Pregunta 1. Encuentra la suma de los siguientes AP.
(i) 2, 7, 12,…., a 10 términos.
(ii) − 37, − 33, − 29,…, a 12 términos
(iii) 0.6, 1.7, 2.8,…….., hasta 100 términos
(iv) 1/15, 1/12, 1/10, ……, a 11 términos
Solución:
(i) Dado, 2, 7, 12,…, a 10 términos
Para este AP, tenemos,
primer término, a = 2
diferencia común, d = a2 − a1 = 7−2 = 5
no. de términos, n = 10
La suma del término n en la serie AP es,
Sn = n /2 [2a +(n-1)d]
Sustituyendo los valores,
S 10 = 10/2 [2(2)+(10 -1)×5]
= 5[4+(9)×(5)]
= 5 × 49 = 245
(ii) Dado, −37, −33, −29,…, a 12 términos
Para este AP, tenemos,
primer término, a = −37
diferencia común, d = a2− a1
= (−33)−(−37)
= − 33 + 37 = 4
no. de términos, n = 12
La suma del término n en la serie AP es,
S norte = n /2 [2a+(n-1)d]
Sustituyendo los valores,
S 12 = 12/2 [2(-37)+(12-1)×4]
= 6[-74+11×4]
= 6[-74+44]
= 6(-30) = -180
(iii) Dado, 0.6, 1.7, 2.8,…, hasta 100 términos
Para este AP,
primer término, a = 0.6
diferencia común, d = a2 − a1 = 1,7 − 0,6 = 1,1
no. de términos, n = 100
La suma del término n en la serie AP es,
Sn = n/2[2a +(n-1)d]
S12 = 50/2 [1,2+(99)×1,1]
= 50[1.2+108.9]
= 50[110,1]
= 5505
(iv) Dado, 1/15, 1/12, 1/10, ……, a 11 términos
Para este AP,
primer término, a = 1/5
diferencia común, d = a2 –a1 = (1/12)-(1/5) = 1/60
número de términos, n = 11
La suma del término n en la serie AP es,
Sn = n/2 [2a + (n – 1) d]
Sustituyendo los valores, tenemos,
= 11/2(2/15 + 10/60)
= 11/2 (9/30)
= 33/20
Pregunta 2. Encuentra las sumas dadas a continuación:
(yo) 7+ 10 1/2 + 14 + ……… + 84
(ii) 34 + 32 + 30 + ……….. + 10
(iii) − 5 + (− 8) + (− 11) + ………… + (− 230)
Soluciones:
(i) Dado,
Primer término, a = 7
enésimo término, a n = 84
Diferencia común, d = 10 1/2 – 7 = 21/2 – 7 = 7/2
Sea 84 el enésimo término de este AP
Después,
un norte = un( n -1)d
Sustituyendo estos valores,
84 = 7+(n – 1)×7/2
77 = (n-1)×7/2
22 = n−1
norte = 23
Sabemos que, suma de n término es;
S norte = n /2 (a + l), l = 84
Sn = 23/2 (7+84)
= (23×91/2) = 2093/2
= 1046 1/2
(ii) Dado,
primer término, a = 34
diferencia común, d = a 2 −a 1 = 32−34 = −2
n-ésimo término, an= 10
Sea 10 el n-ésimo término de este AP,
Ahora,
un norte = un +( n −1)d
10 = 34+(n−1)(−2)
−24 = (n −1)(−2)
12 = norte −1
norte = 13
La suma de n términos es;
S norte = n /2 (a + l), l = 10
= 13/2 (34 + 10)
= (13×44/2) = 13×22
= 286
(iii) Dado:
Primer término, a = −5
enésimo término, a n = −230
Diferencia común, d = a 2 −a 1 = (−8)−(−5)
⇒d = −8+5 = −3
Supongamos que −230 sea el término n de este PA
Ya que,
un norte = un+( n −1)d
−230 = − 5+(n−1)(−3)
−225 = (n−1)(−3)
(n−1) = 75
n = 76
Suma de n términos, es equivalente a,
S norte = n /2 (a + l)
= 76/2 [(-5) + (-230)]
= 38(-235)
= -8930
Pregunta 3. En un AP
(i) Dado a = 5, d = 3, an = 50, encuentre n y Sn.
(ii) Dado a = 7, a13 = 35, encuentre d y S13.
(iii) Dado a12 = 37, d = 3, encuentre a y S12.
