El sistema numérico es una forma de representar números. En matemáticas, hay diferentes tipos de números presentes. Algunos de ellos son números reales, enteros, números enteros, números racionales e irracionales, pares, impares, etc. El sistema numérico proporciona una representación única para cada número. También hay diferentes tipos de sistemas numéricos presentes en las matemáticas, como sistemas numéricos decimales, sistemas numéricos binarios, sistemas numéricos octales y sistemas numéricos hexadecimales. Así que define un sistema para representar los números.
El valor de cada dígito en un número está determinado por tres condiciones.
- Valor nominal de cada dígito.
- Posición del dígito en un número. (Valor posicional)
- Base del sistema numérico.
Número racional
Un número racional es un número real de la forma a/b donde a y b son números enteros sin factor común y b≠0. Entonces, cualquier fracción con un denominador diferente a cero se considera un número racional. La diferencia entre una fracción y los números racionales es que las fracciones se componen de números enteros y los números racionales se componen de enteros. Los números racionales son finitos, decimales periódicos. Ejemplos de números racionales son 1/2, -3/7, 6/5, etc.
- 3 también es un número racional porque se puede expresar como 3/1.
- √4 también es un número racional porque simplificando da 2 que se expresa como 2/1.
- 1,5 también es un número racional porque se puede expresar como 3/2 (forma fraccionaria)
- Los decimales periódicos también se incluyen en números racionales como 3.33333…
Numero irracional
Los números irracionales son números reales que no se pueden representar como una fracción simple. Es una contradicción con los números irracionales porque no se pueden representar en forma de fracción. Cualquier número real que no se puede expresar en forma de p/q, donde p y q son números enteros y q ≠ 0 se consideran números irracionales. Los números irracionales son decimales infinitos que no se repiten. Ejemplos de números irracionales son √2, √5, √11, √3, etc.
Usa una prueba por contradicción para mostrar que no existe un número racional r para r 3 +r+1 = 0
Prueba:
Ecuación dada r 3 +r+1=0
Supongamos un número racional r=a/b donde a, b son números enteros y b≠0.
Hay tres consideraciones/casos aquí para a, b.
Caso 1: Si a es un número par entonces b es impar.
Caso 2: Si a es un número impar entonces b es un número par.
Caso 3: Tanto a como b son números impares que no tienen ningún factor común, es decir, 5/7
Sustituye r=a/b en la ecuación dada.
r 3 +r+1=0 ⇒ (a/b) 3 +(a/b)+1=0
(a 3 /b 3 )+(a/b)+1=0
(a 3 +ab 2 +b 3 )/b 3 =0
Multiplique la ecuación anterior con b 3 .
a 3 +ab 2 +b 3 =0 ——->(1)
Caso 1:
Si a es un número par y b es impar entonces
a 3 es un término par, ab 2 es un término par y b 3 es un término impar.
Entonces, por la suma de a 3 , ab 2 , b 3 ie Resolver la ecuación (1) da un término impar pero cero es un número par. Así que aquí hay una contradicción.
Caso 2:
Pasemos a otro caso donde a es un número impar y luego b es un número par
Entonces a 3 es un término impar, ab 2 es un término par y b 3 es un término par.
Entonces, el resultado de a 3 +ab 2 +b 3 da un número impar pero cero es un número par. Así que aquí también hay una contradicción.
Caso 3:
Veamos otro caso en el que tanto a como b son números impares sin factores comunes.
Entonces a 3 es un término impar, ab 2 es un término impar y b 3 también es un término impar.
Al resolver la ecuación->(1) sustituyendo los términos impares da como resultado un número impar pero el cero es un número par. Entonces hay una contradicción.
Toda nuestra suposición conduce a la contradicción.
Entonces, no hay un número racional r para r 3 + r + 1 = 0.
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Artículo escrito por rahulkl8471 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA