Clase 10 Soluciones NCERT – Capítulo 3 Par de ecuaciones lineales en dos variables – Ejercicio 3.2

Pregunta 1. Forme el par de ecuaciones lineales en los siguientes problemas y encuentre sus soluciones gráficamente.

(i) 10 estudiantes de la Clase X tomaron parte en una prueba de Matemáticas. Si el número de niñas es 4 más que el número de niños, encuentre el número de niños y niñas que participaron en la prueba.

Solución:

Echemos,

Número de niñas = x

Número de niños = y

Según las condiciones dadas,

x + y = 10 -(1)

x – y = 4 -(2)

Entonces, para construir un gráfico, necesitamos encontrar al menos dos soluciones de la ecuación dada.  

Para la ecuación (1)

x + y = 10, Entonces, podemos usar la siguiente tabla para dibujar el gráfico:

X y
0 10
10 0

Para la ecuación (2)

x – y = 4, Entonces, podemos usar la siguiente tabla para dibujar el gráfico:

X y
0 -4
4 0

El gráfico será el siguiente para la Ecuación (1) y (2):

Ahora, del gráfico, podemos concluir que las líneas dadas se intersecan entre sí en el punto (7, 3).

Por lo tanto, el número de niñas es 7 y el número de niños es 3 en una clase.

(ii) 5 lápices y 7 bolígrafos juntos cuestan ₹ 50, mientras que 7 lápices y 5 bolígrafos juntos cuestan ₹ 46. Halla el costo de un lápiz y el de un bolígrafo.

Solución:

Echemos,

Costo de un lápiz = x

Costo de un lápiz = y

Según las condiciones dadas,

5x + 7y = 50              -(1)

7x + 5y = 46              -(2)

Entonces, para construir un gráfico, necesitamos encontrar al menos dos soluciones de la ecuación dada.  

Para la ecuación (1)

5x + 7y = 50, Entonces, podemos usar la siguiente tabla para dibujar el gráfico:

X y
3 5
10 0

Para la ecuación (2)

7x + 5y = 46, Entonces, podemos usar la siguiente tabla para dibujar el gráfico:

X y
3 5
8 -2

El gráfico será el siguiente para la Ecuación (1) y (2):

Ahora, del gráfico, podemos concluir que las líneas dadas se intersecan entre sí en el punto (3, 5).

Por lo tanto, el costo de un lápiz es ₹ 3 y el costo de un bolígrafo es ₹ 5.

Pregunta 2. Al comparar las razones  \frac{a1}{a2}, \frac{b1}{b2}, y  \frac{c1}{c2}, averigua si las rectas que representan los siguientes pares de ecuaciones lineales se cortan en un punto, son paralelas o coincidentes:

(i) 5x – 4y + 8 = 0; 7x + 6y – 9 = 0

Solución:

En las ecuaciones dadas, 

a1 = 5

a2 = 7

b1 = -4

b2 = 6

c1 = 8

c2 = -9

En ningún lugar

a1/a2 = 5/7

b1/b2 = -4/6 = -2/3

c1/c2 = 8/-9

Como aquí

\frac{a1}{a2} ≠ \frac{b1}{b2}

Por lo tanto, los pares de ecuaciones dados tienen una solución única y las líneas se intersecan exactamente en un punto.

(ii) 9x + 3y + 12 = 0; 18x + 6y + 24 = 0

Solución:

En las ecuaciones dadas,

a1 = 9

a2 = 18

b1 = 3

b2 = 6

c1 = 12

c2 = 24

En ningún lugar

a1/a2 = 9/18 = 1/2

b1/b2 = 3/6 = 1/2

c1/c2 = 12/24 = 1/2

Como aquí

\frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} = \frac{c1}{c2}

Por lo tanto, los pares de ecuaciones dados tienen infinitas soluciones y las rectas son coincidentes.

