Variables Aleatorias Binomiales y Distribución Binomial – Probabilidad

Una variable aleatoria binomial se puede definir por dos posibles resultados, como «éxito» y «fracaso». Por ejemplo, considere lanzar un dado justo de seis caras y registrar el valor de la cara. La fórmula de distribución binomial se puede utilizar para calcular la probabilidad de éxito de las distribuciones binomiales. A menudo, indica «complementar» los números a la fórmula y calcula los valores necesarios.

La distribución binomial se basa en las siguientes características:

El experimento contiene n ensayos idénticos.
Cada prueba da como resultado uno de los dos resultados, ya sea éxito o fracaso.
La probabilidad de éxito, denotada por p, sigue siendo la misma de una prueba a otra.
Todos los n ensayos son independientes.

Reconocer la variable binomial

Para reconocer la variable binomial, se aplican las siguientes condiciones:-

Número fijo de ensayos.
Todos los juicios son independientes entre sí.
Cada sendero tiene dos posibilidades.
- Éxito
- Falla
La probabilidad de éxito se define por (p) y la probabilidad de fracaso se define por (1-q).

Por ejemplo, considere la siguiente instancia

Una moneda justa se lanza 20 veces; X representa el número de cabezas.

X es binomial con n = 20 y p = 0,5.

Si se cumplen las cuatro condiciones anteriores, la variable aleatoria (n) = número de éxitos (p) en las pruebas es una variable aleatoria binomial con

La media (valor esperado) es: μ = Σxp
La Varianza es: Var(X) = Σx ² p − μ ²
La Desviación Estándar es: σ = √Var(X)

Regla del diez por ciento de asumir la independencia

La condición del 10% de asumir la independencia define que los tamaños de muestra no deben ser más del 10% de la población.

La regla del 10% de la condición de suposición de independencia normalmente se aplica a los siguientes casos:-

Mientras extrae muestras sin reemplazo. Por ejemplo, en el teorema del límite central.
Cuando hay proporciones de dos grupos
Resolver diferencias de medias para poblaciones muy pequeñas o una muestra extremadamente grande.
Mientras se ocupa de los juicios de Bernoulli.

Nota: Usualmente, el 10% de las condiciones mencionadas no encontrarán medias estadísticas. Para las medias, las muestras suelen ser más pequeñas, lo que hace que la condición sea necesaria solo si se toma una muestra de una población muy pequeña.

La condición se aplica en los ensayos de Bernoulli, donde en la gran mayoría de los casos se muestrea sin reemplazo.

Distribución binomial

Una distribución binomial se define como la probabilidad de un resultado de ÉXITO o FALLO en un experimento que se repite varias veces. Por ejemplo, en un experimento de lanzamiento de una moneda cara o cruz y realizar una prueba podría tener dos resultados posibles: Aprobado o Reprobado.

En la fórmula binomial, el número de veces que se ejecuta el experimento se denota por n

La probabilidad de un resultado específico se denota por p.

Por ejemplo, en un experimento para conocer la probabilidad de obtener un 5 en una tirada de dado. Si lanzara un dado 10 veces, la probabilidad de sacar un uno en cualquier tiro es 1/6. Tira diez veces y tienes una distribución binomial de (n = 10, p = 1/6).

ÉXITO = si la tirada es 5 en un dado.

FALLO = si la tirada en el dado es distinta de 5.

La fórmula de distribución binomial es:

b(x; n, P) = ⁿ C _x * Px * (1 – P)n – x

dónde:

b = definido como una probabilidad binomial
x = Es el número total de “éxitos” (pasa o falla, cara o cruz, etc.)
P = La probabilidad de éxito en un ensayo individual
n = Define el número de intentos

Nota: La fórmula binomial mencionada anteriormente también se puede escribir como:

ⁿ C _x = n! / x!(n – x)!

Visualización de una Distribución Binomial

Considere un ensayo de n Distribución binomial independiente. El ÉXITO en ‘n’ ensayos independientes se define por la probabilidad ‘p’ en distribución binomial con parámetros n y p.

Por ejemplo, en un experimento de lanzar una moneda justa. El número de caras en 20 lanzamientos de una moneda tiene una distribución binomial con parámetros

n = 20 yp = 50%.

