Soluciones NCERT de clase 10 – Capítulo 5 Progresiones aritméticas – Ejercicio 5.3 | Serie 1

Pregunta 1. Encuentra la suma de los siguientes AP.

(i) 2, 7, 12,…., a 10 términos.

(ii) − 37, − 33, − 29,…, a 12 términos

(iii) 0.6, 1.7, 2.8,…….., hasta 100 términos

(iv) 1/15, 1/12, 1/10, ……, a 11 términos

Solución:

(i) Dado, 2, 7, 12,…, a 10 términos

Para este AP, tenemos,

primer término, a = 2

diferencia común, d = a2 − a1 = 7−2 = 5

no. de términos, n = 10

La suma del término n en la serie AP es,

Sn = n /2 [2a +(n-1)d]

Sustituyendo los valores,

S 10 = 10/2 [2(2)+(10 -1)×5]

= 5[4+(9)×(5)]

= 5 × 49 = 245

(ii) Dado, −37, −33, −29,…, a 12 términos

Para este AP, tenemos,

primer término, a = −37

diferencia común, d = a2− a1

= (−33)−(−37)

= − 33 + 37 = 4

no. de términos, n = 12

La suma del término n en la serie AP es,

S norte = n /2 [2a+(n-1)d]

Sustituyendo los valores,

S 12 = 12/2 [2(-37)+(12-1)×4]

= 6[-74+11×4]

= 6[-74+44]

= 6(-30) = -180

(iii) Dado, 0.6, 1.7, 2.8,…, hasta 100 términos

Para este AP,

primer término, a = 0.6

diferencia común, d = a2 − a1 = 1,7 − 0,6 = 1,1

no. de términos, n = 100

La suma del término n en la serie AP es,

Sn = n/2[2a +(n-1)d]

S12 = 50/2 [1,2+(99)×1,1]

= 50[1.2+108.9]

= 50[110,1]

= 5505

(iv) Dado, 1/15, 1/12, 1/10, ……, a 11 términos

Para este AP,

primer término, a = 1/5

diferencia común, d = a2 –a1 = (1/12)-(1/5) = 1/60

número de términos, n = 11

La suma del término n en la serie AP es,

Sn = n/2 [2a + (n – 1) d]

Sustituyendo los valores, tenemos,

= 11/2(2/15 + 10/60)

= 11/2 (9/30)

= 33/20

Pregunta 2. Encuentra las sumas dadas a continuación:

(yo) 7+ 10 1/2 + 14 + ……… + 84

(ii) 34 + 32 + 30 + ……….. + 10

(iii) − 5 + (− 8) + (− 11) + ………… + (− 230)

Soluciones:

(i) Dado,

Primer término, a = 7

enésimo término, a n = 84

Diferencia común, d = 10 1/2 – 7 = 21/2 – 7 = 7/2

Sea 84 el enésimo término de este AP

Después,

un norte = un( n -1)d

Sustituyendo estos valores,

84 = 7+(n – 1)×7/2

77 = (n-1)×7/2

22 = n−1

norte = 23

Sabemos que, suma de n término es;

S norte = n /2 (a + l), l = 84

Sn = 23/2 (7+84)

= (23×91/2) = 2093/2

= 1046 1/2

(ii) Dado,

primer término, a = 34

diferencia común, d = a 2 −a 1 = 32−34 = −2

n-ésimo término, an= 10

Sea 10 el n-ésimo término de este AP,

Ahora,

un norte = un +( n −1)d

10 = 34+(n−1)(−2)

−24 = (n −1)(−2)

12 = norte −1

norte = 13

La suma de n términos es;

S norte = n /2 (a + l), l = 10

= 13/2 (34 + 10)

= (13×44/2) = 13×22

= 286

(iii) Dado:

Primer término, a = −5

enésimo término, a n = −230

Diferencia común, d = a 2 −a 1 = (−8)−(−5)

⇒d = −8+5 = −3

Supongamos que −230 sea el término n de este PA

Ya que,

un norte = un+( n −1)d

−230 = − 5+(n−1)(−3)

−225 = (n−1)(−3)

(n−1) = 75

n = 76

Suma de n términos, es equivalente a,

S norte = n /2 (a + l)

= 76/2 [(-5) + (-230)]

= 38(-235)

= -8930

Pregunta 3. En un AP

(i) Dado a = 5, d = 3, an = 50, encuentre n y Sn.

(ii) Dado a = 7, a13 = 35, encuentre d y S13.