(iii) 6x – 3y + 10 = 0; 2x – y + 9 = 0

Solución:

En las ecuaciones dadas,

a1 = 6

a2 = 2

b1 = -3

b2 = -1

c1 = 10

c2 = 9

En ningún lugar

a1/a2 = 6/2 = 3

b1/b2 = -3/-1 = 3

c1/c2 = 10/9

Como aquí

\frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} ≠ \frac{c1}{c2}

Por lo tanto, los pares de ecuaciones dados no tienen solución y las líneas son paralelas y nunca se intersecan entre sí.

Pregunta 3. Al comparar las razones  \frac{a1}{a2}, \frac{b1}{b2}, y  \frac{c1}{c2}, averigua si el siguiente par de ecuaciones lineales son consistentes o inconsistentes.

(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7 

Solución:

En las ecuaciones dadas,

a1 = 3

a2 = 2

b1 = 2

b2 = -3

c1 = -5

c2 = -7

En ningún lugar

a1/a2 = 3/2

b1/b2 = 2/-3

c1/c2 = -5/-7

Como aquí

\frac{a1}{a2} ≠ \frac{b1}{b2}

Por lo tanto, los pares de ecuaciones dados tienen una solución única y las líneas se intersecan exactamente en un punto.

Par de ecuaciones lineales son CONSISTENTES.

(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9

Solución:

En las ecuaciones dadas,

a1 = 2

a2 = 4

b1 = -3

b2 = -6

c1 = -8

c2 = -9

En ningún lugar

a1/a2 = 2/4 = 1/2

b1/b2 = -3/-6 = 1/2

c1/c2 = -8/-9 = 8/9

Como aquí

\frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} ≠ \frac{c1}{c2}

Por lo tanto, los pares de ecuaciones dados no tienen solución y las líneas son paralelas y nunca se intersecan entre sí.

Un par de ecuaciones lineales son INCONSISTENTES.

(iii)  \frac{3}{2}x + \frac{5}{3}y = 7; 9x – 10y = 14

Solución:

En las ecuaciones dadas,

a1 = 3/2 

a2 = 9

b1 = 5/3 

b2 = -10

c1 = -7

c2 = -14

En ningún lugar

\frac{a1}{a2} = \frac{\frac{3}{2}}{9} = \frac{1}{6}

\frac{b1}{b2} = \frac{\frac{5}{3}}{-10} = \frac{-1}{6}

c1/c2 = -7/-14 = 1/2

Como aquí

\frac{a1}{a2} ≠ \frac{b1}{b2}

Por lo tanto, los pares de ecuaciones dados tienen una solución única y las líneas se intersecan exactamente en un punto.

Par de ecuaciones lineales son CONSISTENTES.

(iv) 5x – 3y = 11; – 10x + 6y = –22

Solución:

En las ecuaciones dadas,

a1 = 5

a2 = -10

b1 = -3

b2 = 6

c1 = -11

c2 = 22

En ningún lugar

a1/a2 = 5/-10 = -1/2

b1/b2 = -3/6 = -1/2

c1/c2 = -11/22 = -1/2

Como aquí

\frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} = \frac{c1}{c2}

Por lo tanto, los pares de ecuaciones dados tienen infinitas soluciones y las rectas son coincidentes.

Par de ecuaciones lineales son CONSISTENTES.

(v)  \frac{4}{3}x + 2y = 8; 2x + 3y = 12

Solución:

En las ecuaciones dadas,

a1 = 4/3 

a2 = 2

b1 = 2

b2 = 3

c1 = -8

c2 = -12

En ningún lugar

\frac{a1}{a2} = \frac{\frac{4}{3} }{2} = \frac{2}{3}

b1/b2 = 2/3

c1/c2 = -8/-12 = 2/3

Como aquí

\frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} = \frac{c1}{c2}

Por lo tanto, los pares de ecuaciones dados tienen infinitas soluciones y las rectas son coincidentes.

Par de ecuaciones lineales son CONSISTENTES.

Pregunta 4. ¿Cuáles de los siguientes pares de ecuaciones lineales son consistentes/inconsistentes? Si es consistente, obtenga la solución gráficamente: 

(yo) x + y = 5, 2x + 2y = 10

Solución:

En las ecuaciones dadas,

a1 = 1

a2 = 2

b1 = 1

b2 = 2

c1 = -5

c2 = -10

En ningún lugar

a1/a2 = 1/2

b1/b2 = 1/2

c1/c2 = -5/-10 = 1/2

Como aquí

\frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} = \frac{c1}{c2}

Por lo tanto, los pares de ecuaciones dados tienen infinitas soluciones y las rectas son coincidentes.

Par de ecuaciones lineales son CONSISTENTES.

x + y = 5              -(1)

2x + 2y = 10              -(2)

Entonces, para construir un gráfico, necesitamos encontrar al menos dos soluciones de la ecuación dada.  

Para la ecuación (1)

x + y = 5, Entonces, podemos usar la siguiente tabla para dibujar el gráfico:

X y
0 5
5 0

Para la ecuación (2)

2x + 2y = 10, Entonces, podemos usar la siguiente tabla para dibujar el gráfico:

X y
0 5
5 0

El gráfico será el siguiente para la Ecuación (1) y (2):

(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16

Solución:

En las ecuaciones dadas,

a1 = 1

a2 = 3

b1 = -1

b2 = -3

c1 = -8

c2 = -16

En ningún lugar

a1/a2 = 1/3

b1/b2 = 1/3

c1/c2 = -8/-16 = 1/2

Como aquí

\frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} ≠ \frac{c1}{c2}

Por lo tanto, los pares de ecuaciones dados no tienen solución y las líneas son paralelas y nunca se intersecan entre sí.

Un par de ecuaciones lineales son INCONSISTENTES.

(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0

Solución:

En las ecuaciones dadas,

a1 = 2

a2 = 4

b1 = 1

b2 = -2

c1 = -6

c2 = -4

En ningún lugar

a1/a2 = 2/4 = 1/2

b1/b2 = 1/-2

c1/c2 = -6/-4 = 3/2

Como aquí

\frac{a1}{a2} ≠ \frac{b1}{b2}

Por lo tanto, los pares de ecuaciones dados tienen una solución única y las líneas se intersecan exactamente en un punto.

Par de ecuaciones lineales son CONSISTENTES.

2x + y – 6 = 0              -(1)

4x – 2y – 4 = 0               -(2)

Entonces, para construir un gráfico, necesitamos encontrar al menos dos soluciones de la ecuación dada.  

Para la ecuación (1)

2x + y – 6 = 0, Entonces, podemos usar la siguiente tabla para dibujar el gráfico:

X y
0 6
3 0

Para la ecuación (2)

4x – 2y – 4 = 0, Entonces, podemos usar la siguiente tabla para dibujar el gráfico:

X y
0 -2
1 0

El gráfico será el siguiente para la Ecuación (1) y (2):

Ahora, del gráfico, podemos concluir que las líneas dadas se intersecan en el punto (2, 2).

(iv) 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0

Solución:

En las ecuaciones dadas,

a1 = 2

a2 = 4

b1 = -2

b2 = -4

c1 = -2

c2 = -5

En ningún lugar

a1/a2 = 2/4 = 1/2

b1/b2 = -2/-4 = 1/2

c1/c2 = -2/-5 = 2/5

Como aquí

\frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} ≠ \frac{c1}{c2}

Por lo tanto, los pares de ecuaciones dados no tienen solución y las líneas son paralelas y nunca se intersecan entre sí.

Un par de ecuaciones lineales son INCONSISTENTES.

Pregunta 5. La mitad del perímetro de un jardín rectangular, cuyo largo es 4 m más que su ancho, es de 36 m. Encuentra las dimensiones del jardín.

Solución:

Echemos,

longitud = x

ancho = y

La mitad del perímetro de un jardín rectangular =  \frac{2(x+y)}{2}  = x + y

Según las condiciones dadas,

x = y + 4              -(1)

x + y = 36               -(2)

Entonces, para construir un gráfico, necesitamos encontrar al menos dos soluciones de la ecuación dada.  

