Valor absoluto de una variable

El valor absoluto de x se denota por |x|, pronunciado como «módulo x». “Módulo” es una palabra latina que significa “medida”. Los valores absolutos se conocen comúnmente como números o magnitudes. Los valores absolutos son solo valores numéricos y no incluyen el signo del valor numérico. Los coeficientes de cualquier cantidad vectorial siempre se consideran positivos y son absolutos. Además, las cantidades como la distancia, el precio, el volumen y el tiempo siempre se expresan como valores absolutos.

Ejemplo: |+5| = |5| = 5. 

Valor absoluto

Los valores absolutos significan la versión positiva de un número. El valor absoluto representa la distancia de 0 al número en la recta numérica. El valor absoluto de un número o entero es la distancia real de cero a un entero en una string de números. Por lo tanto, el valor absoluto siempre es positivo, no negativo.

El símbolo utilizado para el valor absoluto

La forma más común de representar el valor absoluto de un número o expresión es encerrarlo en dos líneas rectas verticales, denominadas símbolo de valor absoluto y representadas por ” | | “. 

p.ej. | +7 | = 7 .

Los valores absolutos siempre dan valores no negativos. Entonces | +4 |=| -4 | =4. Es decir, convierte números negativos en números positivos.

Valores absolutos de una variable

Si el número x es real, el valor absoluto satisface la siguiente condición: 

| x | = x si x ≥ 0

| x | = – x si x ≤ 0 

Veamos el valor absoluto de x en la siguiente recta numérica. Aquí |x| es la distancia de x a 0 (cero). Entonces, tanto +x como -x están a una distancia de x del origen. 

Dado que la distancia no se mide negativamente, esto cuenta como x. 

                                                               

Valor absoluto de 0

Hemos discutido los valores absolutos de números positivos y negativos.

Ahora analicemos el valor absoluto de cero. 0 no es ni positivo ni negativo, por lo que el valor absoluto de 0 es 0. Dado que la distancia del número 0 es de 0 a 0, podemos decir que el valor absoluto de 0 es 0.

Significado gráfico de la función de valor absoluto

El valor absoluto de un número está representado por | un |. Este valor o número representa la distancia entre a y 0 en una recta numérica. Las ecuaciones de valor absoluto son ecuaciones que contienen expresiones para valores absolutos. La ecuación para valores absolutos es: Hay dos formas de desigualdad de valor absoluto. 

| un | = +a para a≥ 0

| un | = -a para a ≤ 0

En la definición de una función de valor absoluto, el valor | un | según el signo de a. | a |= +a o -a. También sabemos que √{a ² } = +a o -a. 

Entonces √{a ² } = | un | .

Valor absoluto del número complejo

Los números complejos están formados por números reales e imaginarios.

Entonces, a diferencia de los números enteros, es difícil encontrar valores absolutos. Suponga que a+ib es un número complejo dado, por ejemplo, z = a+ib. 

El valor absoluto dez es | z |=√[Re(z) ² +Im(z) ² ]

|z| =√(a ² +b ² ) donde a y b son números reales.

P.ej. | 3+ 4i | = √(3 ² +4 ² ) = √ (9 + 16) = √(25) = 5.

Propiedades de valor absoluto

Si a, b y c son números reales y sus valores absolutos satisfacen las siguientes propiedades:

1.  No negatividad : el absoluto de un número siempre es no negativo, | un | ≥ 0. 
2.  Definición positiva: | un | = 0 ↔ un = 0
3.  Multiplicatividad :   | un × segundo | = |un| × |b| .
4.  Subaditividad : | un + segundo | ≤ | un | + | segundo | .
5.  Simetría :  | -a | = | un | .
6.  Identidad de indiscernible (equivalente a definición positiva): | un-b | = 0 ↔ un = segundo
7.  Desigualdad triangular (equivalente a subaditividad) : | un-b | ≤ | una-c | + | c-b |
8.  Preservación de la división (equivalente a la multiplicación) : | un/b | = | un | / | segundo |
9.  Equivalente a subaditividad :  | un ± segundo | ≥ | | un | – | segundo | | .

Problemas de muestra

Problema 1: ¿Qué es un valor absoluto en álgebra? 

Solución:

El valor absoluto de un número se define como un valor numérico independientemente del signo del número. Da la distancia del 0 al número en la recta numérica. El valor absoluto de un número es siempre un número no negativo.

Problema 2: ¿Para qué se usa un valor absoluto? 

Solución:

El valor absoluto se usa para decir el valor numérico de una cantidad, independientemente del signo de la cantidad. Numerosas cantidades, como la longitud, el precio y el volumen, no tienen significado para los símbolos y se escriben sin símbolos. El concepto de valores absolutos es útil aquí para representar tales cantidades.

Problema 3: ¿Cuáles son las reglas básicas para los valores absolutos?

Solución:

La regla básica de los valores absolutos es que el valor absoluto de cualquier número siempre es no negativo. Si el número es un entero positivo, el valor absoluto del número es positivo. Es decir, |11| = 11. Si el número es un entero negativo, el valor absoluto también es positivo en este caso. Es decir, | -17 | = 17.

Problema 4: ¿Qué pasa si la ecuación de valor absoluto es cero? 

Solución:

Si solo hay una solución, obtienes una expresión de valor absoluto igual a cero. Como esto significa que la distancia desde el cero de la recta numérica es cero, solo podemos obtener una ecuación.

Problema 5: Resuelve 3 | x – 2 | = 15.

Solución:

3 | x – 2 | = 15

| x – 2 | = 5 

x – 2 = 5 o x – 2 = -5

x = 7 o x = -5 + 2 = -3 .

Problema 6: Resolver | 2x ² – 1 | = | x ² + 2 | 

Solución:

Dado | 2x ² – 1 | = | x ² + 2 | 

usando la propiedad , | x | = | y | ⇒ x = ± y.

2x ² – 1 = x ² + 2 y 2x ² – 1 = – ( x ² +2 )

⇒ x ² = 3 y 2x ² -1 = -x ² -2

⇒ x = ±√ 3 y 3x ² = -1 

⇒ x = ±√ 3 y x = ±√( -1 / 3 ) = ± i / √ 3 = ± √( 3 ) i / 3

⇒ x = ±√ 3 y x = ± (√3) i / 3 .

Problema 7: ¿Cuál es el valor de 5 | 7x – 1 | si x = – 2 ?

Solución:

Dado,

5 | 7x – 1 | = 5 | 7(-2) – 1 | , como x = – 2 ( dado )

= 5 | -14 -1 | = 5 | -15 | = 5 ( 15 ) = 75.

 entonces, valor de 5 | 7x – 1 | = 75 , cuando x=-2 .