(iii) Dado a12 = 37, d = 3, encuentre a y S12.

(iv) Dado a3 = 15, S10 = 125, encuentre dy a10.

(v) Dado d = 5, S9 = 75, encuentre ay a9.

(vi) Dado a = 2, d = 8, Sn = 90, encuentre n y an.

(vii) Dado a = 8, an = 62, Sn = 210, encuentre n y d.

(viii) Dado an = 4, d = 2, Sn = − 14, encuentre n y a.

(ix) Dado a = 3, n = 8, S = 192, encuentre d.

(x) Dado l = 28, S = 144 y hay un total de 9 términos. Encontrar un.

Soluciones:

(i) Dados los valores, tenemos,

a = 5, d = 3, a n = 50

El término n en un AP,

un norte = un + ( n −1) d,

Sustituyendo los valores dados, tenemos,

⇒ 50 = 5+(n-1)×3

⇒ 3(n-1) = 45

⇒ n-1 = 15

Obteniendo el valor de n, obtenemos,

⇒ n = 16

Ahora, la suma de n términos es equivalente a,

Sn = n /2 (a +an)

S n = 16/2 (5 + 50) = 440

(ii) Dados los valores, tenemos,

a = 7, a 13 = 35

El término n en un AP,

un norte = un+( n −1)d,

Sustituyendo los valores dados, tenemos,

⇒ 35 = 7+(13-1)d

⇒ 12d = 28

⇒ d = 28/12 = 2,33

Ahora, S n = n/2 (a+an)

Obteniendo el valor final, obtenemos,

S 13 = 13/2 (7+35) = 273

(iii) Dados los valores, tenemos,

un 12 = 37, re = 3

El término n en un AP,

un norte = un+( n −1)d,

Sustituyendo los valores dados, tenemos,

⇒ un 12 = un+(12−1)3

⇒ 37 = a+33

Obteniendo el valor de a, obtenemos,

⇒ un = 4

Ahora, suma de enésimo término,

S n = n/2 (a+an)

= 12/2 (4+37)

Obteniendo el valor final,

= 246

(iv) Dado que,

a3 = 15, S10 = 125

La fórmula del término n en un AP,

un norte = un + ( n −1) d,

Sustituyendo los valores dados, tenemos,

a 3 = a+(3−1)d

15 = a+2d ………….. (yo)

También,

Suma del término n,

S norte = n /2 [2a+(n-1)d]

S 10 = 10/2 [2a+(10-1)d]

125 = 5(2a+9d)

25 = 2a+9d …………….. (ii)

Resolviendo la ecuación (i) por (ii),

30 = 2a+4d ………. (iii)

Y, restando la ecuación (iii) de (ii), obtenemos,

−5 = 5d

eso es,

re = −1

Sustituyendo en la ecuación (i),

15 = a+2(−1)

15 = a−2

un = 17 =

Y,

a 10 = a+(10−1)d

un 10 = 17+(9)(−1)

un 10 = 17−9 = 8

(v) Dado:

d = 5, S 9 = 75

La suma de n términos en AP es,

S norte = n /2 [2a +(n -1)d]

Sustituyendo valores, obtenemos,

S9 = 9/2 [2a +(9-1)5 ]

25 = 3(a+20)

25 = 3a+60

3a = 25−60

a = -35/3

También,

un norte = un+( n −1)d

Sustituyendo valores, obtenemos,

un 9 = un+(9−1)(5)

= -35/3+8(5)

= -35/3+40

= (35+120/3) = 85/3

(vi) Dado:

a = 2, d = 8, S n = 90

La suma de n términos en un AP es,

S norte = n /2 [2a +(n -1)d]

Sustituyendo valores, obtenemos,

90 = n/2 [2a +(n -1)d]

⇒ 180 = n(4+8n -8) = n(8n-4) = 8n 2 -4n

Resolviendo la ecuación, obtenemos,

⇒ 8n 2 -4n –180 = 0

⇒ 2n 2 –n-45 = 0

⇒ 2n 2 -10n+9n-45 = 0

⇒ 2n(n-5)+9(n-5) = 0

⇒ (n-5)(2n+9) = 0

Como n solo puede ser un entero positivo,

Por lo tanto,

norte = 5

Ahora,

∴ un 5 = 8+5×4 = 34

(vii) Dado:

a = 8, an = 62, S n = 210

Dado que la suma de n términos en un AP es equivalente a,

S n = n/2 (un + un)

210 = n/2 (8 +62)

resolver,

⇒ 35n = 210

⇒ n = 210/35 = 6

Ahora, 62 = 8+5d

⇒ 5d = 62-8 = 54

⇒ re = 54/5 = 10,8

(viii) Dado:

n-ésimo término, an = 4, diferencia común, d = 2, suma de n términos, S n = −14.