El valor esperado de la distribución binomial se define de la siguiente manera:

norte × pag

El error estándar de la distribución binomial se define como

(n × p × (1 – p)) ^½

Si se cumplen las cuatro condiciones siguientes, la variable aleatoria es binomial:

Número fijo de ensayos = n
Cada ensayo tiene dos resultados posibles:
- éxito
- falla.
La probabilidad de éxito se establece = p
Todas las pruebas deben ser independientes, lo que significa que la salida de una prueba no debe depender de las demás.

Ejemplo de distribución binomial

En un experimento de lanzar una moneda al aire 10 veces, la probabilidad de obtener exactamente 6 caras se puede calcular como:

b(x; n, P) – ⁿ C _x * P ^x * (1 – P) ^{n – x}

Ejemplo:

El número de ensayos (n) = 10

Éxito («lanzar hacia adelante») = 0,5

q= 1 – p = 0,5, x = 6

Solución:

P(x = 6) = ¹⁰ C ₆ * 0.5^6 * 0.5^4

= 210 * 0.015625 * 0.0625

P(x = 6) = 0,205078125

Generalizando k puntajes en n intentos

Fórmula de probabilidad binomial:

$P(X=k)=Success^{times}. Failure^{times}.\binom{n}{k}$

luego resolviendo los resultados anteriores en,

$P(X=k)=\binom{n}{k}.Success^{k}. Failure^{n-k}$

También puede escribirse simplemente como,

P(X = r) = Combinations × P(yes) × P(no)

Las combinaciones, aquí está la fórmula:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Derivación de la distribución binomial

Los resultados de las distribuciones binomiales generalmente se representan como ÉXITO y FALLO. Las notaciones habituales que se utilizan para denotar tales notaciones son

p = probabilidad de éxito,
q = probabilidad de falla = 1 – p

Por lo tanto, p + q = 1.

En un ensayo de Bernoulli, cada repetición de un experimento implica solo 2 resultados.

Independiente: en esto, el resultado de un ensayo no afecta el resultado de otro ensayo.
Repetido: en esto, las condiciones siguen siendo las mismas en cada prueba. Establece que p y q permanecen constantes a través de los ensayos.

En una distribución binomial,

Las probabilidades de interés son las de obtener un cierto número de aciertos = r,

En n ensayos independientes, cada uno con solo dos resultados posibles y la misma probabilidad, p, de éxito.

Lo siguiente definido es el número de formas diferentes que muestra que N cosas distintas pueden organizarse en orden es

N! = (1)(2)(3)...(N-1)(N), (where 0! = 1)

A continuación se menciona el número de formas de seleccionar r combinaciones distintas de N objetos, independientemente de un orden válido, se representa como

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Apliquemos la fórmula binom{n-1}{k-1} a esta expresión y simplifiquemos el resultado que se muestra a continuación:

$\binom{n-1}{k-1} = \frac{(n-1)!}{((n-1)-(k-1))!(k-1)!}$
$=\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}$

Es más,

$\binom{n-1}{k-1}=\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}$

Siguiendo las propiedades de la función factorial como se muestra a continuación:

$x! = x.(x-1)!$

Use la fórmula anterior para derivar la propiedad del coeficiente binomial,

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n(n-1)!}{(n-k)!k(k-1)!}$

ahora usando la propiedad conmutativa de la multiplicación (x . y = y . x), el lado derecho se puede reescribir como,

$\frac{n}{k}.\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}$

Ahora, usando las ecuaciones anteriores podemos igualar,

$k.\binom{n}{k}=k.\frac{n}{k}\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}$
$=n.\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}$

Ahora, la identidad final se puede concluir como,

$k.\binom{n}{k} = n.\binom{n-1}{k-1}$

Distribución binomial de tiros libres

Considere un escenario para encontrar el mejor lanzador de tiros libres en su equipo de baloncesto de la escuela secundaria. Para encontrar un porcentaje de tiros libres de temporada, se utiliza la distribución binomial de tiros libres

Para esto, considere un ejemplo de distribución binomial gráfica:

Considere la variable p que representará el porcentaje de tiros libres de su mejor lanzador de tiros libres. Si la precisión del lanzamiento de tiro es del 90%

Entonces p = 0.9, p representa la probabilidad de un “éxito”

Para encontrar la probabilidad de que el atleta haga 3 de 10 tiros si su porcentaje de tiros libres es del 90%.

Usando la fórmula binomial:

b(x; n, P) – nCx * Px * (1 – P)n – x

Usando la calculadora: binompdf (10, 0.90, 3).

