Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 2 Funciones trigonométricas inversas – Ejercicio 2.2

Demuestra lo siguiente

Pregunta 1. 3sen ^-1 x = sen ^-1 (3x – 4x ³ ), x∈[-1/2, 1/2]

Solución:

Tomemos x = senθ, entonces θ = sen ^-1 x

Sustituir el valor de x en la ecuación presente en RHS

La ecuación se convierte en sin ^-1 (3sinθ – 3sin ³ θ)

Sabemos, sin3θ = 3sinθ – 4sin ³ θ

Entonces, sin ^-1 (3sinθ – 3sin ³ θ) = sin ^-1 (sin3θ)

Por la propiedad de la trigonometría inversa sabemos, sin(sin ^-1 (θ)) = θ

Entonces, sen ^-1 (sen3θ) = 3θ

Y sabemos θ = sen ^-1 x

Entonces, 3θ = 3sen ^-1 x = LHS

Pregunta 2. 3cos ^-1 x = cos ^-1 (4x ³ – 3x), x∈[-1/2, 1]

Solución:

Tomemos x = cosθ, entonces θ = cos ^-1 x

Sustituye el valor de x en la ecuación presente en RHS

La ecuación se convierte en cos ^-1 (4cos ³ θ – 3cosθ)

Sabemos, cos3θ = 4cos ³ θ – 3cosθ

Entonces, cos ^-1 (4cos ³ θ – 3cosθ) = cos ^-1 (cos3θ)

Por la propiedad de la trigonometría inversa sabemos, cos(cos ^-1 (θ)) = θ

Entonces, cos ^-1 (cos3θ) = 3θ

Y sabemos θ = cos ^-1 x

Entonces, 3θ = 3cos ^-1 x = LHS

Pregunta 3. $tan^{-1}\frac{2}{11} + tan^{-1}\frac{7}{24} = tan^{-1}\frac{1}{2}$

Solución:

Sabemos, $tan^{-1}x + tan^{-1}y = tan^{-1}\frac{x+y}{1-xy}$

Ahora pon x = 2/11 y y = 7/24

Asi que, $tan^{-1}\frac{2}{11} + tan^{-1}\frac{7}{24} = tan^{-1}\frac{\frac{2}{11}+\frac{7}{24}}{1-\frac{2}{11}.\frac{7}{24}}$

$=tan^{-1}\frac{\frac{48}{264}+\frac{77}{264}}{1-\frac{14}{264}}$

$=tan^{-1}\frac{\frac{48+77}{264}}{\frac{264-14}{264}}$

$=tan^{-1}\frac{\frac{48+77}{264}}{\frac{264-14}{264}}$

$=tan^{-1}\frac{125}{250}$

$=tan^{-1}\frac{1}{2}$

= lado derecho

Pregunta 4. $2tan^{-1}\frac{1}{2} + tan^{-1}\frac{1}{7} = tan^{-1}\frac{31}{17}$

Solución:

Primero tenemos que escribir 2tan ^-1 x en términos de tan ^-1 x

Sabemos que 2tan ^-1 x = $tan^{-1}\frac{2x}{1-x^2}$

Ponga x = 1/2 en la fórmula anterior

Asi que, $2tan^{-1}\frac{1}{2} = tan^{-1}\frac{2.\frac{1}{2}}{1-(\frac{1}{2})^2}$

$= tan^{-1}\frac{1}{1-(\frac{1}{4})^2}$

$= tan^{-1}\frac{1}{\frac{4-1}{4}}$

$= tan^{-1}\frac{1}{\frac{3}{4}}$

$= tan^{-1}\frac{4}{3}$

Ahora podemos reemplazar $2tan^{-1}\frac{1}{2}$ con $tan^{-1}\frac{4}{3}$

Entonces la ecuación en LHS se convierte en $tan^{-1}\frac{4}{3} + tan^{-1}\frac{1}{7}$

Sabemos , $tan^{-1}x + tan^{-1}y = tan^{-1}\frac{x+y}{1-xy}$

Asi que, $tan^{-1}\frac{4}{3} + tan^{-1}\frac{1}{7} = tan^{-1}\frac{\frac{4}{3}+\frac{1}{7}}{1-\frac{4}{3}.\frac{1}{7}}$

$=tan^{-1}\frac{\frac{28}{21}+\frac{3}{21}}{1-\frac{4}{21}}$

$=tan^{-1}\frac{\frac{28+3}{21}}{\frac{21-4}{21}}$

$=tan^{-1}\frac{\frac{31}{21}}{\frac{17}{21}}$

$=tan^{-1}\frac{31}{17}$

= lado derecho

Escriba las siguientes funciones en sus formas más simples:

Pregunta 5. $tan^{-1}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x} , x ≠ 0$

Solución:

Supongamos que x = tanθ, entonces θ = tan ^-1 x

Sustituye el valor de x en cuestión.

Entonces la ecuación se convierte en $tan^{-1}\frac{\sqrt{1+tan^2θ}-1}{tanθ}$

Sabemos que, 1 + tan ² θ = sec ² θ

Reemplazando 1 + tan ² θ con sec ² θ en la ecuación $tan^{-1}\frac{\sqrt{1+tan^2θ}-1}{tanθ}$

Entonces la ecuación se convierte en, $tan^{-1}\frac{\sqrt{sec^2θ}-1}{tanθ}$

$= tan^{-1}\frac{secθ-1}{tanθ}$

Sabemos, tanθ = sinθ/cosθ y sec = 1/cosθ

Reemplazando el valor de tanθ y secθ en $tan^{-1}\frac{secθ-1}{tanθ}$

$= tan^{-1}\frac{\frac{1}{cosθ}-1}{\frac{sinθ}{cosθ}}$

$= tan^{-1}\frac{\frac{1-cosθ}{cosθ}}{\frac{sinθ}{cosθ}}$

$= tan^{-1}\frac{1-cosθ}{sinθ}$

Sabemos, 1 – cosθ = 2sin ² θ/2 y sinθ = 2sinθ/2cosθ/2

Entonces, las ecuaciones después de reemplazar el valor anterior se convierten en $tan^{-1}\frac{2sin^2\frac{θ}{2}}{2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}$

$= tan^{-1}\frac{sin\frac{θ}{2}}{cos\frac{θ}{2}}$

Sabemos $\frac{\frac{sinθ}{2}}{\frac{cosθ}{2}} = tan\frac{θ}{2}$

$= tan^{-1}tan\frac{θ}{2}$

= θ/2 [tan ^-1 (tanθ) = θ]

= 1/2 bronceado ^-1 x [θ = bronceado ^-1 x]

Pregunta 6. $tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ , |x| > 1

Solución:

Supongamos que x = cosecθ, entonces θ = cosec ^-1 x

Sustituye el valor de x en cuestión por $cosecθ$

$=tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{cosec^2θ-1}}$

Sabemos que, 1 + cot ² θ = cosec ² θ, entonces cosec ² θ = 1 – cot ² θ

$=tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{cot^2θ}}$

$=tan^{-1}\frac{1}{cotθ}$

= tan ^-1 (tanθ) [1/cotθ = tanθ]

= θ [tan ^-1 (tanθ) = θ]

= cosec ⁻¹ x [θ = cosec ⁻¹ x]

= π/2 - seg ⁻¹ x [cosec ⁻¹ x + seg ⁻¹ x = π/2]

Pregunta 7. $tan^{-1}(\sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}), 0<x<\pi$

Solución:

Sabemos, 1 – cosx = 2sen ² x/2 y 1 + cosx = 2cos ² x/2

Sustituyendo la fórmula anterior en cuestión

$=tan^{-1}(\sqrt{\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{2cos^2\frac{x}{2}}})$

$=tan^{-1}(\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}})$

= bronceado ^-1 (tanx/2) $[\frac{sin\theta}{cos\theta} = tan\theta]$

= x/2 [tan ^-1 (tanθ) = θ]

pregunta 8 $tan^{-1}(\frac{cosx-sinx}{cosx+sinx}), \frac{-\pi}{4}<x<\frac{3\pi}{4}$

Solución:

Dividir numerador y denominador por $cosx$

$= tan^{-1}(\frac{\frac{cosx-sinx}{cosx}}{\frac{cosx+sinx}{cosx}})$

$= tan^{-1}(\frac{\frac{cosx}{cosx}-\frac{sinx}{cosx}}{\frac{cosx}{cosx}+\frac{sinx}{cosx}})$

$= tan^{-1}(\frac{1-\frac{sinx}{cosx}}{1+\frac{sinx}{cosx}})$

Sabemos, $\frac{sinx}{cosx} = tanx$

$= tan^{-1}(\frac{1-tanx}{1+tanx})$

Esto también se puede escribir como $tan^{-1}(\frac{1-tanx}{1+1.tanx})$ – (1)

Sabemos $tan^{-1}x-tan^{-1}y = tan^{-1}\frac{x-y}{1+x.y}$ – (2)

Al comparar la ecuación (1) y (2) podemos decir que x = 1 y y = tan ^-1 x

Entonces podemos decir que $tan^{-1}(\frac{1-tanx}{1+1.tanx}) = tan^{-1}1 - tan^{-1}x$

= π/4 – tan ⁻¹ x [tan ⁻¹ 1 = π/4]

Pregunta 9. $tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} , |x|<a$

Solución:

Supongamos que x = asinθ, entonces θ = sen ^-1 x/a

Sustituye el valor de x en cuestión.

$= tan^{-1}\frac{asin\theta}{\sqrt{a^2-(asin\theta)^2}}$

$= tan^{-1}\frac{asin\theta}{\sqrt{a^2-a^2sin^2\theta}}$

Tomando un ² común del denominador

$= tan^{-1}\frac{asin\theta}{\sqrt{a^2(1-sin^2\theta)}}$

Sabemos que, sen ² θ + cos ² θ = 1, entonces 1 – sen ² θ = cos ² θ

$= tan^{-1}\frac{asin\theta}{\sqrt{a^2cos^2\theta}}$

$= tan^{-1}\frac{asin\theta}{acos\theta}$

$= tan^{-1}\frac{sin\theta}{cos\theta}$

= tan ^-1 (tanθ) [senθ/cosθ = tanθ]

= θ

= sen ^-1 x/a

Pregunta 10. $tan^{-1}(\frac{3a^2x-x^3}{a^3-3ax^2}),a>0;\frac{-a}{\sqrt{3}}<x<\frac{a}{\sqrt{3}}$

Solución:

Supongamos que x = atanθ, entonces θ = tan ^-1 x/a

Sustituye el valor de x en cuestión

$= tan^{-1}(\frac{3a^2(atan\theta)-(atan\theta)^3}{a^3-3a(atan\theta)^2})$

$= tan^{-1}(\frac{3a^3tan\theta-a^3tan^3\theta}{a^3-3a^3tan^2\theta})$

Sacando un ³ común de numerador y denominador

$= tan^{-1}(\frac{a^3(3tan\theta-tan^3\theta)}{a^3(1-3tan^2\theta)})$

$= tan^{-1}(\frac{3tan\theta-tan^3\theta}{1-3tan^2\theta})$

Sabemos $tan3\theta = \frac{3tan\theta-tan^3\theta}{1-3tan^2\theta}$

Asi que, $tan^{-1}(\frac{3tan\theta-tan^3\theta}{1-3tan^2\theta})= tan^{-1}(tan3\theta)$

= 3θ [ tan ^-1 (tanθ) = θ]

= 3tan ^-1 x/a

Capítulo 2 Funciones trigonométricas inversas – Ejercicio 2.2 | conjunto 2

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Artículo escrito por pritishnagpal y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 2 Funciones trigonométricas inversas – Ejercicio 2.2 | Serie 1

Demuestra lo siguiente

Pregunta 1. 3sen ^-1 x = sen ^-1 (3x – 4x ³ ), x∈[-1/2, 1/2]

Pregunta 2. 3cos ^-1 x = cos ^-1 (4x ³ – 3x), x∈[-1/2, 1]

Pregunta 3. $tan^{-1}\frac{2}{11} + tan^{-1}\frac{7}{24} = tan^{-1}\frac{1}{2}$

Pregunta 4. $2tan^{-1}\frac{1}{2} + tan^{-1}\frac{1}{7} = tan^{-1}\frac{31}{17}$

Escriba las siguientes funciones en sus formas más simples:

Pregunta 5. $tan^{-1}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x} , x ≠ 0$

Pregunta 6. $tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ , |x| > 1

Pregunta 7. $tan^{-1}(\sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}), 0<x<\pi$

pregunta 8 $tan^{-1}(\frac{cosx-sinx}{cosx+sinx}), \frac{-\pi}{4}<x<\frac{3\pi}{4}$

Pregunta 9. $tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} , |x|<a$

Pregunta 10. $tan^{-1}(\frac{3a^2x-x^3}{a^3-3ax^2}),a>0;\frac{-a}{\sqrt{3}}<x<\frac{a}{\sqrt{3}}$

Capítulo 2 Funciones trigonométricas inversas – Ejercicio 2.2 | conjunto 2

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Demuestra lo siguiente

Pregunta 1. 3sen -1 x = sen -1 (3x – 4x 3 ), x∈[-1/2, 1/2]

Pregunta 2. 3cos -1 x = cos -1 (4x 3 – 3x), x∈[-1/2, 1]

Pregunta 3.

Pregunta 4.

Escriba las siguientes funciones en sus formas más simples:

Pregunta 5.

Pregunta 6. , |x| > 1

Pregunta 7.

pregunta 8

Pregunta 9.

Pregunta 10.

Capítulo 2 Funciones trigonométricas inversas – Ejercicio 2.2 | conjunto 2

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Pregunta 1. 3sen ^-1 x = sen ^-1 (3x – 4x ³ ), x∈[-1/2, 1/2]

Pregunta 2. 3cos ^-1 x = cos ^-1 (4x ³ – 3x), x∈[-1/2, 1]

Pregunta 3. $tan^{-1}\frac{2}{11} + tan^{-1}\frac{7}{24} = tan^{-1}\frac{1}{2}$

Pregunta 4. $2tan^{-1}\frac{1}{2} + tan^{-1}\frac{1}{7} = tan^{-1}\frac{31}{17}$

Pregunta 5. $tan^{-1}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x} , x ≠ 0$

Pregunta 6. $tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ , |x| > 1

Pregunta 7. $tan^{-1}(\sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}), 0<x<\pi$

pregunta 8 $tan^{-1}(\frac{cosx-sinx}{cosx+sinx}), \frac{-\pi}{4}<x<\frac{3\pi}{4}$

Pregunta 9. $tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} , |x|<a$

Pregunta 10. $tan^{-1}(\frac{3a^2x-x^3}{a^3-3ax^2}),a>0;\frac{-a}{\sqrt{3}}<x<\frac{a}{\sqrt{3}}$