Fórmula del término n en un AP,

un norte = un+( n −1)d,

Sustituyendo los valores, obtenemos,

4 = a+(n −1)2

4 = a+2n−2

a+2n = 6

a = 6 − 2n …………………. (i)

La suma de n términos es;

S n = n/2 (a+an)

-14 = n/2 (a+4)

−28 = norte (a+4)

De la ecuación (i), obtenemos,

−28 = norte (6 −2n +4)

−28 = norte (−2n +10)

−28 = − 2n 2 +10n

2n 2 −10n − 28 = 0

norte 2 −5n −14 = 0

norte 2 −7n +2n −14 = 0

norte (n−7)+2(n−7) = 0

Resolviendo para n,

(n−7)(n+2) = 0

Ya sea n − 7 = 0 o n + 2 = 0

n = 7 o n = −2

Como sabemos, n no puede ser ni negativo ni fraccionario.

Por lo tanto, n = 7

De la ecuación (i), obtenemos

a = 6−2n

a = 6−2(7)

= 6−14

= −8

(ix) Los valores dados son,

primer término, a = 3,

número de términos, n = 8

suma de n términos, S = 192

Sabemos,

S norte = n /2 [2a+(n -1)d]

Sustituyendo valores,

192 = 8/2 [2×3+(8 -1)d]

192 = 4[6 +7d]

48 = 6+7d

42 = 7d

Resolviendo para d, obtenemos,

re = 6

(x) Los valores dados son,

l = 28,S = 144 y hay un total de 9 términos.

Suma de n términos,

S norte = n /2 (a + l)

Sustituyendo valores, obtenemos,

144 = 9/2(a+28)

(16)×(2) = a+28

32 = a+28

Calculando, obtenemos,

un = 4

Pregunta 4. ¿Cuántos términos de la AP. 9, 17, 25… se debe tomar para dar una suma de 636?

Solución:

Supongamos que hay n términos del AP. 9, 17, 25…

Para este AP,

Sabemos,

Primer término, a = 9

Diferencia común, d = a2−a1 = 17−9 = 8

Suma de n términos, es;

S norte = n /2 [2a+(n -1)d]

Sustituyendo los valores,

636 = n/2 [2×a+(8-1)×8]

636 = n/2 [18+(n-1)×8]

636 = norte [9 +4n −4]

636 = norte (4n +5)

4n 2 +5n −636 = 0

4n 2 +53n −48n −636 = 0

Resolviendo, obtenemos,

norte (4n + 53)−12 (4n + 53) = 0

(4n +53)(n −12) = 0

eso es,

4n+53 = 0 o n−12 = 0

Al resolver,

n = (-53/4) o n = 12

Sabemos,

n no puede ser negativo ni fracción, por lo tanto, n = 12 es el único valor plausible.

Pregunta 5. El primer término de un AP es 5, el último término es 45 y la suma es 400. Encuentra el número de términos y la diferencia común.

Solución:

Dado:

primer término, a = 5

último término, l = 45

También,

Suma de los AP, Sn = 400

La suma de AP es equivalente a

S n = n/2 (a+l)

Sustituyendo los valores,

400 = n/2(5+45)

400 = n/2(50)

Número de términos, n = 16

Ya que, el último término de la serie AP es equivalente a

l = a+(n −1)d

45 = 5 +(16 −1)d

40 = 15d

Resolviendo para d, obtenemos,

Diferencia común, d = 40/15 = 8/3

Pregunta 6. El primer y último término de un AP son 17 y 350, respectivamente. Si la diferencia común es 9, ¿cuántos términos hay y cuál es su suma?

Solución:

Dado:

Primer término, a = 17

Último término, l = 350

Diferencia común, d = 9

El último término del AP se puede escribir como;

l = a+(n −1)d

Sustituyendo los valores, obtenemos,

350 = 17+(n−1)9

333 = (n−1)9

Resolviendo para n,

(n-1) = 37

n = 38

S n = n/2 (a+l)

S 38 = 13/2 (17+350)

= 19×367

= 6973

Pregunta 7. Encuentra la suma de los primeros 22 términos de un AP en el que d = 7 y el término 22 es 149.