Ejemplo:

$P(X=3)=\binom{10}{3}(9)^{3}(1)^{7}$

De manera similar, al calcular los valores de P(X = 2) a P(X = 10) se obtienen los siguientes valores:

Solución:

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P(X)	.006	.04	.121	.215	.251	.201	.111	.042	.011	.002	.000

Considerando los valores anteriores se obtiene el siguiente gráfico:

Distribución binomial n=10, p=2

Funciones binompdf y binomcdf

La función binompdf en las calculadoras TI 83 u 84 se usa para encontrar la probabilidad de exactamente cierto número de éxitos.

P(X = c) = binompdf(n, p, c)

dónde,

n = número de senderos

p = número de éxito

c = probabilidad de éxito exactamente c, para el número c.

Ejemplo: Una moneda justa se lanza 100 veces. ¿Cuál es la probabilidad binompdf de que aparezcan caras exactamente 52 veces?

Solución: usando la fórmula binomial

$P(X=k)=\binom{n}{k}.Success^{k}. Failure^{n-k}$

= binompdf (número de intentos, probabilidad de ocurrencia, número de eventos específicos)

= binompdf (n, p, r)

La función binomcdf en la calculadora TI-84. Se puede usar para resolver problemas donde la probabilidad es menor o igual a un número de éxitos de un cierto número de intentos.

Ejemplo: Para calcular la probabilidad de obtener menos o igual de 45 éxitos de 100 intentos, se utiliza el siguiente método;

P(X = c) = binomcdf(n, p, c)

dónde,

n = el número de ensayos

p = la probabilidad de éxito de cualquier prueba en particular

c = número de éxitos.

Ejemplo 4: Se lanza una moneda justa 100 veces. ¿Cuál es la probabilidad binomcdf de que haya como máximo 52 caras?

Solución:

binomcdf (número de intentos, probabilidad de ocurrencia, número de eventos específicos)

= binomcdf (n, p, r)

Ejemplo: En una hamburguesería el 70% de las personas prefieren comer una hamburguesa no vegetariana mientras que otros prefieren comer otra cosa. ¿Cuál es la probabilidad de vender 2 hamburguesas no vegetarianas a los siguientes 3 clientes?

Solución:

Todas las probabilidades de «hamburguesa no vegetariana» resultan ser 0,147 porque

0,147 = 0,7 × 0,7 × 0,3

O, usando exponentes:= 0.72 × 0.31

El 0.7 es la probabilidad de cada elección que queremos, llámalo p

El 2 es el número de opciones que queremos, llámalo k= pk × 0.31

El 0.3 es la probabilidad de la elección opuesta, entonces es: 1−p

Usando la fórmula = pk(1 – p)(n – k)

Donde p es la probabilidad de cada elección que queremos

k es el número de opciones que queremos

n es el número total de opciones

p = 0,7 (posibilidad de hamburguesa no vegetariana)

k = 2 (opciones de hamburguesas no vegetarianas)

n = 3 (opciones totales)

Entonces obtenemos: pk(1-p)(nk) = 0.72(1-0.7)(3-2)

= 0,72(0,3)(1)

= 0,7 × 0,7 × 0,3

= 0,147

Otras tres posibilidades son: (no vegetariano, no vegetariano, otro) o (no vegetariano, otro, no vegetariano) o (otro, no vegetariano, no vegetariano)

n! k! / (nk)! = 3!2!(3-2)!

= 3×2×12×1 × 1

= 3

3 (Número de resultados que queremos) × 0,147 (Probabilidad de cada resultado) = 0,441

Por lo tanto, el 70 % elige hamburguesas no vegetarianas, por lo que 7 de los siguientes 10 clientes deberían elegir hamburguesas no vegetarianas

p = 0,7

norte = 10

k = 7

Y obtenemos: pk(1-p)(nk) = 0.77(1-0.7)(10-7)

= 0,77(0,3)(3)

= 0.0022235661

Y el número total de esos resultados es:

n!k!/(nk)! =10!7!/(10-7)!

= 10×9×8×7×6×5×4×3×2×17×6×5×4×3×2×1 × 3×2×1

= 10×9×83×2×1

=120

120 (Número de resultados que queremos) × 0,0022235661 (Probabilidad de cada resultado) = 0,266827932

Entonces, la probabilidad de que 7 de cada 10 elijan una hamburguesa no vegetariana es solo del 27%

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por kaurbal1698 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Variables Aleatorias Binomiales y Distribución Binomial – Probabilidad | Clase 12 Matemáticas

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