La medición es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de varias formas geométricas. También tiene en cuenta las áreas y volúmenes de tales formas geométricas. Es la rama de las matemáticas que se ocupa de las medidas, como la articulación y aplicación de ecuaciones algebraicas para medir áreas, volúmenes y otras cualidades de forma geométrica, mientras que la geometría es la rama de las matemáticas que se ocupa de las relaciones espaciales.
Cono
Un cono es un objeto geométrico tridimensional sólido con una base circular y un borde afilado en la parte superior conocido como vértice. Tiene una sola cara y un solo vértice. Para un cono, no hay bordes. Es una forma con una parte superior curva y una base redonda. Un cono tiene una cara, un vértice y no tiene aristas. Su altura inclinada es la longitud del segmento de línea desde el pico del cono hasta cualquier punto en el círculo de la base del cono. Un cono circular recto es aquel que tiene su pico directamente sobre la base circular a una distancia perpendicular. Un cono oblicuo es aquel que no tiene su vértice directamente sobre la base circular.
Volumen de un cono
El volumen de un cono se define como la cantidad de espacio o capacidad que llena. El volumen de un cono se mide en unidades cúbicas como cm 3 , m 3 , in 3 , etc. Al girar un triángulo alrededor de cualquiera de sus vértices, se puede producir un cono. Un cono es una forma tridimensional sólida que tiene una base circular. Tiene una superficie curva. La altura perpendicular es la distancia de la base al vértice. Un cono se puede dividir en dos tipos: conos circulares rectos y conos oblicuos. El vértice del cono circular recto está verticalmente sobre el centro de la base, pero el vértice del cono oblicuo no está verticalmente sobre el centro de la base.
La fórmula para el volumen de un cono está dada por,
V =
dónde,
r = radio del cono,
h = altura del cono,
π = 22/7
Además, la relación entre el volumen del cono y la altura inclinada al aplicarle el teorema de Pitágoras está dada por,
h 2 + r 2 = L 2
=> h = √(L 2 – r 2 )
Por lo tanto, el volumen del cono en términos de su altura inclinada está dado por,
V =
Derivación
Supongamos que tenemos un cono de base circular cuyo radio es r y la altura es h.
Sabemos que el volumen de un cono es igual a un tercio del volumen de un cilindro que tiene el mismo radio de base y altura.
Entonces, el volumen se convierte en,
V = 1/3 x Área de base circular x Altura
= 1/3 x πr 2 xh
= πr 2 h/3
Esto deriva la fórmula para el volumen del cono.
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1. Encuentra el volumen de un cono para el radio de 7 cm y la altura de 14 cm.
Solución:
Tenemos, r = 7 y h = 14.
Volumen del cono = 1/3 πr 2 h
= (1/3) (22/7) (7) (7) (14)
= (1/3) (7) (7) (2)
= 32,66 cm3
Pregunta 2. Encuentra el volumen de un cono para el radio de 5 cm y la altura de 9 cm.
Solución:
Tenemos, r = 5 y h = 9.
Volumen del cono = 1/3 πr 2 h
= (1/3) (3.14) (5) (5) (9)
= (3.14) (5) (5) (3)
= 235,49 cm3
Pregunta 3. Encuentra el volumen de un cono para el radio de 7 cm y la altura de 12 cm.
Solución:
Tenemos, r = 7 y h = 12.
Volumen del cono = 1/3 πr 2 h
= (1/3) (22/7) (7) (7) (12)
= (22) (7) (4)
= 616cm3
Pregunta 4. Encuentra el volumen de un cono para el radio de 8 cm y la altura de 15 cm.
Solución:
Tenemos, r = 8 y h = 15.
Volumen del cono = 1/3 πr 2 h
= (1/3) (22/7) (8) (8) (15)
= (1/3) (22/7) (8) (8) (5)
= 335,02 cm 3
Pregunta 5. Encuentra el volumen de un cono para el diámetro de 24 cm y la altura inclinada de 13 cm.
Solución:
Tenemos, 2r = 24
=> r = 24/2
=> r = 12
Además, l = 13.
Volumen del cono = 1/3 πr 2 √(l 2 – r 2 )
= (1/3) (22/7) (12) (12) (√(13 2 – 12 2 )
= (1/3) (22/7) (12) (12) (5)
= 754,28 cm 3
Pregunta 6. Encuentra el volumen de un cono para el diámetro de 16 cm y la altura inclinada de 10 cm.
Solución:
Tenemos, 2r = 16
=> r = 16/2
=> r = 8
Además, l = 10.
Volumen del cono = 1/3 πr 2 √(l 2 – r 2 )
= (1/3) (22/7) (8) (8) (√(10 2 – 8 2 )
= (1/3) (22/7) (8) (8) (6)
= 402.048cm3
Pregunta 7. Encuentra el volumen de un cono para la altura de 8 cm y la altura inclinada de 17 cm.
Solución:
Tenemos h = 8 y l = 10.
Encuentre el valor de r.
r = √(l 2 – h 2 )
= √(17 2 – 8 2 )
= √(289 – 64)
= 15
Volumen del cono = 1/3 πr 2 h
= (1/3) (22/7) (15) (15) (8)
= (1/3) (22/7) (5) (15) (8)
= 1884,6 cm 3