En esta publicación, discutiremos las variables aleatorias binomiales.
Prerrequisito: Variables aleatorias
Un tipo específico de variable aleatoria discreta que cuenta con qué frecuencia ocurre un evento particular en un número fijo de intentos o intentos.
Para que una variable sea una variable aleatoria binomial, se deben cumplir TODAS las siguientes condiciones:
- Hay un número fijo de ensayos (un tamaño de muestra fijo).
- En cada prueba, el evento de interés ocurre o no.
- La probabilidad de ocurrencia (o no) es la misma en cada prueba.
- Los juicios son independientes entre sí.
Notaciones Matemáticas
n = number of trials p = probability of success in each trial k = number of success in n trials
Ahora tratamos de encontrar la probabilidad de k éxito en n intentos.
Aquí la probabilidad de éxito en cada prueba es p independiente de otras pruebas.
Entonces, primero elegimos k ensayos en los que habrá un éxito y en el resto nk ensayos habrá un fracaso. El número de formas de hacerlo es
Dado que todos los n eventos son independientes, la probabilidad de k éxito en n intentos es equivalente a la multiplicación de la probabilidad de cada intento.
Aquí es k éxito y nk fracasos, por lo que la probabilidad de que cada manera logre k éxito y nk fracaso es
Por lo tanto, la probabilidad final es
(number of ways to achieve k success and n-k failures) * (probability for each way to achieve k success and n-k failure)
Entonces la probabilidad de variable aleatoria binomial viene dada por:
Sea X una variable aleatoria binomial con el número de intentos ny la probabilidad de éxito en cada intento sea p.
El número esperado de éxitos está dado por
E[X] = np
La varianza del número de éxitos está dada por
Var[X] = np(1-p)
Ejemplo 1 : considere un experimento aleatorio en el que se lanza una moneda sesgada (probabilidad de cara = 1/3) 10 veces. Encuentre la probabilidad de que el número de caras que aparezcan sea 5.
Solución:
Let X be binomial random variable with n = 10 and p = 1/3 P(X=5) = ?
Aquí está la implementación para el mismo
C++
// C++ program to compute Binomial Probability
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
// function to calculate nCr i.e., number of
// ways to choose r out of n objects
int nCr(int n, int r)
{
// Since nCr is same as nC(n-r)
// To decrease number of iterations
if (r > n / 2)
r = n - r;
int answer = 1;
for (int i = 1; i <= r; i++) {
answer *= (n - r + i);
answer /= i;
}
return answer;
}
// function to calculate binomial r.v. probability
float binomialProbability(int n, int k, float p)
{
return nCr(n, k) * pow(p, k) *
pow(1 - p, n - k);
}
// Driver code
int main()
{
int n = 10;
int k = 5;
float p = 1.0 / 3;
float probability = binomialProbability(n, k, p);
cout << "Probability of " << k;
cout << " heads when a coin is tossed " << n;
cout << " times where probability of each head is " << p << endl;
cout << " is = " << probability << endl;
}
Java
// Java program to compute Binomial Probability
import java.util.*;
class GFG
{
// function to calculate nCr i.e., number of
// ways to choose r out of n objects
static int nCr(int n, int r)
{
// Since nCr is same as nC(n-r)
// To decrease number of iterations
if (r > n / 2)
r = n - r;
int answer = 1;
for (int i = 1; i <= r; i++) {
answer *= (n - r + i);
answer /= i;
}
return answer;
}
// function to calculate binomial r.v. probability
static float binomialProbability(int n, int k, float p)
{
return nCr(n, k) * (float)Math.pow(p, k) *
(float)Math.pow(1 - p, n - k);
}
// Driver code
public static void main(String[] args)
{
int n = 10;
int k = 5;
float p = (float)1.0 / 3;
float probability = binomialProbability(n, k, p);
System.out.print("Probability of " +k);
System.out.print(" heads when a coin is tossed " +n);
System.out.println(" times where probability of each head is " +p);
System.out.println( " is = " + probability );
}
}
/* This code is contributed by Mr. Somesh Awasthi */
Python3
# Python3 program to compute Binomial
# Probability
# function to calculate nCr i.e.,
# number of ways to choose r out
# of n objects
def nCr(n, r):
# Since nCr is same as nC(n-r)
# To decrease number of iterations
if (r > n / 2):
r = n - r;
answer = 1;
for i in range(1, r + 1):
answer *= (n - r + i);
answer /= i;
return answer;