Solución:

Dado:

Diferencia común, d = 7

También,

22º término, a 22 = 149

Por la fórmula del n-ésimo término de un AP,

un norte = un+( n −1)d

Sustituyendo valores, obtenemos,

a 22 = a+(22−1)d

149 = a+21×7

149 = a+147

a = 2 = Primer término

Suma de n términos,

Sn = n /2(a+an)

S 22 = 22/2 (2+149)

= 11×151

= 1661

Pregunta 8. Encuentra la suma de los primeros 51 términos de un AP cuyo segundo y tercer término son 14 y 18, respectivamente.

Solución:

Dado:

Segundo término, a 2 = 14

Tercer término, a 3 = 18

También,

Diferencia común, d = a 3 −a 2 = 18−14 = 4

un 2 = un + d

14 = a+4

Por lo tanto,

a = 10 = Primer término

Y,

Suma de n términos;

S norte = n /2 [2a + (n – 1) d]

Sustituyendo valores,

S 51 = 51/2 [2×10 (51-1) 4]

= 51/2 [2+(20)×4]

= 51 × 220/2

= 51 × 110

= 5610

Pregunta 9. Si la suma de los primeros 7 términos de un AP es 49 y la de 17 términos es 289, encuentre la suma de los primeros n términos.

Solución:

Dado:

S 7 = 49

S 17 = 289

Ya que sabemos

S norte = n /2 [2a + (n – 1) d]

Sustituyendo valores, obtenemos,

S 7 = 7/2 [2a +(n -1)d]

S 7 = 7/2 [2a + (7 -1)d]

49 = 7/2 [2a + 6d]

7 = (a+3d)

a + 3d = 7 ………………. (i)

Similarmente,

S 17 = 17/2 [2a+(17-1)d]

Sustituyendo valores, obtenemos,

289 = 17/2 (2a +16d)

17 = (a+8d)

a +8d = 17 ………………. (ii)

Resolviendo (i) y (ii),

5d = 10

Resolviendo para d, obtenemos,

re = 2

Ahora, obteniendo el valor de a, obtenemos,

a+3(2) = 7

a+ 6 = 7

un = 1

Por lo tanto,

Sn = n /2[2a+(n-1)d]

= n/2[2(1)+(n – 1)×2]

= n/2(2+2n-2)

= n/2(2n)

= norte 2

Pregunta 10. Muestre que a 1 , a 2 …, a n , … forman un AP donde an se define como a continuación

(i) un n = 3+4n

(ii) un n = 9−5n

Además , encuentre la suma de los primeros 15 términos en cada caso.

Soluciones:

(i) un n = 3+4n

Calculador,

1 = 3 +4(1) = 7

un 2 = 3+4(2) = 3+8 = 11

un 3 = 3+4(3) = 3+12 = 15

un 4 = 3+4(4) = 3+16 = 19

Ahora d =

a2 − a1 = 11−7 = 4

a3 − a2 = 15−11 = 4

a4 − a3 = 19−15 = 4

Por lo tanto, a k + 1 − a k tiene el mismo valor entre todos los pares de términos sucesivos. Por lo tanto, este es un AP con una diferencia común de 4 y un primer término de 7.

La suma del enésimo término es;

Sn = n /2[2a+(n -1)d]

Sustituyendo el valor, obtenemos,

S 15 = 15/2[2(7)+(15-1)×4]

= 15/2[(14)+56]

= 15/2(70)

= 15×35

= 525

(ii) un n = 9−5n

Calculando, obtenemos,

un 1 = 9−5×1 = 9−5 = 4

un 2 = 9−5×2 = 9−10 = −1

un 3 = 9−5×3 = 9−15 = −6

un 4 = 9−5×4 = 9−20 = −11

Diferencia común, d

a2 − a1 = −1−4 = −5

a3 − a2 = −6−(−1) = −5

a4 − a3 = −11−(−6) = −5

Por lo tanto, a k + 1 − a k tiene el mismo valor entre todos los pares de términos sucesivos. Por lo tanto, este es un AP con diferencia común como −5 y primer término como 4.

La suma del enésimo término es;

Sn = n /2 [2a +(n-1)d]

S 15 = 15/2[2(4) +(15 -1)(-5)]

Sustituyendo valores,

= 15/2[8 +14(-5)]

= 15/2(8-70)

= 15/2(-62)

= 15(-31)

= -465

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yippeee25 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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