(iv) Dado a3 = 15, S10 = 125, encuentre dy a10.
(v) Dado d = 5, S9 = 75, encuentre ay a9.
(vi) Dado a = 2, d = 8, Sn = 90, encuentre n y an.
(vii) Dado a = 8, an = 62, Sn = 210, encuentre n y d.
(viii) Dado an = 4, d = 2, Sn = − 14, encuentre n y a.
(ix) Dado a = 3, n = 8, S = 192, encuentre d.
(x) Dado l = 28, S = 144 y hay un total de 9 términos. Encontrar un.
Soluciones:
(i) Dados los valores, tenemos,
a = 5, d = 3, a n = 50
El término n en un AP,
un norte = un + ( n −1) d,
Sustituyendo los valores dados, tenemos,
⇒ 50 = 5+(n-1)×3
⇒ 3(n-1) = 45
⇒ n-1 = 15
Obteniendo el valor de n, obtenemos,
⇒ n = 16
Ahora, la suma de n términos es equivalente a,
Sn = n /2 (a +an)
S n = 16/2 (5 + 50) = 440
(ii) Dados los valores, tenemos,
a = 7, a 13 = 35
El término n en un AP,
un norte = un+( n −1)d,
Sustituyendo los valores dados, tenemos,
⇒ 35 = 7+(13-1)d
⇒ 12d = 28
⇒ d = 28/12 = 2,33
Ahora, S n = n/2 (a+an)
Obteniendo el valor final, obtenemos,
S 13 = 13/2 (7+35) = 273
(iii) Dados los valores, tenemos,
un 12 = 37, re = 3
El término n en un AP,
un norte = un+( n −1)d,
Sustituyendo los valores dados, tenemos,
⇒ un 12 = un+(12−1)3
⇒ 37 = a+33
Obteniendo el valor de a, obtenemos,
⇒ un = 4
Ahora, suma de enésimo término,
S n = n/2 (a+an)
= 12/2 (4+37)
Obteniendo el valor final,
= 246
(iv) Dado que,
a3 = 15, S10 = 125
La fórmula del término n en un AP,
un norte = un + ( n −1) d,
Sustituyendo los valores dados, tenemos,
a 3 = a+(3−1)d
15 = a+2d ………….. (yo)
También,
Suma del término n,
S norte = n /2 [2a+(n-1)d]
S 10 = 10/2 [2a+(10-1)d]
125 = 5(2a+9d)
25 = 2a+9d …………….. (ii)
Resolviendo la ecuación (i) por (ii),
30 = 2a+4d ………. (iii)
Y, restando la ecuación (iii) de (ii), obtenemos,
−5 = 5d
eso es,
re = −1
Sustituyendo en la ecuación (i),
15 = a+2(−1)
15 = a−2
un = 17 =
Y,
a 10 = a+(10−1)d
un 10 = 17+(9)(−1)
un 10 = 17−9 = 8
(v) Dado:
d = 5, S 9 = 75
La suma de n términos en AP es,
S norte = n /2 [2a +(n -1)d]
Sustituyendo valores, obtenemos,
S9 = 9/2 [2a +(9-1)5 ]
25 = 3(a+20)
25 = 3a+60
3a = 25−60
a = -35/3
También,
un norte = un+( n −1)d
Sustituyendo valores, obtenemos,
un 9 = un+(9−1)(5)
= -35/3+8(5)
= -35/3+40
= (35+120/3) = 85/3
(vi) Dado:
a = 2, d = 8, S n = 90
La suma de n términos en un AP es,
S norte = n /2 [2a +(n -1)d]
Sustituyendo valores, obtenemos,
90 = n/2 [2a +(n -1)d]
⇒ 180 = n(4+8n -8) = n(8n-4) = 8n 2 -4n
Resolviendo la ecuación, obtenemos,
⇒ 8n 2 -4n –180 = 0
⇒ 2n 2 –n-45 = 0
⇒ 2n 2 -10n+9n-45 = 0
⇒ 2n(n-5)+9(n-5) = 0
⇒ (n-5)(2n+9) = 0
Como n solo puede ser un entero positivo,
Por lo tanto,
norte = 5
Ahora,
∴ un 5 = 8+5×4 = 34
(vii) Dado:
a = 8, an = 62, S n = 210
Dado que la suma de n términos en un AP es equivalente a,
S n = n/2 (un + un)
210 = n/2 (8 +62)
resolver,
⇒ 35n = 210
⇒ n = 210/35 = 6
Ahora, 62 = 8+5d
⇒ 5d = 62-8 = 54
⇒ re = 54/5 = 10,8
(viii) Dado:
n-ésimo término, an = 4, diferencia común, d = 2, suma de n términos, S n = −14.