Para la ecuación (1)

x = y + 4, Entonces, podemos usar la siguiente tabla para dibujar el gráfico:

X y
0 -4
4 0

Para la ecuación (2)

x + y = 36, Entonces, podemos usar la siguiente tabla para dibujar el gráfico:

X y
0 36
36 0

El gráfico será el siguiente para la Ecuación (1) y (2):

Ahora, del gráfico, podemos concluir que las líneas dadas se intersecan en el punto (20, 16).

Por lo tanto, la longitud es de 20 my el aliento es de 16 m de rectángulo.

Pregunta 6. Dada la ecuación lineal 2x + 3y – 8 = 0, escribe otra ecuación lineal en dos variables tal que la representación geométrica del par así formado sea:

(i) líneas que se cruzan 

Solución:

Ecuación lineal en dos variables tal que el par así formado son líneas que se cruzan, por lo que debe satisfacer las condiciones dadas

\frac{a1}{a2} ≠ \frac{b1}{b2}

Reordenando, obtenemos

\frac{a1}{b1} ≠ \frac{a2}{b2}

Por lo tanto, la ecuación requerida no debe estar en una proporción de 2/3 

Por lo tanto, otra ecuación puede ser 2x – 9y + 9 = 0

donde la razón es 2/-9 

y, \frac{2}{3} ≠ \frac{2}{-9}

(ii) líneas paralelas

Solución:

Ecuación lineal en dos variables tal que el par así formado son líneas paralelas, por lo que debe satisfacer las condiciones dadas

\frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} ≠ \frac{c1}{c2}

Reordenando, obtenemos

\frac{a1}{b1} = \frac{a2}{b2}

\frac{b1}{c1} ≠ \frac{b2}{c2}

Por lo tanto, la ecuación requerida a2/b2 debe estar en una proporción de 2/3 y b2/c2 no debe ser igual a 3/-8 

Por lo tanto, otra ecuación puede ser 4x + 6y + 9 = 0

donde la relación a2/b2 es 2/3

y, \frac{b2}{c2} ≠ \frac{3}{-8}

(iii) líneas coincidentes

Solución:

Ecuación lineal en dos variables tal que el par así formado son líneas paralelas, por lo que debe satisfacer las condiciones dadas

\frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} = \frac{c1}{c2}

Reordenando, obtenemos

\frac{a1}{b1} = \frac{a2}{b2}

\frac{b1}{c1} = \frac{b2}{c2}

Por lo tanto, la ecuación requerida a2/b2 debe estar en una proporción de 2/3 y b2/c2 debe ser igual a 3/-8 

Por lo tanto, otra ecuación puede ser 4x + 6y -16 = 0

donde la relación a2/b2 es 2/3 

y, b2/c2 = 3/-8

Pregunta 7. Dibuja las gráficas de las ecuaciones x – y + 1 = 0 y 3x + 2y – 12 = 0. Determina las coordenadas de los vértices del triángulo formado por estas líneas y el eje x, y sombrea la región triangular.

Solución:

x – y + 1 = 0              -(1)

3x + 2y – 12 = 0              -(2)

Entonces, para construir un gráfico, necesitamos encontrar al menos dos soluciones de la ecuación dada.  

Para la ecuación (1)

x – y + 1 = 0, Entonces, podemos usar la siguiente tabla para dibujar el gráfico:

X y
0 -1
1 0

Para la ecuación (2)

3x + 2y – 12 = 0, Entonces, podemos usar la siguiente tabla para dibujar el gráfico:

X y
0 6
4 0

El gráfico será el siguiente para la Ecuación (1) y (2):

Ahora, del gráfico, podemos concluir que las líneas dadas se intersecan entre sí en el punto (2, 3) y el eje x en (−1, 0) y (4, 0). 

Por lo tanto, los vértices del triángulo son (2, 3), (−1, 0) y (4, 0).

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por adi1212 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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