El sistema numérico es un sistema de representación de números usando símbolos y dígitos de cierta manera. Uno puede pensar en él como un libro de gramática en matemáticas. Tan pronto como uno escucha esta palabra “Número” 1,2,3,…. obtener pop en la cabeza de uno inmediatamente. El sistema numérico define su valor, las operaciones a realizar y otras propiedades. Cada número es único. Tiene muchas variaciones. Así, puede ser considerado como número natural, número entero, número par, número impar, número primo, número compuesto, etc.
- Número natural : contiene números a partir del 1.
- Número entero : contiene números que comienzan desde 0.
- Número par : Números que son divisibles por 2.
- Número impar : Números que no son divisibles por 2.
- Número primo : números que son divisibles por 1 y solo por sí mismos. es decir, sólo dos factores.
- Número compuesto : números que son divisibles por 1 y por sí mismo y por otros. es decir, más de dos factores.
Álgebra
El álgebra es la rama de las matemáticas que enfatiza el uso de varios símbolos y las operaciones matemáticas que se pueden realizar con ellos. En Álgebra se utilizan símbolos como el alfabeto como a, b, c o x, y muchos otros cuyo valor no está predefinido. Su valor no es fijo, de ahí que se llamen variables. Se puede declarar cualquier cantidad de variables y definir el valor específico para ellas. Estos símbolos o variables se pueden manipular con la ayuda de operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación y división. Tratemos con una aplicación de álgebra que es la expresión algebraica.
Una expresión algebraica se compone de coeficientes, términos, variables y constantes, etc. y las personas tienen que determinar el valor de una variable desconocida con operaciones matemáticas.
Números naturales
Los números naturales son los números de conteo que comienzan desde 1 hasta el infinito. Se utilizan para fines de conteo. por ejemplo, 1,2,3,4,…. , son números naturales. Básicamente, los números naturales son una parte integral del sistema de números reales.
Sin embargo, los números naturales no incluyen cero, fracción, decimal, números negativos.
Un conjunto de números naturales se denota por N tal que N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,….}.
Usa el álgebra para probar que el cuadrado de cualquier número natural es un múltiplo de 3 o uno más que un múltiplo de 3.
Solución:
Supongamos que tenemos un número natural N.
Considere tres casos donde N está en forma de 3*N, 3*N+1, 3*N+2.
Cuadrando, obtenemos
- El cuadrado del primer término es 9N 2 que es un múltiplo de 3.
- El cuadrado del segundo término es:
9N 2 + 6N +1 = 3(3N 2 + 2N) + 1 que es uno más que un múltiplo de 3.
- El cuadrado del tercer término es:
9N 2 + 12N + 4 = 9N 2 +12N + 3 + 1 = 3(3N 2 + 4N + 1) +1 que es uno más que múltiplo de 3.
Por lo tanto, se puede decir que para que N 2 sea múltiplo de 3, N debe tener la forma de 3N, 3N+1, 3N+2, etc.
Ejemplo:
Número cuadrado Resto cuando se divide por 3 2 2 = 4 = 3 × 1 + 1 1 3 2 = 9 = 3 × 3 + 0 0 4 2 = 16 = 3 × 5 + 1 1 5 2 = 25 = 3 × 8 + 1 1 6 2 = 36 = 3 × 12 + 0 0 7 2 = 49 = 3 × 16 + 1 1 Por lo tanto, el cuadrado de cualquier número natural es un múltiplo de 3 o uno más que un múltiplo de 3.
Problemas similares
Pregunta 1: ¿Demostrar que la suma de dos números cuadrados consecutivos es impar?
Solución:
Supongamos que N y N + 1 son dos números consecutivos donde N es un número entero.
Tenemos que determinar su suma. Asi que,
Suma = N 2 + (N + 1) 2 = N 2 + N 2 + 2N + 1 = 2N 2 + 2N + 1 = 2(N 2 + N) +1
La definición de número impar es uno más que múltiplo de 2.
La suma es uno más que un múltiplo de 2. Entonces, su suma es impar.
Ejemplo:
Entrada N = 2 y N + 1 = 3
Salida 2 2 + 3 2 = 4+ 9 = 13
Conclusión La suma es impar.
Pregunta 2: Demuestra que si m no es el cuadrado de un número natural, entonces √m es irracional.
Solución:
Sea m cualquier entero positivo tal que no haya m = x 2 donde x es un entero.
Suponemos que √m es un número racional. Entonces se puede escribir como:
√m = p/q ⇢ (1)
Donde p y q no tienen otro factor común que 1.
Elevando al cuadrado ambos lados de la Ecuación (1)
metro = pag 2 / q 2 .
Dado que n es un número entero positivo yp y q no tienen factor común además de (1). Sea q = 1.
m = pag 2
Este resultado es contradictorio con nuestra suposición de que m no es el cuadrado de un número. Por lo tanto, √m es irracional.
Pregunta 3: Demuestre que si n es un número natural, entonces √n es un número irracional o natural.
Solución:
Sea n cualquier número natural.
Caso 1: n es un cuadrado perfecto (1, 4, 9, 16, etc.)
Número natural (n) La raíz de un número (√n) Definición de √n 1 1 Bien – definido 4 2 Bien – definido 9 3 Bien – definido 36 6 Bien – definido Por lo tanto, √n es un número natural.
Caso 2: n no es un cuadrado perfecto (√2, √3, √7, etc.)
Número natural(n) La raíz de un número (√n) Definición de √n 2 √2 No bien definido 3 √3 No bien definido 7 √3 No bien definido 19 √19 No bien definido Por lo tanto, √n es un número irracional.
Conclusión √n es un número natural o un número irracional.
Pregunta 4: Demuestra que el producto de dos números cuadrados perfectos también es un cuadrado perfecto.
Solución:
Sean p y q dos enteros positivos cualesquiera.
Como tanto p como q son cuadrados perfectos, podemos escribir
p = un 2
q = segundo 2
Donde a y b son dos enteros cualesquiera.
p × q = a 2 × b 2 = (a × a) × (b × b) = (a × b) × (a × b) = (ab) × (ab) = (ab) 2
Por lo tanto, El resultado es un cuadrado perfecto de ab.
Conclusión El producto de dos números cuadrados perfectos también es cuadrado perfecto.
Ejemplo:
Entrada p=4 y q=9
Salida pq= 4*9 = 36 =6 2
Que es un cuadrado perfecto.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por orthohydrogen123 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA