Variables aleatorias discretas – Probabilidad | Clase 12 Matemáticas

En probabilidad, una variable aleatoria es una variable cuyo valor es el resultado de un experimento aleatorio. Las variables aleatorias se clasifican en variables aleatorias discretas y continuas. Como su nombre probablemente sugiere, las variables aleatorias discretas toman valores discretos o, en otros términos, el número de valores que toma una variable aleatoria discreta es contable, mientras que la variable aleatoria continua, la variable toma todos los valores presentes en un intervalo particular y, por lo tanto, es no contable. 

Ejemplos de una variable aleatoria discreta

Un ejemplo muy básico y fundamental que viene a la mente cuando se habla de variables aleatorias discretas es el lanzamiento de un dado estándar imparcial. Un dado estándar imparcial es un dado que tiene seis caras y las mismas posibilidades de que cualquier cara salga en la parte superior. Teniendo en cuenta que realizamos este experimento, está bastante claro que solo hay seis resultados para nuestro experimento. Por lo tanto, nuestra variable aleatoria puede tomar cualquiera de los siguientes valores discretos del 1 al 6. Matemáticamente, la colección de valores que toma una variable aleatoria se denota como un conjunto. En este caso, sea X la variable aleatoria. 

Así, X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Otro ejemplo popular de una variable aleatoria discreta es el lanzamiento de una moneda. En este caso, la variable aleatoria X puede tomar solo una de las dos opciones de cara o cruz. 

Por lo tanto, X = {H, T}

Ejemplo de una variable aleatoria continua 

Considere un experimento generalizado en lugar de realizar un experimento en particular. Suponga que en su experimento, el resultado de este experimento puede tomar valores en algún intervalo (a, b). Eso significa que todos y cada uno de los puntos del intervalo pueden tomarse como valores de resultado cuando realiza el experimento. Por lo tanto, no tiene valores discretos en este conjunto de valores posibles, sino un intervalo 

Así, X= {x: x pertenece a (a, b)}

Construcción de una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta 

Una distribución de probabilidad es una forma de distribuir las probabilidades de todos los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria. Antes de construir cualquier tabla de distribución de probabilidad para una variable aleatoria, las siguientes condiciones deben ser válidas simultáneamente al construir cualquier tabla de distribución 

• Todas las probabilidades asociadas a cada posible valor de la variable aleatoria deben ser positivas y entre 0 y 1
• La suma de todas las probabilidades asociadas con cada variable aleatoria debe sumar 1

Ejemplo:
considere el siguiente problema en el que se lanza un dado estándar y se sabe que la probabilidad de cualquier
cara es proporcional al cuadrado del número obtenido en su cara. Obtenga la tabla de distribución de probabilidad
asociada con este experimento

Solución: 

Dado que P(x) ∝ x => P(x) = kx ² donde k es la constante de proporcionalidad yx son los números del 1 al 6 
También de las dos condiciones enumeradas anteriormente sabemos que la suma de todas las probabilidades es 1 
Entonces ∑ kx ² = 1 cuando la suma varía sobre x 
=> k + 4k + 9k + 16k + 25k + 36k = 1 
=> 91k =1 
=> k = 1/91

Así sustituyendo este valor de k en cada probabilidad podemos obtener la probabilidad de cada variable aleatoria y luego formando una tabla obtenemos         
 

X	1	2	3	4	5	6
P(x)	1/91	4/91	9/91	16/91	25/91	36/91

Comprobación de la validez de una distribución de probabilidad 

Cualquier tabla de distribución de probabilidad válida debe satisfacer las dos condiciones mencionadas anteriormente, a saber 

• Todas las probabilidades asociadas a cada posible valor de la variable aleatoria deben ser positivas y entre 0 y 1
• La suma de todas las probabilidades asociadas con cada variable aleatoria debe sumar 1

Ejemplo:
Comprobar si las siguientes tablas de distribución de probabilidad son válidas o no

a) 

X	1	2	5	7
P(x)	0.2	0.1	0.1	0.6

Esta es una tabla de distribución válida porque  

• Todas las probabilidades individuales están entre 0 y 1
• La suma de todas las probabilidades individuales suman 1

b) 

X	0	1	2	3	4	5
P(x)	0.32	0.28	0.1	-0.4	0.2	0.1

Esta no es una tabla de distribución válida porque 

• Hay un caso de una probabilidad negativa

C) 

X	1	2	3	4
P(x)	0.4	0.2	0.25	0.1

Esta no es una tabla de distribución válida porque 

• La suma de todas las probabilidades individuales no suman 1 aunque sean positivas y estén entre 0 y 1. Para que una tabla sea una tabla de distribución válida ambas condiciones deben cumplirse simultáneamente

Ejemplo de modelo de probabilidad: el modelo de yogur helado 

El modelo de yogur helado es básicamente una situación en la que una persona hace cola fuera de una tienda para comprar yogur helado. La persona acude a la tienda a una hora determinada todos los días y anota el número de personas que esperan en la cola. Ahora, se supone que el propietario de la tienda es una persona muy eficiente y atiende los pedidos rápidamente, por lo que no puede haber más de 2 personas esperando en la cola esperando sus pedidos. 

Digamos que anota las siguientes observaciones después de ir a la tienda durante 50 días 

Número de personas en cola	Frecuencia
0	14
1	25
2	11

Ahora suponga que la persona visita la tienda el día 51. ¿Qué tan probable es que vea que hay 
a) 0 personas en la cola
b) 1 persona en la cola 
c) 2 personas en la cola 

Solución: 

En primer lugar, necesitamos construir nuestra tabla de distribución de probabilidad que dé la probabilidad de que la longitud de nuestra cola sea de 0, 1 o 2 personas.
Usando la fórmula de probabilidad básica que 
                                                                 P(x) = Resultados favorables/Resultados totales 

Aplicando esto a cada fila obtenemos la tabla de probabilidad como 

X	P(x)
0	14/50 = 0,28
1	25/50 = 0,5
2	11/50 = 0,22

Ahora, la persona que va a comprar su yogur helado el día 51 vería que 
a) La probabilidad de que haya 0 personas en la cola es 0,28
b) La probabilidad de que haya 1 persona en la cola es 0,5
c) La probabilidad de que haya 2 personas en la cola la cola es 0.22

Nota: durante cualquier experimento práctico como el modelo de yogur helado, las probabilidades se vuelven más y más precisas a medida que aumenta el número de observaciones de la muestra.

Expectativa o el valor esperado de una variable aleatoria 

Una «expectativa» o el «valor esperado» de una variable aleatoria es el valor que esperaría que tuviera el resultado de algún experimento en promedio.
La expectativa se denota por E(X) 

La expectativa de una variable aleatoria se puede calcular según el tipo de variable aleatoria que tenga. 

Para una variable aleatoria discreta, E(X) = ∑x * P(X = x)

Para una variable aleatoria continua, E(X) = ∫x * f(x)          

dónde,

Los límites de integración son -∞ a + ∞ y

f(x) es la función de densidad de probabilidad  

Expectativa de una variable aleatoria discreta 

Para una variable aleatoria discreta, como se mencionó anteriormente, la expectativa es E(X) = ∑ x * P(X = x). El siguiente ejemplo ilustraría la definición y el cálculo de la expectativa un poco más claramente 

Ejemplo: ¿Cuál es la expectativa cuando se lanza un dado imparcial estándar?

Solución: 

Lanzar un dado justo tiene 6 resultados posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con una probabilidad igual de 1/6

Sea X el resultado del experimento

Así P(X=1) = 1/6

         P(X=2) = 1/6

         P(X=3) = 1/6

         P(X=4) = 1/6

         P(X=5) = 1/6

         P(X=6) = 1/6

Así, E(X) = ∑ x * P(X=x)

          E(X) = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/ 6)

          E(X) = 7/2 = 3,5     

Este valor esperado intuitivamente también tiene sentido porque 3.5 está a medio camino entre los valores posibles que el dado puede

tomar y por lo tanto este es el valor que podría esperar.           

Propiedades de la expectativa

• En general, para cualquier función f(x), la expectativa es   E[f(x)] = ∑ f(x) * P(X = x) 
• Si k es una constante entonces E(k) = k
• Si k es una constante y f(x) es una función de x entonces E[kf(x)] = k E[f(x)]
• Sean c ₁ y c ₂ constantes y u ₁ y u ₂ funciones de x entonces E = c ₁ E[u ₁ (x)] + c ₂ E[u ₂ (x)]

Ejemplo: Dado E(X) = 4 y E(X ² ) = 6, encuentre el valor de E(3X ² – 4X + 2)

Solución:

Usando las diversas propiedades de la expectativa enumeradas anteriormente, obtenemos

E(3X2 – 4X + 2) = 3 * E(X2) – 4 * E(X) + E(2)

= 3 * 6 – 4 * 4 + 2

= 4    

Así, E(3X2 – 4X + 2) = 4                                                                                

Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta

La varianza y la desviación estándar son las medidas de dispersión de una variable aleatoria más prominentes y comúnmente utilizadas. En términos simples, el término spread indica qué tan lejos o cerca está el valor de una variable de un punto de referencia.
La varianza de X se denota por Var(X) y la desviación estándar es básicamente la raíz cuadrada de la varianza. 

Matemáticamente, para una variable aleatoria discreta X, Var(X) = E(X ² ) – [E(X)] ² 

Propiedades de la varianza 

• Var(k) = 0 cuando k es una constante
• Var[aX + b] = a ² Var(X)

Ejemplo 1: encuentre la varianza y la desviación estándar cuando se lanza un dado justo 

Solución:

A partir de uno de los ejemplos mencionados anteriormente, descubrimos que cuando se lanza un dado justo, E(X) = 3,5

Además, para encontrar la Varianza, necesitaríamos encontrar E(X2)

Usando las propiedades de Expectativa, E(X2) = ∑ x2 * P(X=x)

Así, E(X2) = 1*(1/6) + 4*(1/6) + 9*(1/6) + 16*(1/6) + 25*(1/6) + 36*( 1/6)

                  = 91/6 = 15,16

Y así Var(X) = 15.16 – (3.5)2

                          = 2.916 = 35/12

 La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza

 Por lo tanto, Desviación estándar = 1.7076 

Ejemplo 2: encuentre la varianza y la desviación estándar de la siguiente tabla de distribución de probabilidad

X	0	1	2	3
P(X)	0.1	0.2	0.4	0.3

Solución:

En primer lugar, debemos verificar si esta tabla de distribución es válida o no.

Vemos que las dos condiciones que son necesarias para que una tabla de distribución sea válida se cumplen simultáneamente aquí. Por lo tanto, esta es una tabla de distribución válida.

Ahora para encontrar la varianza, necesitamos E(X) y E(X2)

E(X) = 0 * 0,1 + 1 * 0,2 + 2 * 0,4 + 3 * 0,3

Por tanto, E(X) = 1,9

E(X2) = 0 * 0,1 + 1 * 0,2 + 4 * 0,4 + 9 * 0,3

Por tanto, E(X2) = 4,5

Así Var(X) = 4.5 – (1.9)2

                   = 0,89

Desviación estándar = (0,89)0,5 = 0,9433