Pregunta 1. Comprueba si las siguientes son ecuaciones cuadráticas:
(yo) (x + 1) 2 = 2 (x – 3)
Solución:
Aquí,
IZQ = (x + 1) 2
= x 2 + 2x + 1 (Usando la identidad (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 )
y, lado derecho = 2(x–3)
= 2x – 6
Como, LHS = RHS
x2 + 2x + 1 = 2x – 6
x2 + 7 = 0 ………….(I)
Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0).
Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.
(ii) x 2 – 2x = (–2) (3 – x)
Solución:
Aquí,
IZQ = x 2 – 2x
y, RHS = (–2) (3 – x)
= 2x–6
Como, LHS = RHS
x 2 – 2x = 2x – 6
x 2 – 4x + 6 = 0 ………….(I)
Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0).
Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.
(iii) (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3)
Solución:
Aquí,
IZQ = (x – 2)(x + 1)
= x 2 + (–2+1)x + (–2)(1) (Usando la identidad (x+a) (x+b) = x 2 + (a+b)x + ab )
= x 2 – x – 2
y, RHS = (x – 1)(x + 3)
= x 2 + (–1+3)x + (–1)(3) (Usando la identidad (x+a) (x+b) = x 2 + (a+b)x + ab )
= x2 + 2x – 3
Como, LHS = RHS
x 2 – x – 2 = x 2 + 2x – 3
3x – 1 = 0 ………….(I)
Como, la ecn. (I) no tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 porque (a=0).
Por lo tanto, la ecuación NO es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 1.
(iv) (x – 3)(2x +1) = x(x + 5)
Solución:
Aquí,
IZQ = (x – 3)(2x +1)
= 2x 2 + x +(–3)(2x) + (–3)(1)
= 2x 2 – 5x – 3
y, lado derecho = x(x + 5)
= x2 + 5x
Como, LHS = RHS
2x 2 – 5x – 3 = x2 + 5x
x 2 – 10x – 3 = 0 ………….(I)
Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0).
Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.
(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)
Solución:
Aquí,
IZQ = (2x – 1)(x – 3)
= 2x 2 + (2x)(–3) +(–1)(x) + (–1)(–3)
= 2x 2 – 7x + 3
y, RHS = (x + 5)(x – 1)
= x 2 + 5(x) + (–1)(x) + (5)(–1) (Usando la identidad (x+a) (x+b) = x 2 + (a+b)x + ab )
= x2 + 4 (x) – 5
Como, LHS = RHS
2×2 – 7x + 3 = x2 + 4 (x) – 5
x 2 – 11x + 8 = 0 ………….(I)
Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0) .
Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.
(vi) x 2 + 3x + 1 = (x – 2) 2
Solución:
Aquí,
IZQ = x 2 + 3x + 1
y, lado derecho = (x – 2) 2
= x 2 – 4x + 4 (Usando la identidad (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 )
Como, LHS = RHS
x2 + 3x + 1 = x2 – 4x + 4
7x – 3 = 0 ………….(I)
Como, la ecn. (I) no tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 porque (a=0) .
Por lo tanto, la ecuación NO es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 1.
(vii) (x + 2) 3 = 2x (x 2 – 1)
Solución:
Aquí,
IZQ = (x + 2) 3
= x 3 + 2 3 + 3x(2)(x+2) (Usando la identidad (x+y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy(x+y) )
= x 3 + 8 + 6x 2 +12x
y, RHS = 2x (x 2 – 1)
= 2x 3 – 2x
Como, LHS = RHS
x 3 + 8 + 6x 2 +12x = 2x 3 – 2x
x 3 – 6x 2 – 14x – 8 = 0 ………….(I)
Como, la ecn. (I) no tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0) .
Por lo tanto, la ecuación NO es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 3.
(viii) x 3 – 4x 2 – x + 1 = (x – 2) 3
Solución:
Aquí,
IZQ = x 3 – 4x 2 – x + 1
y, lado derecho = (x – 2) 3
= x 3 – 2 3 – 3x(2)(x–2) (Usando la identidad (x – y) 3 = x 3 – y 3 – 3xy(xy) )
= x 3 – 8 – 6x 2 +12x
Como, LHS = RHS
x 3 – 4x 2 – x + 1 = x 3 – 8 – 6x 2 +12x
2x 2 – 13x + 9 = 0 ………….(I)
Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0) .
Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.
Pregunta 2. Representa las siguientes situaciones en forma de ecuaciones cuadráticas:
(i) El área de una parcela rectangular es de 528 m 2 . El largo de la parcela (en metros) es uno más del doble de su ancho. Necesitamos encontrar el largo y el ancho de la parcela.
Solución:
Consideremos,
Ancho de la parcela rectangular = bm
Entonces, longitud de la parcela = (2b + 1) m.
Como, Área del rectángulo = largo × ancho
528 m 2 = (2x + 1) × x
2×2 + x = 528
2x 2 + x – 528 = 0 ……………….(I)
Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0) .
Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.
Por lo tanto, la longitud y el ancho de la trama satisfacen la ecuación cuadrática, 2x 2 + x – 528 = 0 , que es la representación matemática requerida del problema.
(ii) El producto de dos enteros positivos consecutivos es 306. Necesitamos encontrar los enteros.
Solución:
Consideremos,
El primer número entero = x
El próximo entero positivo consecutivo será = x + 1
Producto de dos enteros consecutivos = x × (x +1)
x2 + x = 306
x2 + x – 306 = 0 ……………….(I)
Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0) .
Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.
Por lo tanto, los dos enteros x y x+1 satisfacen la ecuación cuadrática, x 2 + x – 306 = 0 , que es la representación matemática requerida del problema.
(iii) la madre de Rohan es 26 años mayor que él. El producto de sus edades (en años) dentro de 3 años será 360. Nos gustaría encontrar la edad actual de Rohan.
Solución:
Consideremos,
Edad de Rohan = x años
Entonces, la edad de la madre de Rohan = x + 26
Despues de 3 años,
Edad de Rohan = x + 3
La edad de la madre de Rohan será = x + 26 + 3 = x + 29
El producto de sus edades al cabo de 3 años será igual a 360, tal que
(x + 3)(x + 29) = 360
x2 + 29x + 3x + 87 = 360
x2 + 32x + 87 – 360 = 0
x2 + 32x – 273 = 0 ……………….(I)
Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0) .
Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.
Por lo tanto, la edad de Rohan y su madre satisface la ecuación cuadrática, x 2 + 32x – 273 = 0 , que es la representación matemática requerida del problema.
(iv) Un tren recorre una distancia de 480 km a una velocidad uniforme. Si la velocidad hubiera sido 8 km/h menos, entonces habría tomado 3 horas más para recorrer la misma distancia. Necesitamos encontrar la velocidad del tren.
Solución:
Consideremos,
La velocidad del tren = x km/h
Tiempo necesario para viajar 480 km = (480/x) hr
Tiempo = Distancia / Velocidad
Aquí, de acuerdo con la condición dada,
La velocidad del tren = (x – 8) km/h
Como, el tren tardará 3 horas más en cubrir la misma distancia.
Por lo tanto, Tiempo necesario para recorrer 480 km = 480/(x+3) km/hr
Como,
Velocidad × Tiempo = Distancia
(x – 8)(480/(x + 3) = 480
480 + 3x – 3840/x – 24 = 480
3x – 3840/x = 24
3x 2 – 8x – 1280 = 0 ……………….(I)
Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0) .
Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.
Por lo tanto, la velocidad del tren satisface la ecuación cuadrática, 3x 2 – 8x – 1280 = 0 , que es la representación matemática requerida del problema.