ B’= {12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, 32, 34, 36, 38, 42, 44, 46, 48}

Por lo tanto, LHS = RHS 

B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}

C = {2, 3, 6, 10, 12, 15, 18}

Solución:

La propiedad asociativa para la intersección de los conjuntos A y B se da como,

(A∩B) ∩C= A∩ (B∩C)

LHS⇢ A∩ B= {6, 12, 18}

(A∩B) ∩C= {6, 12, 18}

RHS⇢ B∩ C= {3, 6, 12, 15, 18}

A∩ (B ∩ C)= {6, 12, 18}

Por lo tanto, LHS = RHS