# function to calculate binomial r.v.
# probability
def binomialProbability(n, k, p):
return (nCr(n, k) * pow(p, k) *
pow(1 - p, n - k));
# Driver code
n = 10;
k = 5;
p = 1.0 / 3;
probability = binomialProbability(n, k, p);
print("Probability of", k,
"heads when a coin is tossed", end = " ");
print(n, "times where probability of each head is",
round(p, 6));
print("is = ", round(probability, 6));
# This code is contributed by mits
C#
// C# program to compute Binomial
// Probability.
using System;
class GFG {
// function to calculate nCr
// i.e., number of ways to
// choose r out of n objects
static int nCr(int n, int r)
{
// Since nCr is same as
// nC(n-r) To decrease
// number of iterations
if (r > n / 2)
r = n - r;
int answer = 1;
for (int i = 1; i <= r; i++)
{
answer *= (n - r + i);
answer /= i;
}
return answer;
}
// function to calculate binomial
// r.v. probability
static float binomialProbability(
int n, int k, float p)
{
return nCr(n, k) *
(float)Math.Pow(p, k)
* (float)Math.Pow(1 - p,
n - k);
}
// Driver code
public static void Main()
{
int n = 10;
int k = 5;
float p = (float)1.0 / 3;
float probability =
binomialProbability(n, k, p);
Console.Write("Probability of "
+ k);
Console.Write(" heads when a coin "
+ "is tossed " + n);
Console.Write(" times where "
+ "probability of each head is "
+ p);
Console.Write( " is = "
+ probability );
}
}
// This code is contributed by nitin mittal.
PHP
<?php
// php program to compute Binomial
// Probability
// function to calculate nCr i.e.,
// number of ways to choose r out
// of n objects
function nCr($n, $r)
{
// Since nCr is same as nC(n-r)
// To decrease number of iterations
if ($r > $n / 2)
$r = $n - $r;
$answer = 1;
for ($i = 1; $i <= $r; $i++) {
$answer *= ($n - $r + $i);
$answer /= $i;
}
return $answer;
}
// function to calculate binomial r.v.
// probability
function binomialProbability($n, $k, $p)
{
return nCr($n, $k) * pow($p, $k) *
pow(1 - $p, $n - $k);
}
// Driver code
$n = 10;
$k = 5;
$p = 1.0 / 3;
$probability =
binomialProbability($n, $k, $p);
echo "Probability of " . $k;
echo " heads when a coin is tossed "
. $n;
echo " times where probability of "
. "each head is " . $p ;
echo " is = " . $probability ;
// This code is contributed by nitin mittal.
?>
Javascript
<script>
// Javascript program to compute Binomial Probability
// function to calculate nCr i.e., number of
// ways to choose r out of n objects
function nCr(n, r)
{
// Since nCr is same as nC(n-r)
// To decrease number of iterations
if (r > n / 2)
r = n - r;
let answer = 1;
for (let i = 1; i <= r; i++) {
answer *= (n - r + i);
answer /= i;
}
return answer;
}
// function to calculate binomial r.v. probability
function binomialProbability(n, k, p)
{
return nCr(n, k) * Math.pow(p, k) *
Math.pow(1 - p, n - k);
}
// driver program
let n = 10;
let k = 5;
let p = 1.0 / 3;
let probability = binomialProbability(n, k, p);
document.write("Probability of " +k);
document.write(" heads when a coin is tossed " +n);
document.write(" times where probability of each head is " +p);
document.write( " is = " + probability );
// This code is contributed by code_hunt.
</script>
Producción:
Probability of 5 heads when a coin is tossed 10 times where probability of each head is 0.333333 is = 0.136565
Referencia :
stat200
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Artículo escrito por GeeksforGeeks-1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA