La secuencia es una colección enumerada de objetos en los que se permite la repetición y el orden es importante, formaron un patrón por el cual podemos identificar series completas. Podemos generalizar toda esta serie que se llama secuencia.
Ejemplo 1. Sucesión de números pares con diferencia 4.
Solución:
2, 6, 10, 14,………………..a n .
Aquí, en el ejemplo anterior, el primer término de la secuencia es 1 = 2. Y el último término es un n.
Ejemplo 2. Un arreglo de números como 1, 1, 2, 3, 5, 8,… No tiene patrón visible, pero la secuencia es generada por la relación de recurrencia dada por.
Solución:
un 1 = 1, un 2 = 1, un 3 = 2
a 3 =a1+a2.
a n =a n-2 +a n-1 Donde n>2
Esto se llama secuencia de Fibonacci.
Ejemplo.3.Un arreglo de números digamos 2,8,14,20,… tiene un patrón visible y su secuencia es generada por la relación.
Solución:
un 1 = 2, un 2 = 6, un 3 = 14. La diferencia común entre elementos es constante y es igual a d =a 2 -a 1 o toma dos números adyacentes.
Entonces la secuencia se convierte en n =a 1 +(n-1)*d.
Serie: serieSea una secuencia dada como a 1 , a 2 , a 3, . . . . . . , un n. Entonces, la expresión se llama serie asociada con una secuencia dada. La dependencia de la serie finita o infinita depende de la naturaleza de la secuencia, ya sea finita o infinita. Las series se denotan con la notación ∑ (sigma). Así, la serie a1+ a2 +a3+an = ∑ n k=1 a k.
Secuencia aritmética
En la secuencia aritmética, la diferencia absoluta entre un término y el siguiente es constante.
Explicación:
Una secuencia a 1 ,a 2 , … an n. Se llama secuencia aritmética o progresión aritmética si a n+1 – a n =d donde d es constante. Y es una diferencia común.
Hagamos una Progresión Aritmética con primer término A y diferencia común D.
{A, A+D, A+2D, A+3D,… ….}
El n -ésimo Término General de un PA viene dado por n =a+(n-1)*d.
Donde, a es el primer término de AP, d es la diferencia común y n es el número de términos.
fórmulas explícitas
Escribir fórmulas explícitas
Tomemos una secuencia 6, 16, 26, 36…76.
El primer término de la secuencia es 6 y la diferencia común es 10.
Podemos obtener cualquier término de la sucesión tomando el primer término 6 y la diferencia común es 10.
Cálculo para el término n .
| 1. | 6 | 6+0.10=6 |
| 2. | 6+10 | 6+1.10=16 |
| 3. | 6+10+10 | 6+2.10=20 |
| 4. | 6+10+10+10 | 6+3.10=36 |
| 5. | 6+10+10+10+10 | 6+4.10=46 |
| 6. | 6+10+10+10+10+10 | 6+5.10=56 |
| 7. | 6+10+10+10+10+10+10 | 6+6.10=66 |
El término n se puede encontrar fácilmente. El primer término es 6, y obtenemos que la diferencia es 10 en cada paso.
La declaración anterior se puede generalizar como 6+(n-1)*d.
En general, esta es la fórmula explícita estándar de una sucesión aritmética cuyo primer término es A, final y diferencia común es D.
Un n = A+(n-1)*D.
Propiedades importantes de la progresión aritmética
- Si se agrega una constante a cada término de AP, la secuencia resultante también es un AP
- Si se resta una constante a cada término de AP, entonces la secuencia resultante también es un AP
- Si cada término de un AP se multiplica por un número constante. Entonces la secuencia resultante es también un AP
- Si cada término de un AP se divide por un número constante distinto de cero, entonces la secuencia resultante también es un AP
Suma de progresión aritmética
La secuencia de Let’s se da como a, a+d, a+2d, a+3d, ….. a+(n-1)*d.
dónde,
a es el primer termino
l es el último término de la serie y
n es el número de términos en la serie
Reemplazando el último término l por el enésimo término en la ecuación 3 obtenemos,
n -ésimo término = a + (n – 1)d
S norte = ( n /2)(a + a + (n – 1)d)
Ejemplo 1. Escriba los primeros tres términos en cada una de las siguientes secuencias definidas por
(i) A n = 5 n + 2 (n-1)
Solución :
Resolver: (i) pon n=1, obtenemos 1 =5.1 + 2(1-1) = 5+ 0 =5
Ponga n=2, obtenemos 2 =5.2+2(2-1) =10+2 =12
Ponga n=3, obtenemos 3 =5.3 + 2(3-1) =15 + 4 =19
Así que los tres primeros términos son 5, 12, 19.
(ii) A n = 2 n + 4 (n-2)
Solución :
Ponga n=1, obtenemos 1 =2.1+4(1-2) =2-4 = -2
Ponga n=2, obtenemos 2 = 2.2+4(2-2) =4+ 0 =4
Ponga n=3, obtenemos 3 = 2.3 + 4(3-2) =6+4 =10
Entonces los tres primeros términos son -2, 4, 10.
Ejemplo.2. Encuentre el vigésimo término de la expresión dada.
Solución :
Un norte =( n -1)(2-n)(3+n)
Resolver: poner n=20 en la expresión dada,
a 20 =(20-1)(2-20)(20+3) = 19*-18·23 = -7886.
NOTA: si se le hace la pregunta, encuentre el término n de la secuencia aritmética, entonces considere que la secuencia es n =a+(n-1)*d.
Ejemplo.3 Encuentra la suma de todos los números naturales que se encuentran entre 100 y 1000 inclusive que son múltiplos de 5.
Solución :
Resuelva: el primer término es 100 y el último término es 1000 y la diferencia común es 5.
Entonces nuestra fórmula es S n =(n/2)[2a+(n-1)*d] .
Necesitamos encontrar el número de términos, por lo que el número de términos viene dado por (1000-100)/5 = 900/5 =180.
S 180 =(180/2)[2·100 +(180-1)*5].
S 180 =90*[200+179·5]
S 180 = 90 · 1095 = 98 550.