La distribución binomial es la distribución de probabilidad de no. de ensayos de Bernoulli, es decir, si un ensayo de Bernoulli se realiza n veces, la probabilidad de éxito viene dada por una distribución binomial. Tenga en cuenta que cada prueba es independiente de otra prueba con solo dos posibles resultados que satisfacen las mismas condiciones de las pruebas de Bernoulli.
Considere el caso de lanzar una moneda n veces, la probabilidad de obtener exactamente x no. de caras/cruces se puede calcular utilizando la distribución binomial. Si en el mismo caso el lanzamiento de una moneda se realiza solo una vez, es lo mismo que la distribución de Bernoulli.
Se dice que una variable aleatoria X que toma los valores 1,2,…..n sigue una distribución binomial si su función de distribución de probabilidad está dada por
PAGS(X = r) = norte C r pags r q norte
Dónde,
r = 0, 1,2……, n, donde p, q>0 tal que p+q=1
p = probabilidad de éxito de un evento
q = probabilidad de falla de un evento
El valor medio o esperado de la distribución binomial
La media de la distribución binomial es la misma que la media de cualquier otra cosa que sea igual a la presentación del producto del no. de éxito y probabilidad en cada éxito.
Media = ∑ r r. P(r)
= ∑ r r norte C r pags r q norte
= ∑ r rn/r n-1 C r-1 pp r-1 q n-r [como norte C r = n/r n-1 C r-1 ]
= np ∑ r n-1 C r-1 p r-1 q (n-1)-(r-1)
= np(q+p) n-1 [por el teorema del binomio, es decir (a+b) n = ∑ k=0 n C k a n b n-k ]
=np [como p+q=1]
Por lo tanto, Media=np
La varianza de la distribución binomial
Sabemos que la varianza es la medida de qué tan separados están los números de la media del conjunto de datos. De manera similar, la varianza de la distribución binomial es la medida de cómo distribuir la probabilidad en cada no. de éxito de la probabilidad media, que es el promedio de las diferencias al cuadrado de la media.
Varianza = (∑ r r 2 . P(r)) – Media 2
= ∑ r [r(r-1)+r] norte C r pags r q n-r – (np) 2
= ∑ r r(r-1) norte C r pags r q n-r + ∑ r r norte C r pags r q n-r – (np) 2
= ∑ r r(r-1) n/r (n-1)/(r-1) n-2 C r-2 p 2 p r-2 q n-r +np – (np) 2
= n(n-1)p 2 {∑ r n-2 C r-2 p r-2 q n-r } +np – (np) 2
= n(n-1) p 2 (q+p) n-2 + np – n 2 p 2 [por el teorema del binomio, es decir (a+b) n = ∑ k=0 n C k a n b n-k ]
= n 2 p 2 -np 2 +np-n 2 p 2 [como p+q=1]
= np-np 2
= np(1-p)
= npq
Por lo tanto, Varianza=npq
La desviación estándar de la distribución binomial
La desviación estándar también es una medida estándar para saber cómo se distribuyen los no. del valor medio.
Desviación Estándar = (Varianza) 1/2
= (npq) 1/2
Ejemplo 1. Se lanza una moneda cinco veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 veces cara? También encuentre la media , la varianza y la desviación estándar.
Solución:
n = 5 (nº de ensayos)
p = probabilidad de obtener cara en cada prueba
=1/2
q = 1-1/2 = 1/2
r = 3 (número de éxitos, es decir, sacar cara)
P(X=r) = nCr pr qn-r
= 5C3 (1/2)3 (1/2)5-3
= 5!/(3!*2!) 1/8 * 1/4
= 10 *(1/8)*(1/4)
= 5/16
Media = np
= 5 * 1/2 = 5/2
Varianza = npq = 5 * 1/2 * 1/2
= 5/4
Desviación estándar = (5/4)1/
= 5 1/2 /2
Ejemplo 2. Se lanza un dado tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par? ¿Cuáles son la media , la varianza y la desviación estándar de la distribución binomial?
Solución:
Aquí, n = 3 (número de ensayos)
p = probabilidad de obtener un número par en cada ensayo
p = 3/6=1/2 [ 2,4,6 son pares no. en dados]
q = 1-1/2 = 1/2
r= 1 (número de éxitos, es decir, obtener un número par)
P(X=r)= n C r * pr * q n-r
= 3 C 1 (1/2)1 (1/2) 3-1
= 3!/(1!*2!) 1/2 * 1/4
= 3 * (1/2) * (1/4)
= 3/8
Media = np
= 3 * 1/2 = 3/2
Varianza = npq = 3 * 1/2 * 1/2
= 3/4
Desviación estándar= (3/4)1/2
=31/2/2
Ejemplo 3. Si la probabilidad de pernos defectuosos es 0.1, encuentre la media, la varianza y la desviación estándar para la distribución de pernos defectuosos en un total de 500 pernos.
Solución:
Considerando como un caso de distribución binomial,
n = 500 (cantidad de ensayos que podemos ser cant. de pernos aquí)
p = probabilidad de un perno defectuoso durante cada ensayo
p = 0,1
Q=1-0.1 =0.9
Media = np
= 500 * 0,1 = 50
Varianza = npq
= 500 * 0,1 * 0,9 = 45
Desviación estándar = (varianza) 1/2
= (45)1/2 = 6,71
Ejemplo 4. Se sacan sucesivamente dos cartas de un paquete de 52 cartas con reposición. Encuentre la distribución de probabilidad para no. de ases También encuentre la media , la varianza y la desviación estándar.
Solución:
n = 2 (número de ensayos)
p = probabilidad de obtener un as en cada intento
= 4/52 = 1/13
q = 1-1/13 = 12/13
r = no. de éxitos, es decir, no. de ases (0,1,2)
P(X=r) = 2Cr (1/13)r (12/13)2-r
Para r = 0
P(0) = 2C0 (1/13) (12/13) 2-0
= 144/169
Para r=1
P(1) = 2C1 (1/13)1 (12/13)2-1
= 24/169
Para r=2
P(2) = 2C2 (1/13) 2 (12/13)2-2
=1/169
Por lo tanto, la distribución de probabilidad se puede dar como:
X 0 1 2 P(X) 144/169 24/169 1/169 Media = np
= 2 * 1/13 = 2/13
Varianza = npq
= 2 * (1/13) * (12/13)
= 24/16
Desviación Estándar= (varianza)1/2
= (24/169)1/2 = 0,376
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por shubhigupta22 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA