Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 6 Aplicación de Derivadas – Ejercicio 6.4

Pregunta 1. Usando diferenciales, encuentre el valor aproximado de cada uno de los siguientes hasta 3 lugares decimales.

(yo)√25.3

(ii)√49.5

(iii) √0.6

(iv) (0.009) ^1/3

(v) (0,999) ^1/10

(vi) (15) ^1/4

(vi) (26) ^1/3

(viii) (255) ^1/4

(ix) (82) ^1/4

(x) (401) ^1/2

(xi) (0.0037) ^1/2

(xii) (26.57) ^1/3

(xiii) (81.5) ^1/4

(xiv) (3.968) ^3/2

(xv) (32.15) ^1/5

Solución:

(yo) √25.3

Tomamos y = √x

Sea x = 25 y △x = 0.3

△y = √(x +△x) – √x

= √25,3 – √25

= √25,3 – 5

o √25.3 = 5 + △y

Aquí, dy es aproximadamente igual a △y

dy = (dy/dx)△x

= $\frac{1}{2√x}(0.3)$

= $\frac{1}{2√25}(0.3)$

= 0,3/10

= 0,03

Por lo tanto, el valor aproximado de√25.3 = 5 + 0.03 = 5.03

(ii) √49.5

Tomamos y = √x

Sea x = 49 y △x = 0.5

△y = √(x +△x) – √x

= √49,5 – √49

= √49.5 – 7

o √49.5 = 7 + △y

Aquí, dy es aproximadamente igual a △y

dy = (dy/dx)△x

= $\frac{1}{2√x}(0.5)$

= $\frac{1}{2√49}(0.5)$

= 0,5/14

= 0.0357

Por tanto, el valor aproximado de √49,5 = 7 + 0,0357 = 7,0357

(iii) √0.6

Tomamos y = √x

Sea x = 0.64 y △x = -0.04

△y = √(x +△x) – √x

= √0,6 – √0,64

= √0,6 – 0,8

o √0.6 = 0.8 + △y

Aquí, dy es aproximadamente igual a △y

dy = (dy/dx)△x

= $\frac{1}{2√x}(-0.04)$

= $\frac{1}{2√0.64}(-0.04)$

= -0,04/1,6

= -0.025

Por lo tanto, el valor aproximado de √0.6 = 0.8 – 0.025 = 0.775

(iv) (0.009) ^1/3

Tomamos y = x ^1/3

Sea x = 0.008 y △x = 0.001

△y = (x +△x) ^1/3 – x ^1/3

= (0,009) ^1/3 – (0,008) ^1/3

= (0,009) ^1/3 – 0,2

o (0.009) ^1/3 = 0.2 + △y

Aquí, dy es aproximadamente igual a △y

dy = (dy/dx)△x

= $\frac{0.001}{3x^{\frac{2}{3}}}$

= $\frac{0.001}{3(0.008)^{\frac{2}{3}}}$

= 0.0083

Por lo tanto, el valor aproximado de (0.009) ^1/3 = 0.2 + 0.0083 = 0.2083

(v) (0,999) ^1/10

Tomamos y = x ^1/10

Sea x = 1 y △x = -0.001

△y = (x +△x) ^1/10 – x ^1/10

= (1) ^1/10 – (0.001) ^1/10

= (1) ^1/10 – 1

o (1) ^1/10 = 1 + △y

Aquí, dy es aproximadamente igual a △y

dy = (dy/dx)△x

= $\frac{-0.001}{10x^{\frac{9}{10}}}$

= $\frac{-0.001}{10(1)^{\frac{9}{10}}}$

= -0.0001

Por lo tanto, el valor aproximado de (0.999) ^1/10 = 1 – 0.0001 = 0.9999

(vi) (15) ^1/4

Tomamos y = x ^1/4

Sea x = 16 y △x = -1

△y = (x +△x) ^1/4 – x ^1/4

= (15) ^1/4 – (16) ^1/4

= (15) ^1/4 – 2

o (15) ^1/4 = 2 + △y

Aquí, dy es aproximadamente igual a △y

dy = (dy/dx)△x

= $\frac{-1}{4x^{\frac{3}{4}}}$

= $\frac{-1}{4(16)^{\frac{3}{4}}}$

= -1/32

Por lo tanto, el valor aproximado de (15) ^1/4 = 2 – 1/32 = 1,9687

(vi) (26) ^1/3

Tomamos y = x ^1/3

Sea x = 27 y △x = -1

△y = (x +△x) ^1/3 – x ^1/3

= (26) ^1/3 – (27) ^1/3

= (26) ^1/3 – 3

o (26) ^1/3 = 3 + △y

Aquí, dy es aproximadamente igual a △y

dy = (dy/dx)△x

= $\frac{-1}{3x^{\frac{2}{3}}}$

= $\frac{-1}{3(27)^{\frac{2}{3}}}$

= -1/27

Por lo tanto, el valor aproximado de (26) ^1/3 = 3 – 1/27 = 2,962

(viii) (255) ^1/4

Tomamos y = x ^1/4

Sea x = 256 y △x = -1

△y = (x +△x) ^1/4 – x ^1/4

= (255) ^1/4 – (256) ^1/4

= (255) ^1/4 – 4

o (255) ^1/4 = 4 + △y

Aquí, dy es aproximadamente igual a △y

dy = (dy/dx)△x

= $\frac{-1}{4x^{\frac{3}{4}}}$

= $\frac{-1}{4(256)^{\frac{3}{4}}}$

= -1/256

Por lo tanto, el valor aproximado de (255) ^1/4 = 4 – 1/256 = 3,996

(ix) (82) ^1/4

Tomamos y = x ^1/4

Sea x = 81 y △x = 1

△y = (x +△x) ^1/4 – x ^1/4

= (82) ^1/4 – (81) ^1/4

= (82) ^1/4 – 3

o (82) ^1/4 = 3 + △y

Aquí, dy es aproximadamente igual a △y

dy = (dy/dx)△x

= $\frac{1}{4x^{\frac{3}{4}}}$

= $\frac{1}{4(81)^{\frac{3}{4}}}$

= 1/108

Por lo tanto, el valor aproximado de (82) ^1/4 = 3 + 1/108 = 3.009

(x) (401) ^1/2

Tomamos y = x ^1/2

Sea x = 400 y △x = 1

△y = (x +△x) ^1/2 – x ^1/2

= (401) ^1/2 – (400) ^1/2

= (401) ^1/2 – 20

o (401) ^1/2 = 20 + △y

Aquí, dy es aproximadamente igual a △y

dy = (dy/dx)△x

= $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

= $\frac{1}{2\sqrt{400}}$

= 1/40

Por tanto, el valor aproximado de (401) ^1/2 = 20 + 1/40 = 20,025

(xi) (0.0037) ^1/2

Tomamos y = x ^1/2

Sea x = 0.0036 y △x = 0.0001

△y = (x +△x) ^1/2 – x ^1/2

= (0,0037) ^1/2 – (0,0036) ^1/2

= (0,0037) ^1/2 – 0,06

o (0.0037) ^1/2 = 0.06 + △y

Aquí, dy es aproximadamente igual a △y

dy = (dy/dx)△x

= $\frac{0.0001}{2\sqrt{x}}$

= $\frac{0.0001}{2\sqrt{0.0036}}$

= 0,0001/0,12

Por lo tanto, el valor aproximado de (0.0037) ^1/2 = 0.06 + 0.0001/0.12 = 0.0608

(xii) (26.57) ^1/3

Tomamos y = x ^1/3

Sea x = 27 y △x = -0.43

△y = (x +△x) ^1/3 – x ^1/3

= (26,57) ^1/3 – (27) ^1/3

= (26,57) ^1/3 – 3

o (26.57) ^1/3 = 3 + △y

Aquí, dy es aproximadamente igual a △y

dy = (dy/dx)△x

= $\frac{-0.43}{3x^{\frac{2}{3}}}$

= $\frac{-0.43}{3(27)^{\frac{2}{3}}}$

= -0,43/27

Por lo tanto, el valor aproximado de (26.57) ^1/3 = 3 – 0.43/27 = 2.984

(xiii) (81.5) ^1/4

Tomamos y = x ^1/4

Sea x = 81 y △x = 0.5

△y = (x +△x) ^1/4 – x ^1/4

= (81,5) ^1/4 – (81) ^1/4

= (81,5) ^1/4 – 3

o (81.5) ^1/4 = 3 + △y

Aquí, dy es aproximadamente igual a △y

dy = (dy/dx)△x

= $\frac{0.5}{4x^{\frac{3}{4}}}$

= $\frac{0.5}{4(81)^{\frac{3}{4}}}$

= 0,5/108

Por lo tanto, el valor aproximado de (81.5) ^1/4 = 3 + 0.5/108 = 3.004

(xiv) (3.968) ^3/2

Tomamos y = x ^3/2

Sea x = 4 y △x = -0.032

△y = (x +△x) ^3/2 – x ^3/2

= (3.968) ^3/2 – (4) ^3/2

= (3.968) ^3/2 – 8

o (3.968) ^3/2 = 8 + △y

Aquí, dy es aproximadamente igual a △y

dy = (dy/dx)△x

= $\frac{(-0.032)(3)\sqrt{x}}{2}$

= $\frac{(-0.032)(3)\sqrt{4}}{2}$

= -0.096

Por lo tanto, el valor aproximado de (3.968) ^3/2 = 8 – 0.096 = 7.904

(xv) (32.15) ^1/5

Tomamos y = x ^1/5

Sea x = 32 y △x = 0.15

△y = (x +△x) ^1/5 – x ^1/5

= (32,15) ^1/5 – (32) ^1/5

= (32.15) ^1/5 – 2

o (32.15) ^1/5 = 2 + △y

Aquí, dy es aproximadamente igual a △y

dy = (dy/dx)△x

= $\frac{0.15}{5x^{\frac{4}{5}}}$

= $\frac{0.15}{5(32)^{\frac{4}{5}}}$

= 0,15/80

Por lo tanto, el valor aproximado de (32.15) ^1/5 = 2 + 0.15/80 = 2.0018

Pregunta 2. Encuentra el valor aproximado de f(2.01), donde f(x) = 4x ² + 5x + 2.

Solución:

Encuentre el valor aproximado de f(2.01)

Entonces, f(2.01) = f(2 + 0.01)

x = 2 y △x = 0,01

Dado que f(x) = y = 4x ² + 5x + 2 -(1)

Al diferenciar obtenemos

dy/dx = 8x + 5

dy = (8x + 5)dx = (8x + 5)△x

Ahora cambiando x = x + Δx y y = y + Δy en eq(1)

f(x + Δx) = y + Δy

f(2.01) = y + Δy -(2)

f(2 + .01) = y + Δy

ya que

entonces Δy = dy y Δx = dx

De la ecuación (2), obtenemos

f(2.01) = (4x ² + 5x + 2) + (8x + 5)△x

= (4(2) ² + 5(2) + 2) + (8(2) + 5)(0,01)

= 16 + 10 + 2 + 0,16 + 0,05

= 28,21

Pregunta 3. Encuentra el valor aproximado de f(5.001), donde f(x) = x ³ – 7x ² + 15.

Solución:

Encuentre el valor aproximado de f(5.001)

Entonces, f(5.001) = f(5 + .001)

x = 5 y △x = 0.01,

Dado que f(x) = y = x ³ – 7x ² + 15 -(1)

Al diferenciar obtenemos

dy/dx = 3x ² – 14x

dy = (3x ² – 14x) dx = (3x ² – 14x) △x

Ahora cambiando x = x + Δx y y = y + Δy en eq(1)

f(x + Δx) = y + Δy

f(5.001) = y + Δy -(2)

f(5 + .001) = y + Δy

ya que

entonces Δy = dy y Δx = dx

De la ecuación (2), obtenemos

f(5.001) = (x ³ – 7x ² + 15) + (3x ² – 14x) △x

= ((5) ³ – 7(5) ² + 15) + (3(5) ² – 14(5)) (0,001)

= 125 – 175 + 15 + 0,075 + 0,07

= -34.995

Pregunta 4. Encuentra el cambio aproximado en el volumen de un cubo de lado x metros causado por aumentar el lado en un 1%.

Solución:

Volumen del cubo = x ³

V = x ³

Al diferenciar obtenemos

dV/dx = 3x ²

Dado que Δx = 0.0

dV = $(\frac{dV}{dx}).Δx=3x.Δx$

dV = (3x ² )(-0.01x)

= 0,03x ³ m ³

Por lo tanto, el cambio de volumen aproximado es 0.03x ³ m ³

Pregunta 5. Encuentra el cambio aproximado en el área de la superficie de un cubo de lado x metros causado por la disminución del lado en un 1%.

Solución:

superficie del cubo = 6x ²

S = ^6×2

Al diferenciar obtenemos

dS/dx = 12x

Dado que Δx = -0.01[-ve signo por disminución]

dS = $(\frac{dS}{dx}).Δx=12x.Δx$

dS = (12x)(-0,01x)

= -0.12x ² m ²

Por lo tanto, el cambio de volumen aproximado es -0.12x ² m ²

Pregunta 6. Si el radio de una esfera se mide como 7 m con un error de 0,02 m, encuentre el error aproximado al calcular su valor.

Solución:

Sea r el radio de la esfera y △r el error al medir el radio,

entonces r = 7m y △r = 0.02m.

Ahora el volumen V de la esfera está dado por,

v = 4/3πr ²

Al diferenciar obtenemos

$\frac{dv}{dr}=4πr^2$

Por lo tanto, dv = (4πr ² )Δr = 4π(7) ² .(0.02)

= 12,30 m ³

Por tanto, el error aproximado en el cálculo del volumen es de 12,30 m ³

Pregunta 7. Si el radio de una esfera se mide como 9 m con un error de 0,03 m, encuentre el error aproximado al calcular su área de superficie.

Solución:

Sea r el radio de la esfera y Δr el error al medir el radio.

Entonces r = 9m y Δr = 0,03m.

Ahora el área superficial S de la esfera está dada por,

S = 4πr ²

Al diferenciar obtenemos

dS/dr = 8πr

Por lo tanto, dS = (8πr)Δr

= 8π(9).(0.03)

= 2,16πm ²

Por lo tanto, el error aproximado al medir el área de la superficie es de 2,16πm ² .

Pregunta 8. Si f(x) = 3x ² + 15x + 5, entonces el valor aproximado de f(3.02) es

(A) 47,66 (B) 57,66 (C)67,66 (D)77,66

Solución:

Dado: f(x) = y = 3x ² + 15x + 5 -(1)

f(3,02) = f(3 + 0,2)

Entonces, x = 3 y Δx = 0.02

Al diferenciar la ecuación (1) obtenemos

f'(x) = y = 6x+ 15

dy = (6x + 15) dx = (6x + 15)Δx

Ahora cambiando x = x + Δx y y = y + Δy en eq(1)

f(x + Δx) = y + Δy

f(3.02) = y + Δy -(2)

f(3 + 0.2) = y + Δy

ya que

entonces Δy = dy y Δx = dx

De la ecuación (2), obtenemos

f(3.02) = (3x ² + 15x + 5) + (6x + 15)Δx

f(3,02) = (3x ² + 15x + 5) + (6x + 15)(0,02)

= (3(3) ² + 15(3) + 5) + (6(3)+ 15)(0,02)

= 27 + 45 + 5 + 0,36 + 0,3

= 77,66

Por lo tanto, la opción correcta es 77.66

Pregunta 9. El cambio aproximado en el volumen de un cubo de lado x metros causado por aumentar el lado en un 3% es

(A) 0,06x ³ m ³ (B) 0,6x ³ m ³ (C) 0,09x ³ m ³ (D) 0,9x ³ m ³

Solución:

Tenemos

Volumen del cubo = v = x ³

Al diferenciar obtenemos

$\frac{dv}{dr}=3x^2$

Dado que el lado aumenta 3%, entonces Δx = 0.03x

$dv=(\frac{dv}{dr}).Δx=3x^2.(0.03x)$

$dv=x^2(0.03x)=0.09x^3m^3$

Así, el cambio aproximado es 0.09x ³ m ³

La opción correcta es (C)

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ysachin2314 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Usando diferenciales, encuentre el valor aproximado de cada uno de los siguientes hasta 3 lugares decimales.

Pregunta 2. Encuentra el valor aproximado de f(2.01), donde f(x) = 4x 2 + 5x + 2.

Pregunta 3. Encuentra el valor aproximado de f(5.001), donde f(x) = x 3 – 7x 2 + 15.

Pregunta 4. Encuentra el cambio aproximado en el volumen de un cubo de lado x metros causado por aumentar el lado en un 1%.

Pregunta 5. Encuentra el cambio aproximado en el área de la superficie de un cubo de lado x metros causado por la disminución del lado en un 1%.

Pregunta 6. Si el radio de una esfera se mide como 7 m con un error de 0,02 m, encuentre el error aproximado al calcular su valor.

Pregunta 7. Si el radio de una esfera se mide como 9 m con un error de 0,03 m, encuentre el error aproximado al calcular su área de superficie.

Pregunta 8. Si f(x) = 3x 2 + 15x + 5, entonces el valor aproximado de f(3.02) es

(A) 47,66 (B) 57,66 (C)67,66 (D)77,66

Pregunta 9. El cambio aproximado en el volumen de un cubo de lado x metros causado por aumentar el lado en un 3% es

(A) 0,06x 3 m 3 (B) 0,6x 3 m 3 (C) 0,09x 3 m 3 (D) 0,9x 3 m 3

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Pregunta 2. Encuentra el valor aproximado de f(2.01), donde f(x) = 4x ² + 5x + 2.

Pregunta 3. Encuentra el valor aproximado de f(5.001), donde f(x) = x ³ – 7x ² + 15.

Pregunta 8. Si f(x) = 3x ² + 15x + 5, entonces el valor aproximado de f(3.02) es

(A) 0,06x ³ m ³ (B) 0,6x ³ m ³ (C) 0,09x ³ m ³ (D) 0,9x ³ m ³