Prueba: ¿Por qué no existe un número racional cuyo cuadrado sea 2?

Este artículo se centra en discutir la prueba de que no existe un número racional cuyo cuadrado sea 2. Antes de comenzar la prueba, familiaricémonos con los términos básicos:

Números Racionales
Un número que se puede expresar en forma de p/q, donde p y q son números enteros y q ≠ 0, se conoce como número racional. Los ejemplos son 0, 1, -1, 5/2, etc.

Declaración del problema:
No hay ningún número racional cuyo cuadrado sea 2.

Solución:
Comencemos con la prueba del enunciado del problema anterior. La prueba en este artículo se realizará utilizando una técnica matemática llamada Prueba por contradicción .

Prueba por contradicción
: es una técnica matemática, en la que primero se supone que la proposición que debe probarse es falsa y luego se deduce un resultado utilizando la proposición falsa, que resulta ser contradictoria con la suposición o con cualquier otra. resultado matemático comúnmente conocido. Por lo tanto, probar la validez de la proposición. Por eso esta técnica se conoce como Prueba por Contradicción.

Demostración-
En esta demostración se está utilizando la técnica de Demostración por Contradicción, donde primero se supone que existe un número racional, cuyo cuadrado es igual a 2, para luego deducir un resultado utilizando esta suposición, que resultará ser contradictorio con nuestra suposición. Asi que. Comencemos con la prueba-

1. Supongamos que existe un número racional, X = p/q cuyo cuadrado es igual a 2 tal que p y q están en su forma más simple, es decir, no tienen ningún factor común .

X2 = 2 (Assumption)
(p/q)2 = 2 (Since X is a rational number)

2. Esto implica,

p2/q2 = 2
p2 = 2q2 ---(1)

3. De la ecuación anterior, se puede decir que p 2 es un número entero par , ya que se puede expresar en forma de 2k, donde k = q 2 . Ahora bien, se sabe que el cuadrado de un entero impar siempre es impar , lo que significa que p no puede ser un entero impar, por lo que p también es un entero par. Por lo tanto, p puede expresarse en la forma 2k, donde k es un número entero, es decir

p = 2k, for some integer k ---(2)

3. Ahora, después de sustituir el valor de p de la ecuación (2) en la ecuación (1), se obtiene la siguiente ecuación:

(2k)2 = 2q2
4k2 = 2q2 ---(3)

3. Dividiendo ambos lados por 2, en la ecuación (3), se obtiene la siguiente ecuación-

2k2 = q2
q2 = 2k2 ---(4)

4. De nuevo, se puede decir que q 2 es un entero par, y como se sabe que el cuadrado de un entero impar siempre es impar, entonces q no puede ser un entero impar. Esto implica que q también es un número entero par.

5. Ahora, a partir de la discusión anterior, se puede concluir que p y q son ambos números pares, es decir, tienen un factor común de al menos 2, pero esta declaración contradice la suposición al comienzo de esta prueba de que p y q están en su forma más simple, es decir, no tienen ningún factor común. 

Esta contradicción significa que la suposición de que existe un número racional, X = p/q cuyo cuadrado es igual a 2 tal que p y q están en su forma más simple, es falsa . Por lo tanto, prueba que no existe ningún número racional, cuyo cuadrado sea igual a 2.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ajaysharma132 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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