Fórmula del término n en un AP,
un norte = un+( n −1)d,
Sustituyendo los valores, obtenemos,
4 = a+(n −1)2
4 = a+2n−2
a+2n = 6
a = 6 − 2n …………………. (i)
La suma de n términos es;
S n = n/2 (a+an)
-14 = n/2 (a+4)
−28 = norte (a+4)
De la ecuación (i), obtenemos,
−28 = norte (6 −2n +4)
−28 = norte (−2n +10)
−28 = − 2n 2 +10n
2n 2 −10n − 28 = 0
norte 2 −5n −14 = 0
norte 2 −7n +2n −14 = 0
norte (n−7)+2(n−7) = 0
Resolviendo para n,
(n−7)(n+2) = 0
Ya sea n − 7 = 0 o n + 2 = 0
n = 7 o n = −2
Como sabemos, n no puede ser ni negativo ni fraccionario.
Por lo tanto, n = 7
De la ecuación (i), obtenemos
a = 6−2n
a = 6−2(7)
= 6−14
= −8
(ix) Los valores dados son,
primer término, a = 3,
número de términos, n = 8
suma de n términos, S = 192
Sabemos,
S norte = n /2 [2a+(n -1)d]
Sustituyendo valores,
192 = 8/2 [2×3+(8 -1)d]
192 = 4[6 +7d]
48 = 6+7d
42 = 7d
Resolviendo para d, obtenemos,
re = 6
(x) Los valores dados son,
l = 28,S = 144 y hay un total de 9 términos.
Suma de n términos,
S norte = n /2 (a + l)
Sustituyendo valores, obtenemos,
144 = 9/2(a+28)
(16)×(2) = a+28
32 = a+28
Calculando, obtenemos,
un = 4
Pregunta 4. ¿Cuántos términos de la AP. 9, 17, 25… se debe tomar para dar una suma de 636?
Solución:
Supongamos que hay n términos del AP. 9, 17, 25…
Para este AP,
Sabemos,
Primer término, a = 9
Diferencia común, d = a2−a1 = 17−9 = 8
Suma de n términos, es;
S norte = n /2 [2a+(n -1)d]
Sustituyendo los valores,
636 = n/2 [2×a+(8-1)×8]
636 = n/2 [18+(n-1)×8]
636 = norte [9 +4n −4]
636 = norte (4n +5)
4n 2 +5n −636 = 0
4n 2 +53n −48n −636 = 0
Resolviendo, obtenemos,
norte (4n + 53)−12 (4n + 53) = 0
(4n +53)(n −12) = 0
eso es,
4n+53 = 0 o n−12 = 0
Al resolver,
n = (-53/4) o n = 12
Sabemos,
n no puede ser negativo ni fracción, por lo tanto, n = 12 es el único valor plausible.
Pregunta 5. El primer término de un AP es 5, el último término es 45 y la suma es 400. Encuentra el número de términos y la diferencia común.
Solución:
Dado:
primer término, a = 5
último término, l = 45
También,
Suma de los AP, Sn = 400
La suma de AP es equivalente a
S n = n/2 (a+l)
Sustituyendo los valores,
400 = n/2(5+45)
400 = n/2(50)
Número de términos, n = 16
Ya que, el último término de la serie AP es equivalente a
l = a+(n −1)d
45 = 5 +(16 −1)d
40 = 15d
Resolviendo para d, obtenemos,
Diferencia común, d = 40/15 = 8/3
Pregunta 6. El primer y último término de un AP son 17 y 350, respectivamente. Si la diferencia común es 9, ¿cuántos términos hay y cuál es su suma?
Solución:
Dado:
Primer término, a = 17
Último término, l = 350
Diferencia común, d = 9
El último término del AP se puede escribir como;
l = a+(n −1)d
Sustituyendo los valores, obtenemos,
350 = 17+(n−1)9
333 = (n−1)9
Resolviendo para n,
(n-1) = 37
n = 38
S n = n/2 (a+l)
S 38 = 13/2 (17+350)
= 19×367
= 6973
Pregunta 7. Encuentra la suma de los primeros 22 términos de un AP en el que d = 7 y el término 22 es 149.
Solución:
Dado:
Diferencia común, d = 7
También,
22º término, a 22 = 149
Por la fórmula del n-ésimo término de un AP,
un norte = un+( n −1)d
Sustituyendo valores, obtenemos,
a 22 = a+(22−1)d
149 = a+21×7
149 = a+147
a = 2 = Primer término
Suma de n términos,
Sn = n /2(a+an)
S 22 = 22/2 (2+149)
= 11×151
= 1661
Pregunta 8. Encuentra la suma de los primeros 51 términos de un AP cuyo segundo y tercer término son 14 y 18, respectivamente.
Solución:
Dado:
Segundo término, a 2 = 14
Tercer término, a 3 = 18
También,
Diferencia común, d = a 3 −a 2 = 18−14 = 4
un 2 = un + d
14 = a+4
Por lo tanto,
a = 10 = Primer término
Y,
Suma de n términos;
S norte = n /2 [2a + (n – 1) d]
Sustituyendo valores,
S 51 = 51/2 [2×10 (51-1) 4]
= 51/2 [2+(20)×4]
= 51 × 220/2
= 51 × 110
= 5610
Pregunta 9. Si la suma de los primeros 7 términos de un AP es 49 y la de 17 términos es 289, encuentre la suma de los primeros n términos.
Solución:
Dado:
S 7 = 49
S 17 = 289
Ya que sabemos
S norte = n /2 [2a + (n – 1) d]
Sustituyendo valores, obtenemos,
S 7 = 7/2 [2a +(n -1)d]
S 7 = 7/2 [2a + (7 -1)d]
49 = 7/2 [2a + 6d]
7 = (a+3d)
a + 3d = 7 ………………. (i)
Similarmente,
S 17 = 17/2 [2a+(17-1)d]
Sustituyendo valores, obtenemos,
289 = 17/2 (2a +16d)
17 = (a+8d)
a +8d = 17 ………………. (ii)
Resolviendo (i) y (ii),
5d = 10
Resolviendo para d, obtenemos,
re = 2
Ahora, obteniendo el valor de a, obtenemos,
a+3(2) = 7
a+ 6 = 7
un = 1
Por lo tanto,
Sn = n /2[2a+(n-1)d]
= n/2[2(1)+(n – 1)×2]
= n/2(2+2n-2)
= n/2(2n)
= norte 2
Pregunta 10. Muestre que a 1 , a 2 …, a n , … forman un AP donde an se define como a continuación
(i) un n = 3+4n
(ii) un n = 9−5n
Además , encuentre la suma de los primeros 15 términos en cada caso.
Soluciones:
(i) un n = 3+4n
Calculador,
1 = 3 +4(1) = 7
un 2 = 3+4(2) = 3+8 = 11
un 3 = 3+4(3) = 3+12 = 15
un 4 = 3+4(4) = 3+16 = 19
Ahora d =
a2 − a1 = 11−7 = 4
a3 − a2 = 15−11 = 4
a4 − a3 = 19−15 = 4
Por lo tanto, a k + 1 − a k tiene el mismo valor entre todos los pares de términos sucesivos. Por lo tanto, este es un AP con una diferencia común de 4 y un primer término de 7.
La suma del enésimo término es;
Sn = n /2[2a+(n -1)d]
Sustituyendo el valor, obtenemos,
S 15 = 15/2[2(7)+(15-1)×4]
= 15/2[(14)+56]
= 15/2(70)
= 15×35
= 525
(ii) un n = 9−5n
Calculando, obtenemos,
un 1 = 9−5×1 = 9−5 = 4
un 2 = 9−5×2 = 9−10 = −1
un 3 = 9−5×3 = 9−15 = −6
un 4 = 9−5×4 = 9−20 = −11
Diferencia común, d
a2 − a1 = −1−4 = −5
a3 − a2 = −6−(−1) = −5
a4 − a3 = −11−(−6) = −5
Por lo tanto, a k + 1 − a k tiene el mismo valor entre todos los pares de términos sucesivos. Por lo tanto, este es un AP con diferencia común como −5 y primer término como 4.
La suma del enésimo término es;
Sn = n /2 [2a +(n-1)d]
S 15 = 15/2[2(4) +(15 -1)(-5)]
Sustituyendo valores,
= 15/2[8 +14(-5)]
= 15/2(8-70)
= 15/2(-62)
= 15(-31)
= -465